1610915345-a898d2ed1782c2051d53be2dc4f81e98 (824737), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Введем эту малую разностьψ = 4ϕ −π,4π= 4ϕ − ψ.4Отсюда выводим120tg 4ϕ − tg π4−11π119=,tg ψ = tg 4ϕ −π =120 =41 + tg 4ϕ · tg 42391 + 119что даетπ11= 4ϕ − ψ = 4 arctg − arctg=45239420Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [133h1i h 1i1 11 11 1= 4 − · 3 + · 5 − · 7 + ... −− ...
.53 55 57 5239Оба ряда в скобках — знакопеременные [123], а потому, ограничившись в каждом из них лишь написанными членами, мы сделаем ошибку,не превосходящую14+< 0, 5 · 10−6 .9 · 593 · 2393Желая получить π с точностью до 10−5 , мы будем вычислять отдельные члены с семью знаками, так как тогда ошибка при определении π4не превзойдет4 · 4 · 0, 5 · 10−7 + 0, 5 · 10−7 + 0, 5 · 10−6 < 2 · 10−6 ,а ошибка при определении π не превзойдет 8 · 10−6 .Вычисление будем производить по следующей схеме:11= 0, 002 666 7= 0, 200 000 053 · 5811= 0, 000 064 0= 0, 000 001 85 · 557 · 57+0, 200 064 0−0, 002 668 5−1=239×0,197 395 540,789 582 0−0, 004 184 10, 785 397 9×4π ≈ 3,141 5916Значение числа π с восьмью знаками есть 3,141 591 65.Можно получить при |x| 6 1 разложениеarc sin x =1 x31 · 3 x5x+++ ...+12 32·4 51 · 3 · 5 .
. . (2n − 1) x2n+1++ ...2 · 4 · 6...2n 2n + 1(45)134]§ 13. Формула Тейлора и ее приложения421134. Приближенные формулы. Ряд Маклорена, в случае егосходимости, дает возможность приближенно вычислять функциюf (x), заменяя ее конечным числом членов разложения:f (0) +xf ′ (0) x2 f ′′ (0)++ ...1!2!Чем меньше x, тем меньше членов можно брать в этом разложении для вычисления f (x) с желаемой точностью. Если x весьмамало, то достаточно ограничиться только первыми двумя членами,отбросив все остальные. Таким образом получается весьма простаяприближенная формула для f (x), которая при малых x вполне может заменить часто весьма сложное точное выражение для f (x).Приведем такие приближенные формулы для наиболее важныхфункций:√xn1+x≈1+ ,nx1√≈1− ,nn1+x(1 + x)n ≈ 1 + nx,xa ≈ 1 + x log a,sin x ≈ x,cos x ≈ 1 −x2,2tg x ≈ x,log(1 + x) ≈ x.Пользуясь этими приближенными формулами при x, близкихк нулю (положительных или отрицательных), можно значительноупрощать сложные выражения.∗П р и м е р ы.1.1 + nm2 x n1 − n−mxn2= 1+mxn2nm n−m n ≈ 1 + x 1 +x ≈nn1 − n−mx2n≈1+n−mmx+x = 1 + x.nn∗ Эти выражения принято называть соотношениями эквивалентности.
Бесконечно малые величины стоящие слева и справа от знака приближенного равенства являются эквивалентными [36].422Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [135r1−x1111= log(1 − x) − log(1 + x) ≈ − x − x = −x.1+x22223. Определить увеличение объема тела при нагревании (объемноерасширение), когда известен коэффициент линейного расширения α.
Если одни из линейных размеров тела при 0◦ есть l0 , то при нагревании доt◦ он будетl = l0 (1 + αt).2. logα, коэффициент расширения, для большинства тел — весьма малая величина (< 10−5 ). Так как объемы относятся, как кубы линейных размеров,можем писать(1 + αt)3v=;v01v = v0 (1 + αt)3 ≈ v0 (1 + 3αt),т. е. число 3α дает нам коэффициент объемного расширения. Дляплотности ρ, которая обратно пропорциональна объему, найдеманалогичную зависимость:1ρ=,ρ0(1 + αt)3ρ = ρ0 (1 + αt)−3 ≈ ρ0 (1 − 3αt).Понятно, что все эти приближенные формулы годятся только при достаточно малых x, в противном же случае они оказываются уже неточными, и необходимо привлекать к рассмотрению дальнейшие члены разложения.135.
Максимумы, минимумы и точки перегиба. ФормулаТейлора позволяет сделать существенное дополнение к правилу нахождения максимума и минимума функций, изложенному в [58]. Вдальнейшем мы считаем, что f (x) имеет непрерывные производныедо порядка n в точке x = x0 и ее окрестности.Если при x = x0 обращаются в нуль (n−1) первых производныхфункции f (x):f ′ (x0 ) = f ′′ (x0 ) = . .
