1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 69
Текст из файла (страница 69)
е. A = f (a, b), то функция f (x, y) непрерывна в точке (a, b) или, как говорят, непрерывна пообеим переменным в точке (a, b). При этом, в силу (2),lim f (x, b) = f (a, b),x→alim f (a, y) = f (a, b),y→bт. е. функция непрерывна по каждой переменной в отдельности в точке (a, b), о чем мы говорили и раньше [67]. Наоборот, из непрерывностипо каждой переменной еще не вытекает непрерывности по обеим переменным. Действительно, определим функцию формулой (3) вне началакоординат и положим f (0, 0) = 0.
Как мы упоминали выше, мы имеемпри этомlim f (x, 0) = 0 и lim f (0, y) = 0,x→0y→0т. е. функция непрерывна по каждой переменной в точке (0, 0). Но онане является непрерывной по обеим переменным, ибо, как мы видели,153]§ 15. Производные и дифференциалы функции473не существует определенного предела f (x, y) при стремлении M (x, y) кM0 (0, 0).Если f (x, y) имеет в некоторой области, содержащей точку (x, y)внутри себя, частные производные, то, как мы показали [68], имеет местоформулаf (x+∆x, y+∆y)−f (x, y) = fx′ (x + θ∆x, y + ∆y)∆x + fy′ (x, y + θ1 ∆y)∆y(0 < θиθ1 < 1).Положим, что частные производные ограничены в упомянутой области,т. е.
по абсолютной величине не превышают некоторого числа M . Приэтом написанная формула дает|f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y)| 6 M (|∆x| + |∆y|),и правая часть этого неравенства стремится к нулю при ∆x → 0 и ∆y →0, откуда следуетlim f (x + ∆x, y + ∆y) = f (x, y),∆x→0∆y→0т. е. если f (x, y) имеет внутри некоторой области ограниченные частные производные, то она непрерывна внутри этой области.Функция (3) при дополнительном соотношении f (0, 0) = 0 равна нулю на всей оси OX и на всей оси OY и в точке M0 (0, 0) она имеет,очевидно, частные производные, равные нулю.
В остальных точках онатакже имеет частные производные:fx′ (x, y) =y 3 − x2 y,(x2 + y 2 )2fy′ (x, y) =x3 − xy 2,(x2 + y 2 )2т. е. указанная выше функция имеет частные производные на всей плоскости. Все же она, как мы видели, не обладает непрерывностью в точке(0, 0). Это объясняется тем, что частные производные могут приниматьсколь угодно больше по абсолютной величине значения при приближении точки (x, y) к началу координат.153. Частные производные и полный дифференциалпервого порядка. В [68] мы ввели понятие о частных производныхи полном дифференциале функции двух переменных. Эти понятиямогут быть распространены и на случай функции любого числа474Гл.
V. Функции нескольких переменных[153переменных. Для примера рассмотрим функцию четырех переменныхw = f (x, y, z, t).Частной производной от этой функции по x называется пределlimh→±0f (x + h, y, z, t) − f (x, y, z, t),hесли он существует, и для обозначения это частной производнойупотребляют символыfx′ (x, y, z, t),или∂f (x, y, z, t),∂xили∂w.∂xАналогично определяются частные производные и по другим переменным.Полным дифференциалом функции называется сумма ее частных дифференциалов:dw =∂w∂w∂w∂wdx +dy +dz +dt,∂x∂y∂z∂tгде dx, dy, dz, dt — дифференциалы независимых переменных (произвольные величины, не зависящие от x, y, z, t).Дифференциал есть главная часть приращения функции:∆w = f (x + dx, y + dy, z + dz, t + dt) − f (x, y, z, t),а именно (ср. [68]):∆w = dw + ε1 dx + ε2 dy + ε3 dz + ε4 dt,где ε1 , ε2 , ε3 , ε4 стремятся к нулю, если dx, dy, dz, dt стремятсяк нулю, причем предполагается, что функция w имеет непрерывные частные производные внутри некоторой области, содержащейточку (x, y, z, t) внутри себя.Точно так же может быть обобщено и правило дифференцирования сложных функций.
