1610912325-537f93a9ed79c6e0a65b212a8eeb3d50 (824705), страница 7
Текст из файла (страница 7)
∀Va : ∃M3 ∈ N ∀n > M3 : wn ∈ Va .|xn | → |a| при n → ∞.. Доказательство.◦ Следуеткритерия сходимости + свойства мо из арифметическогодуля |a| − |b| 6 |a − b|.◦ Пусть M = max {M1 , M2 , M3 } ⇒ ∀n > M условия 1, 2, 3 — выполнены одновременно, значит, vn ∈ Va , wn ∈ Va ⇒ [vn , wn ] ⊆ Va ⇒⇒ xn ∈ Va .ОПР 2.7.11 (Арифметические критерии сходимости последовательности).Пусть xn — последовательность, тогда:1.
xn → a при n → ∞ ⇔ ∀ε > 0 : ∃M ∈ N ∀n > M : |xn − a| < ε;2. xn → +∞ при n → ∞ ⇔ ∃M ∈ N ∀n > M : ∀t ∈ R : xn > t;3. xn → −∞ при n → ∞ ⇔ ∃M ∈ N ∀n > M : ∀t ∈ R : xn 6 t.УТВ 2.7.12 (Об эквивалентности критериев сходимости).. Топологические и арифметические критерии сходимости последовательностей эквивалентны.Следствие 2.7.13 (Об ограниченности сходящейся последовательности).. Пустьxn → a при n → ∞ и a ∈ R.2.8Арифметические свойства пределаТеорема 2.8.1 (О пределе суммы).. Пусть◦ xn → a; yn → b при n → ∞;◦ a + b— определено.. Тогда∃ lim (xn + yn ) = a + b.n→∞. Доказательство.1. Пусть a, b ∈ R.
∀ε > 0 : ∃M1 ∀n > M1 : |xn − a| < 2ε ; ∃M2 ∀n >M2 : |yn − b| < 2ε . Выберем M = max{M1 , M2 } ⇒ ∀n > M : |xn +yn − (a + b)| = |xn − a + yn − b| 6 |xn − a| + |yn − b| < 2ε + 2ε = ε;2. Пусть a ∈ R, b = +∞, тогда: xn → a ⇒ xn — ограничена. ∃c ∀n ∈N : xn < c; Но, начиная с некоторого номера: ∀t ∈ R : yn > t−c ⇒⇒ xn + yn > t − c + c = t ⇒ xn + yn → +∞.. ТогдаПоследовательность xn — ограничена.Лекции по математическому анализуГлава 2. Числовые последовательности и пределы.
Доказательство.. Пустьn→∞MFH Corporationhttp://MFH.gorodok.net/Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/2.8. Арифметические свойства пределаMFH CorporationСтр. 39Стр. 40MFH CorporationГлава 2. Числовые последовательности и пределы. Доказательство.Теорема 2.8.2 (О произведении пределов).(Случай 1)Пусть |a| = ∞.∀t ∈ R : ∃M ∀n > M : |xn | > t ⇒ ∀t ∈ R : ⇒ ∀ε = 1t > 0 : x1n − 0 < ε ⇒ x1n → 0 ⇒ lim x1n = 0..
Пусть1|xn |<1t⇒n→∞◦ lim xn = a;n→∞◦ (Случай 2) Пусть |a| =6 ∞, a > 0. ∃c ∈ [0, a) начиная с некоторогономера xn > c. Поскольку xn → a, то |xn − a| 6 c2 ε ⇒ x1n − a1 =lim yn = b;n→∞◦ a · b— определено.|xn −a||xn |·|a|. Тогда∃ lim xn · yn = a · b.< ε.n→∞Следствие 2.8.4 (Теорема об отношении пределов).. Доказательство.1. (Случай 1) Пусть a, b ∈ R. ПустьX c a, b ∈ (−c, c);X ε > 0 — произвольное.Тогда, начиная с некоторого номера N :X в силу теоремы об ограниченности последовательности:? |xn | 6 c;? |yn | 6 c.X по определению предела 2.7.11:ε;? |xn − a| < 2cε? |yn − b| < 2c .Пусть M такое, что выполнены все четыре условия ⇒ ∀n >M : |xn ·yn −a·b| = |xn (yn −b)+(xn −a)b| 6 |xn (yn −b)|+|b(xn −a)| =εε|xn | · |yn − b| + |b| · |xn − a| < c · 2c+ c · 2c=ε2.