. = f (n−1) (x0 ) = 0,причем n-я производная f (n) (x0 ) отлична от нуля, значение x0соответствует вершине кривой, если n, т. е. порядок первой необращающейся в нуль производной, есть число четное, и притом:максимум, если f (n) (x0 ) < 0,135]§ 13. Формула Тейлора и ее приложения423минимум, если f (n) (x0 ) > 0;если же n есть число нечетное, то значение x0 соответствуетне вершине, а точке перегиба.Для доказательства нужно рассмотреть разностиf (x0 + h) − f (x0 ) и f (x0 − h) − f (x0 ),где h — достаточно малое положительное число.
По самому определению максимума и минимума [58] в точке x0 будет максимум, еслиобе эти разности меньше нуля, минимум, если обе они больше нуля.Если же эти разности при сколь угодно малых положительных hбудут разных знаков, то при x0 не будет ни максимума, ни минимума. Разности же эти могут быть вычислены по формуле Тейлора,если подставить туда x0 вместо a и ±h вместо14 ) h:f (x0 + h) = f (x0 ) +f (x0 − h) = f (x0 ) −hn−1 (n−1)h ′f (x0 ) + . . . +f(x0 )+1!(n − 1)!hn (n)f (x0 + θh),+n!h ′(−1)n−1 hn−1 (n−1)f (x0 ) + .
. . +f(x0 )+1!(n − 1)!(−1)n hh (n)f (x0 − θ1 h)+n!(0 < θ < 1и 0 < θ1 < 1).По условию:f ′ (x0 ) = f ′′ (x0 ) = . . . = f (n−1) (x0 ) = 0,f (n) (x0 ) 6= 0;значит,f (x0 + h) − f (x0 ) =hn (n)f (x0 + θh),n!14 Остаточный член мы берем в форме Лагранжа; число θ, лежащее междунулем и единицей, при (+h) и (−h) не одно и то же, почему мы написали θ1 вовторой формуле.424Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [136f (x0 − h) − f (x0 ) =(−1)n hn (n)f (x0 − θ1 h).n!При достаточно малом положительном h множители f (n) (x0 +θh) и f (n) (x0 − θ1 h), в силу предполагаемой непрерывности f (n) (x),имеют одинаковый знак, а именно знак числа f (n) (x0 ), отличногоот нуля.Мы видели, что точка x0 может быть вершиной тогда и толькотогда, когда обе разности f (x0 ± h) − f (x0 ) одинакового знака, и всилу сказанного сейчас это может случиться только, если n числочетное, ибо только тогда выражения f (x0 ± h) − f (x0 ) будут иметьодинаковые знаки; в противном же случае, когда n нечетное, множители hn и (−1)n hn будут разных знаков, и исследуемые разноститакже будут разных знаков.Допустим теперь, что n четное; тогда общий знак разностейf (x0 ± h) − f (x0 ) совпадает со знаком f (n) (x0 ).
Если f (n) (x0 ) < 0, тоf (x0 ± h) − f (x0 ) < 0, и мы имеем максимум; если же f (n) (x0 ) > 0,то f (x0 ± h) − f (x0 ) > 0, и получаем минимум.Если n — число нечетное, то, во всяком случае, n > 3, для второйпроизводной f ′′ (x) мы получаем из формулы Тейлора выражение:hn−2 (n)f (x0 + θ2 h),(n − 2)!(−1)n−2 hn−2 (n)f ′′ (x0 − h) =f (x0 − θ3 h),(n − 2)!f ′′ (x0 + h) =откуда, рассуждая таким же образом, как и раньше, убеждаемся,что ввиду нечетности (n − 2) функция f ′′ (x), обращаясь в нуль приx = x0 , меняет знак, т. е. значение x0 соответствует точке перегиба[71], что и требовалось доказать.136.