Предположим, например, что x, y и z сутьне независимые переменные, но функции независимой переменной153]§ 15. Производные и дифференциалы функции475t. Функция w будет в этом случае зависеть от t как непосредственно, так и через посредство x, y, z, и полная производная от w по tбудет иметь выражение∂w ∂w dx ∂w dy ∂w dzdw=+++.dt∂t∂x dt∂y dt∂z dt(8)Мы не останавливаемся на доказательстве этого правила, таккак оно состоит в буквальном повторении того, что мы говорилив [69]. Если переменные x, y, z зависят, кроме t, и от других независимых переменных, то в правой части формулы (8) мы должныdy dz∂x ∂y ∂zвместо dxdt , dt , dt писать частные производные ∂t , ∂t , ∂t . В этомслучае и функция w будет, кроме t, зависеть и от других независимых переменных, и в левой части равенства (8) мы также должны∂wdwdt заменить на ∂t . Но эта последняя частная производная отличнаот частной производной ∂w∂t , стоящей в правой части равенства (8) ивычисленной лишь поскольку w непосредственно зависит от t; дляотличия эту частную производную, вычисленную непосредственнопо t, заключают иногда в скобки, так что равенство (8) принимаетв рассматриваемом случае вид∂w∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂z∂w=+++.(9)∂t∂t∂x ∂t∂y ∂t∂z ∂tВ случае функций от одной переменной, мы видели, что выражение ее первого дифференциала не зависит от выбора независимой переменной [50].
Покажем, что это свойство остаетсясправедливым и в случае функции от нескольких переменных.Рассмотрим для определенности случай функции от двух переменныхz = ϕ(x, y).Положим, что x и y суть функции независимых переменных u и v.Согласно правилу дифференцирования сложных функций, имеем∂z ∂x ∂z ∂y∂z=+,∂u∂x ∂u ∂y ∂u∂z∂z ∂x ∂z ∂y=+.∂v∂x ∂v∂y ∂vПолный дифференциал функции по определению равенdz =∂z∂zdu +dv.∂u∂v476Гл. V. Функции нескольких переменных[154Подставляя выражения частных производных, получим∂z ∂x∂x∂z ∂y∂ydz =du +dv +du +dv .∂x ∂u∂v∂y ∂u∂vНо выражения, стоящие в круглых скобках, суть полные дифференциалы x и y, и мы можем написатьdz =∂z∂zdx +dy,∂x∂yт.
е. дифференциал сложной функции имеет то же выражение,которое он имел бы, если x, y были независимыми переменными.Свойство это позволяет распространить правило нахождениядифференциала суммы, произведения и частного на случай функции от нескольких переменных:d(u + v) = du + dv,d(uv) = vdu + udv,dvdu − udvu=,vv2где u и v — функции нескольких независимых переменных. Действительно, пользуясь доказанным свойством, мы можем, например, написатьd(uv) =∂(uv)∂(uv)du +dv = vdu + udv.∂u∂v154. Однородные функции.
Дадим определение однороднойфункции нескольких переменных: функция нескольких переменныхназывается однородной функцией этих переменных степени m, если при умножении этих переменных на произвольную величину tфункция умножается на tm , т. е. имеет место тождествоf (tx, ty) = tm f (x, y) илиf (tx, ty, tz) = tm f (x, y, z)(10)при любых допустимых значениях переменных x, y, z, t. Число mможет быть любым фиксированнымвещественным числом. Если,√например, m = 12 , то tm = t и t должны быть положительными.Положим, что функция f (x, y) выражает некоторый объем, что x154]§ 15.
Производные и дифференциалы функции477и y суть длины некоторых линий и что в выражении f (x, y), кроме этих линий, входят отвлеченные числа. Умножение x и y на t(положительное число) равносильно уменьшению линейного масштаба в t раз (при t > 1 или увеличению при t < 1), и, очевидно,что при этом функция f (x, y), выражающая объем, должна умножаться на t3 , т. е. в рассматриваемом случае функция f (x, y) будетоднородной функцией третьей степени. Так, например, объем конуса выражается через радиус его основания x и высоту y по формуле v = 13 πx2 y. Эта функция будет однородной третьей степенипри всех вещественных x, y и t.