(Случай 2) Пусть b = +∞, a > 0. Пусть t ∈ R, тогда существуеттакое c, что начиная с некоторого номера xn > c, т.к. lim yn =n→∞+∞, то yn > ct — начиная с некоторого номера. Значит: xn · yn >c · ct = t ⇒ lim xn · yn = +∞.n→∞Теорема 2.8.3 (Об обратном произведении).◦ lim xn = a; lim yn = b;◦n→∞n→∞a—определено.b. Тогдаxnn→∞ yn∃ lim= ab .. Доказательство.◦ Следует из теорем: 2.8.3 и 2.8.2.2.9ПодпоследовательностиОПР 2.9.1 (Подпоследовательности).Пусть есть некоторое отображение nk : N → N.
Предположим, что отображение nk обладает следующим свойством— nk → ∞, при k → ∞.Предположим, что есть последовательность xn , тогда xnk называетсяподпоследовательностью последовательности xn .Теорема 2.9.2 (О подпоследовательности сходящейся последовательности).. Пусть. Всякая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится,и ее предел совпадает с пределом последовательности.
Т.е.lim xn = a, a 6= 0.n→∞lim xn = a ⇒ ∃ lim xnk = a.. Тогдаlim 1n→∞ xn. Пустьn→∞=1a.k→∞. Доказательство.Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/2.9. ПодпоследовательностиMFH CorporationСтр. 41Стр. 42Глава 2. Числовые последовательности и пределыMFH Corporation◦ Пусть ε > 0. lim xn = a ⇒ ∃M ∀n > M : |xn − a| < ε.По построению:∀k : uk < vk = sup Uk . Т.к.
vk = sup Uk ⇒ ∃xnk xnk > un и xnk <n→∞Рассмотрим подпоследовательность xnk . Поскольку nk → ∞, приk → ∞, то ∃j ∀k > jnk > M ⇒ ∀k > j|xnk − a| > ε. Это и означаетсходимость любой подпоследовательности.vk .lim uk = h, lim vk = h ⇒ lim k → ∞)xnk = h.k→∞k→∞(Следовательно, всякая последовательность имеет сходящуюся вR подпоследовательность.Следствие 2.9.3 (О не сходимости последовательности).Если для последовательности xn существует такие две сходящиеся подпоследовательности xnk и xnj , что lim xnk 6= lim xnj , то последовательj→∞k→∞ность не сходится.ОПР 2.9.6 (Верхних и нижних пределов).Пусть xn — некоторая последовательность. Пусть A— множество частичных пределов, тогда:Пример 2.9.3.1 (К следствию).def.
xn = cos πn = (−1) .n→∞k→∞x2k+1 = −1 ⇒ lim x2k+1 = −1;n→∞Теорема 2.9.7 (Критерий Коши сходимости последовательности).k→∞V lim x2k 6= lim x2k+1 .k→∞ОПР 2.9.4 (Частичного предела).Пусть xn — некоторая последовательность. Точка a ∈ R называется частичным пределом последовательности xn , если существует такая подпоследовательность xnk , что lim xnk = a.. Последовательность xn сходится ⇔ ∀ε > 0 : ∃M ∈ N ∀`, k > M, : |x` −xk | < ε..
Доказательство.⇒ Пусть xn → a при n → ∞. Пусть ε > 0, выберем M ∀n > M : |xn −a| < 2ε . Тогда |x` −xk | = |x` −a−xk +a| 6 |x` −a|+|xk −a| < 2ε + 2ε = ε—условие Коши выполнено.k→∞Теорема 2.9.5 (Вейрштрасса о подпоследовательностях).. Множество частичных пределов последовательности содержит наибольший и наименьший элементы в R и следовательно всякая последовательность содержит сходящуюся в R подпоследовательность.⇐ Пусть xn удовлетворяет условию Коши. Значит, у xn есть сходящаяся подпоследовательность (т. Вейрштрасса 2.9.5 на стр. 41).xnk lim xnk = a; |xn − a| = |xn − xnk + xnk − a| 6 |xn − xnk | +k→∞ε2. Доказательство.|xnk − a| <◦ Пусть xn — некоторая последовательность.