Раскрытие неопределенностей. Пусть имеем отношение функцийϕ(x),ψ(x)которые при x = a обращаются в нуль. Для раскрытия неопреде-136]§ 13. Формула Тейлора и ее приложенияленного выражения425ϕ(x) ψ(x) x=aпри ϕ(a) = ψ(a) = 0 разлагаем числитель и знаменатель по формуле Тейлора:ϕ(x) = (x − a)ϕ′ (a) +ψ(x) = (x − a)ψ ′ (a) +(x − a)n ϕ(n) (a)(x − a)2 ϕ′′ (a)+ ...++2!n!(x − a)n+1 ϕ(n+1) (ξ1 )+,(n + 1)!(x − a)2 ψ ′′ (a)(x − a)n ψ (n) (a)+ ... ++2!n!(x − a)(n+1) ψ (n+1) (ξ1 )+(n + 1)!и, по сокращении рассматриваемого отношения на некоторую степень (x − a), полагаем x = a.П р и м е р ы.16x44x2++...1−1−1 − cos 2x224= lim=1.
lim 3xx→0 e− 1 − 3x x→0 27 39x21 + 3x ++x + . . . − 1 − 3x2616 2x + ... 42−24= .= lim27x→0 99+x + ...26Тот же прием приносит пользу и при раскрытии неопределенностейдругих видов.√ Рассмотрим один пример.2. lim ( 3 x3 − 5x2 + 1 − x).x→∞Здесь мы имеем неопределенность вида (∞ − ∞). Мы имеемihrp5x2 − 13332x − 5x + 1 − x = x1−−1=x3426Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [137=xnh1−5x−1 ix31/3o−1 .При достаточно больших, по абсолютному значению, x разность x5 −1близка к нулю, и мы можем применить формулу бинома Ньютонаx3(25) при m = 31 , заменяя x на − x5 − x13 :1−15− 3xx1 /3=1−1351− 3xx+1313−1 52!x−1x32+...Подставляя это в фигурную скобку и сокращая единицы, получим1 12−1p3 31511 53+ ... =x3 −5x2 +1−x = x −− 3 +− 33 xx2!xx15= − + 2 +...,3 3xгде все невыписанные члены содержат только отрицательные степени x,т.
е. в пределе при x → ∞ обращаются в нуль, и, следовательно,p53lim ( x3 − 5x2 + 1 − x) = − .x→∞3Возможность предельных переходов в бесконечных рядах, которыемы применяем в настоящем номере, легко может быть оправдана, начем мы не останавливаемся.§ 14. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯИЗ ТЕОРИИ РЯДОВ137. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
Понятие об абсолютно сходящемся ряде было дано в [124]. Теперь мы установим важнейшие его свойства:Сумма абсолютно сходящегося ряда никак не зависит от порядкаслагаемых.Докажем это предложение сперва для рядов с неотрицательнымичленами, которые, как мы знаем [120], могут быть только или сходящимися (а потому и абсолютно сходящимися), или собственно расходящимися.137]§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов427Итак, пусть дан сходящийся ряд с положительными (неотрицательными) членамиu1 + u2 + u3 + .
. . + un + . . .(1)Обозначим через sn сумму его n первых членов, через s — его сумму.Мы имеем, очевидно,sn 6 s.Переставив члены ряда (1) каким угодно образом, мы получим другоераспределение членов, которому будет соответствовать рядv1 + v2 + v3 + . . . + vn + . .
. ,(2)состоящий из тех же членов, что и (1), но в другом порядке, так чтокаждый член из ряда (1) имеет определенный номер в ряде (2), и наоборот. Обозначим через σn сумму n первых членов ряда (2). При любомзначении n можно найти настолько большое число m, чтобы все члены,входящие в сумму σn , вошли в sm , а потомуσn 6 sm 6 s.Таким образом, показано существование постоянного числа s, не зависящего от n, такого, что при всех значениях n имеемσn 6 s,откуда [120] вытекает сходимость ряда (2).
Обозначим через σ его сумму.Очевидно, чтоσ = lim σn 6 s.n→∞Переставив в предыдущих рассуждениях ряды (1) и (2), мы таким жепутем покажем, чтоs 6 σ,и из неравенств σ 6 s, s 6 σ вытекаетs = σ.Обратимся теперь к рядам с какими угодно членами. Так как по условию ряд (1) абсолютно сходящийся, то ряд с положительными членами|u1 | + |u2 | + . . . + |un | + .
. . =∞Xn−1|un |(3)428Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [137сходится и по доказанному сумма его s′ не зависит от порядка слагаемых.С другой стороны, оба ряда∞X1(|un | + un ),2n−1∞X1(|un | − un )2n−1(ср. [124]) также имеют положительные члены и также сходятся, таккак общий член каждого из них не превосходит |un |, т. е.
общего членасходящегося ряда (3).В силу доказанного каждый из них не зависит от порядка членов;не будет зависеть от порядка членов и разность их, которая совпадает ссуммой ряда (1), что и требовалось доказать.С л е д с т в и е. В абсолютно сходящемся ряде можно каким угоднообразом группировать слагаемые и складывать их затем уже по группам, ибо такая группировка приводит к перемене порядка слагаемых,отчего сумма ряда не изменится.З а м е ч а н и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