Такой же функцией будет и любойоднородный многочлен от x и y третьей степени, т. е. такой многочлен, в каждом члене которого сумма показателей∗ x и y равнатрем:f (x, y) = ax3 + bx2 y + cxy 2 + dy 3 .Дробиx3 + y 3,x2 + y 2x2xy,+ y2x+yx2 + y 2суть однородные функциистепеней соответственно 1, 0 и (−1). Отpметим, что f (x, y) = x2 + y 2 , где радикал считается арифметическим, будет однородной функцией первой степени при всех вещественных x и y и при всех t > 0.
Действительно,pp(tx)2 + (ty)2 = t x2 + y 2 ,причем оба радикала считаются положительными.Дифференцируя тождество (10) по t и применяя правило дифференцирования сложной функции, получим, полагая u = tx иv = ty:xfu′ (u, v) + yfv′ (u, v) = mtm−1 f (x, y).Полагая t = 1, находимxfx′ (x, y) + yfy′ (x, y) = mf (x, y),(11)что выражает следующую т е о р е м у Э й л е р а об однородныхфункциях:∗Сумма показателей степеней.478Гл.
V. Функции нескольких переменных[155Сумма произведений частных производных однородной функции не соответствующие переменные равна произведению самойэтой функции на степень ее однородности.При доказательстве мы считаем естественно, что функцияf (x, y) имеет непрерывные частные производные при соответствующих значениях переменных, которыми мы пользовались при доказательстве.Если m = 0, то, положив в тождестве (10) t = x1 , мы получим yf (x, y) = f 1,xили y z,f (x, y, z) = f 1, ,x xт. е. однородная функция нулевой степени есть функция отношения всех переменных, кроме одной, к этой последней переменной.Часто однородную функцию нулевого измерения называют простооднородной.155.
Частные производные высших порядков. Частныепроизводные функции от нескольких переменных суть в свою очередь функции тех же переменных, и мы можем определить их частные производные. Таким образом мы получим частные производные второго порядка первоначальной функции, которые также будут функциями тех же переменных, и их дифференцирование приведет к частным производным третьего порядка первоначальнойфункции, и т.
д. Так, например, в случае функции u = f (x, y) отдвух переменных, дифференцируя каждую из частных производ∂uных ∂u∂x и ∂y еще раз по x и y, получим четыре производные второгопорядка, которые обозначаются так:fx′′2 (x, y),′′fxy(x, y),′′fyx(x, y),fy′′2 (x, y),или∂ 2 f (x, y),∂x2∂ 2 f (x, y),∂x∂y∂ 2 f (x, y),∂y∂x∂ 2 f (x, y),∂y 2или, наконец,∂2u,∂x2∂2u,∂x∂y∂2u,∂y∂x∂2u.∂y 2155]§ 15. Производные и дифференциалы функции479′′′′Производные fxy(x, y) и fyx(x, y) отличаются лишь порядкомдифференцирования. В первом случае дифференцирование производится сначала по x и потом по y, а во втором случае — в обратномпорядке.
Покажем, что эти две производные тождественны междусобою, т. е. что результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования.Составим выражениеω = f (x + h, y + k) − f (x + h, y) − f (x, y + k) + f (x, y).Полагаяϕ(x, y) = f (x + h, y) − f (x, y),можем написать выражение ω в видеω = [f (x + h, y + k) − f (x, y + k)] − [f (x + h, y) − f (x, y)] == ϕ(x, y + k) − ϕ(x, y).Применяя два раза формулу Лагранжа [63], получимω = kϕ′y (x, y + θ1 k) = k[fy′ (x + h, y + θ1 k) − fy′ (x, y + θ1 k)] =′′(x + θ2 h, y + θ1 k).= khfyxБуквы θ с различными значками означают числа, лежащие между 0и 1.
Знаком fy′ (x + h, y + θ1 k) мы обозначаем частную производнуюфункции f (x, y) по ее второму аргументу y, когда туда вместо xи y подставлены, соответственно, x + h и y + θ1 k. Аналогичныеобозначения применяются и для других частных производных.Точно так же, полагаяψ(x, y) = f (x, y + k) − f (x, y),можем написатьω = [f (x + h, y + k) − f (x + h, y)] − [f (x, y + k) − f (x, y)] == ψ(x + h, y) − ψ(x, y) = hψx′ (x + θ3 h, y) =′′= h[fx′ (x + θ3 h, y + k) − fx′ (x + θ3 h, y)] = hkfxy(x + θ3 h, y + θ4 k).480Гл. V.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