Рассмотрим множествовида Un = {xn , xn+1 , . . .}. Пусть vn = sup Un . Очевидно, что Un+1 ⊂⊂ Un ⇒ vn+1 6 vn ⇒ последовательность vn монотонно убывающая.Значит: ∃ lim vn = h ∈ R.n→∞◦ (Случай 1) Пусть h = −∞.Тогда −∞ < xn 6 vn ⇒ lim xn = h = −∞.◦ (Случай 2) Пусть h > −∞.Тогда существует такая последовательность un , что un — монотонно возрастает и un < h, lim un = h, (un = h − n1 , если h ∈ R илиn→∞Лекции по математическому анализу+ε2= ε.ОПР 2.9.8 (Последовательности Коши).Последовательность xn называется фундаментальной (последовательностью Коши), если она удовлетворяет условию Коши 2.9.7Следствие 2.9.9 (из критерия Коши).n→∞un = n, если h = +∞).n→∞Если lim xn = lim xn , то последовательность xn имеет предел.x2k = 1 ⇒ lim x2k = 1;k→∞deflim xn = sup A; lim xn = inf A;n→∞nhttp://MFH.gorodok.net/Пусть◦ an = xn · yn , причем lim xn = 0;n→∞◦ yn — ограничена, т.е. ∀n ∈ N : |yn | 6 c, c ∈ R.Тогда lim an = 0n→∞Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/2.10.
Числовые ряды2.10MFH CorporationСтр. 43Числовые рядыОПР 2.10.1 (Числового ряда).Пусть дана последовательность a1 , a2 , . . . , an , . . ..S 1 = a1 ;S 2 = S 1 + a2 ;...Sn = Sn−1 + an .Последовательность Sn называется последовательностью частичных сумм∞Pряда (определяет ряд). Обозначается:an .Стр. 44◦ Рассмотрим две подпоследовательности Sn :Sk , sk−1 ⇒ Sk , Sk−1 — сходятся. lim Sk = lim Sk−1 = S (суммаk→∞k→∞lim ak ⇒ S − S = lim ak ⇒ lim ak = 0.k→∞k→∞1.∞P1n=0Sn =Если S ∈ R, то ряд называется сходящимся.n−1Pk=0Теорема 2.10.3 (Существование суммы положительного ряда)..
Пусть1 = n ⇒ lim Sn = lim n = ∞n→∞n→∞Ряд расходится.∞P2.(−1)n .n=0∀i ∈ N : ai > 0 (ряд положительный).(a) Последовательность частичных сумм ограничена;(b) Sn не имеет предела (1,0,1,0,. . . );S2n = 1, S2n+1 = 0.∞P3.q n — частичная последовательность.. ТогдаРяд имеет сумму, возможно бесконечную.n=0. Доказательство.Sn =◦ Т.к. Sn = Sn−1 + an ⇒ Sb 6 Sn−1 . Следовательно, последовательность частичных сумм монотонно возрастает, а значит, согласно теореме о монотонных последовательностях ?? на стр. ??, Sn имеетпредел в R.(b) |q| > S∞P14.n(n+1) ;.
Пусть∞P5.an — сходится.n=11−qn+11−q(a) |q| < SТеорема 2.10.4 (О необходимом признаке сходимости ряда).. Тогдаk→∞Пример 2.10.4.1 (Полезные примеры).n→∞Рядk→∞ряда).Заметим, что: Sk − Sk−1 = ak (по построению) ⇒ lim (Sk − Sk−1 ) =n=1ОПР 2.10.2 (Суммы ряда).lim Sn = S называется суммой ряда.Глава 2. Числовые последовательности и пределыMFH Corporationlim Sn =11−qlim Sn — не существует.n=1111n(n+1) = n − n+1 ;11 − 12 + 12 − 31 + 13 − . . . + 1 − n+1;1Sn = 1 − n+1 ;1) = 1;lim Sn = lim (1 − n+1∞P 1n — гармонический ряд.n=1lim Xn = 0.n→∞Докажем, что ряд расходящийся.1n > 0∀n ⇒ lim Sn = L (L может быть равна ∞)lim ai = 0n→∞i→∞S2k : S1 = 1, S2 = 1 + 12 , .
. .;1S2k = 1+( 21 + 13 )+( 41 + 15 +. . .+ 71 )+. . .+( 2k−1+ 2k1−1 )(телескопический. Доказательство.Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/2.10. Числовые рядыСтр. 45MFH Corporation11метод)> 1 + 14 + 41 + 18 + 18 + . . . + 81 + . . . + ( 2k−1+ .
. . + 2k−1) = 1 + k2 ;kS2k > 1 + 2 ⇒ lim S2k = ∞ ⇒ lim Sn = ∞.n→∞6.∞P1nSn=12k−12(k−1)SЗаметим lim=1+1)k2S−111− S−121−(12S−1=∃ lim Sn = L, L < ∞;2k−111+ ( 2S−1) + . . . + ( 2S−1)=1−(1)k2S−112S−11−;1n→∞i=1a1 + a2 + . . . + am +n→∞∞Pi=1ai .ai — остаток ряда.i=m+1∞Pai = Sm + Rm .i=1Теорема 2.10.9 (О сходимости остатка ряда).∞P. Пустьak сходится.k=1Ряд— сходится.. Тогда∀m ∈ N : Rm — то же сходится.. Доказательство.◦ Ряд∞Pi=1Последовательности частичных сумм ограничена (обратное не верно).. Доказательство.∞Pak сходится, значит, Snk=1Sn — ограничена из теоремыимеет предел. lim Sn = S, S ∈ R ⇒n→∞⇒2.7.13 на стр.
37 об ограниченностисходящейся последовательности.ОПР 2.10.6 (Суммы рядов).PPPПусть даны два ряда ai и bi , тогда ряд (ai + bi ) называется суммойрядов.PЕсли λ ∈ R, тоλai называется произведением ряда на число.Теорема 2.10.7 (О сумме сходящихся рядов).. Пусть. ТогдаP∞PRm =. ПустьA=n→∞i=m+111− S−12Теорема 2.10.5 (Об ограниченности частичных сумм).. Тогдаn→∞ОПР 2.10.8 (Остатка ряда).∞∞PPПусть дан рядai .
Предположим, что зафиксировано m, тогдаai =n→∞РядГлава 2. Числовые последовательности и пределы◦ Sn = (λa1 + µb1 ) + (λa2 + µb2 ) + . . . + (λan + µbn ) = λ(a1 + a2 + . . . +an ) + µ(b1 + b2 + . . . + bn ) = λAn + µBn .◦ lim Sn = lim (λAn + µBn ) = λ lim An + µ lim Bn = λA + µB.§ > 1;+...+MFH Corporation. Доказательство.n→∞При S > 1 этот ряд сходиться. Sn монотонно возрастает⇒ ∃ lim Sn =n→∞L;11+ . .
. + (2k −1)S2k −1 = 1 + ( 213 + 313 ) + ( 413 + . . . + 713 ) + . . . + ( 2(k−1)SS) 61111116 1 + ( 2S + 2S ) + ( 4S + . . . + 4S ) + . . . + 2(k−1)S + . . . + 2(k−1)S = 1 + 22S +44SСтр. 46◦ δ=m−1Pn=0, тогда Sn = δ + SnmSnm — частичная сумма ряда RmSnm = Sn · δlim Sn − δ = L − δ ⇒ lim Snm — существует ⇒ Rm —n→∞n→∞сходится.Теорема 2.10.10 (Критерий Коши о сходимости ряда).∞P. Рядai сходится ⇔ ∀ε > 0 : ∃M ∈ N ∀n > M, ∀p ∈ N : |an + an+1 + . . . +i=1an+p | < ε. Доказательство.Pai ; B =Pbi — два сходящихся ряда.
λ, µ ∈ R.◦ Sn — последовательность частичных сумм. Sn+p −Sn = (an+1 +an+2 | . . .+an+p ); |Sn+p − Sn | = |an+1 + an+2 + . . . + an+p |.(λai + µbi ) = λA + µB.Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/2.11. Знакоположительные ряды2.11MFH CorporationСтр. 47Стр. 48MFH CorporationГлава 2. Числовые последовательности и пределыЗнакоположительные рядыОПР 2.11.1(Знакоположительного ряда).PРядai называется знакоположительным (положительным), если ∀i ∈N : ai > 0.ОПР 2.11.4 P(ОдинаковоP сходящихся рядов).Два рядаai иbi будем называть одинаково сходящимися, если ониоба одновременно либо сходятся, либо расходятся.Лемма 2.11.2 (Достаточный признак сходимости положительного ряда).Теорема 2.11.5 (Асимптотический признак сходимости)..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
