1610912325-537f93a9ed79c6e0a65b212a8eeb3d50 (824705), страница 17
Текст из файла (страница 17)
F 0 (x) = f (x) (равняется в основном).Пример 12.1.8 (F (x) = |x| на R).1. F непрерывна на R;(1, x > 002. F (x) =−1, x < 0В 0 производной нет. Т.о. множество, где производной не существуетне более чем счетно;3. sgn(x) = F 0 (x) всюду кроме 0;Следовательно, |x| — первообразная для sgn(x) (но это не точная первообразная).Пример 12.1.9 (f (x) = sgn(sin x) · cos x).При x < 0 F 0 (ξ) = −1, тогда:F (x) = F (0) − x.133F (x) = | sin x|, sin x = 0 при x = πk (это множество счетно).Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/12.1.
ПервообразнаяMFH CorporationСтр. 135F 0 (x) = sgn(sin x) cos x — равенство выполнено в основном.Следовательно, F (x) — первообразная.ОПР 12.1.10 (Интегрируемость f ).Будем говорить, что f — интегрируема на J =< a, b > если f — определенав основном и обладает первообразной F на J.Лемма 12.1.11.. Пустьf — интегрируема на J =< a, b >. Предположим, что g | g = f восновном на J.. Тогдаg — интегрируема и F — первообразная для g.Стр. 136MFH CorporationГлава 12.
Интегрирование функций одной переменной. Первообразная функции 0 на J =< a, b > есть функция постоянная на J(если J — не отрезок, то утверждение неверно).. Доказательство.Пусть есть первообразная F (x) ⇒ F 0 (x) = 0 в основном. Следовательно, ∃E счетное | F (x) дифференцируема на J r E, F 0 (x) =0 ∀x ∈ J r E.Согласно теореме об ослабленной монотонности (10.8.4) функцияF — возрастающая, а с другой стороны F — убывающая.
Следовательно, F = const в основном, следовательно по определению первообразнойF — непрерывна.=⇒F — всюду const.Теорема 12.1.12 (Алгебраические свойства интегрируемых функций).. Доказательство.Пусть множество E1 | F 0 (x) = f (x) на J r E1 . Пусть множествоE2 | f (x) = g(x) на J r E2 ; E = E1 ∪ E2 .Т.к. E1 и E2 не более чем счетны, то E — не более чем счетно.Тогда на множестве J r E имеет место равенство:. ПустьJ =< a, b >; f, g — интегрируемы на J; пусть F — первообразная дляf , G — первообразная для g (на J).. Тогда∀λ, µ ∈ R функция h = λf + µy — интегрируема на J. Причем H =λF + µG — первообразная для h.F 0 (x) = f (x) = g(x).Следовательно, F — первообразная для g и g — интегрируема.Следствие 12.1.11.1.. Пустьf — интегрируема на J =< a, b >.
I =< c, d >| I ⊂ J.. Тогдаf — интегрируема на I.. Доказательство.Раз f — интегрируема, то ∃E1 (не более чем счетно) | ∀x ∈ J rE1 F 0 (x) = f (x).Аналогично, ∃E2 | ∀x ∈ J r E2 G0 (x) = g(x).Рассмотрим E = E1 ∪ E2 (не более чем счетно). Следовательно∀x ∈ J r E имеет место одновременно:F 0 (x) = f (x)G0 (x) = g(x).. Доказательство.Домножим первое равенство на λ, а второе на µ и сложим:ОчевидноλF 0 (x)+µG0 (x) = xf (x)+µg(x)Следствие 12.1.11.2 ().Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/== [λF (x)+µG(x)]0 = H 0 (x)|{z}т.к.
можно дифф-тьЛекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/12.1. ПервообразнаяMFH CorporationСтр. 137Замечание: Пусть f (x) — интегрируема на J =< a, b >, F1 (x) — первообразная f . Пусть F2 (x) — первообразная функции f . Значит:∃E1 | F1 (x) = f (x) на J r E1Стр. 138MFH CorporationГлава 12. Интегрирование функций одной переменнойПусть F — искомая первообразная; F1 — другая первообразная.Значит по определению первообразной F1 = F + c. Следовательно:Z bf (x)dx = F1 (b) − F1 (a) = F (b) + c − F (a) − c = F (b) − F (a).a∃E2 | F2 (x) = f (x) на J r E2 .Очевидно, если E = E1 ∪E2 , то ∀x ∈ J rE F10 (x) = F20 (x) ⇒ (F1 (x)−F2 (x))0 = 0.Следовательно, согласно следствию 12.1.11.2 F1 (x)−F2 (x) = c−const.
Опятьже только на интервале.12.1.13 Множества всех превообразных функции на множестве. Будем обозначать через [F (x)] множество всех первообразных функцииf на J =< a, b >.ОПР 12.1.14 (Неопределенного интеграла).Множество всех первообразных F (x) называется неопределенным интегралом и обозначается:Zf (x)dx = [F (x)]Zf (x)dx = F (x) + cгде c — произвольная const.ОПР 12.1.15 (Определенного интеграла).Пусть f — интегрируема на J =< a, b >, тогда выражение F (b) − F (a)называется определенным интегралом и обозначается:Zabf (x)dx = F (b) − F (a)Формула Ньютона-Лейбница.(1)Предположим, что ∃µ2 : S → R (где S ⊂ R2 ); Ξ = [a, b] × [c, d].Предположим:1.
µ2 (Ξ) = |b − a| · |d − c|;2. если S1 ⊂ S2 , S1 , S2 ⊂ R2 , то µ2 (S1 ) 6 µ2 (S2 );3. если S1 ∩ S2 = ∅, то µ2 (S1 ∪ S2 ) = µ2 (S1 ) + µ2 (S2 ).ОПР 12.1.18 (Криволинейной трапеции).Пусть f (x) > 0 ∀x ∈ [a, b]; f — непрерывна на [a, b].Wf (p, t) = {x, y | x ∈ [p, t], y ∈ [0, f (x)]}— криволинейная трапеция6rarprbrtЛемма 12.1.19 (Ньютона ).. Функция F (x) = µ2 (Wf (a, x)) является точной первообразной для положительной и непрерывной на [a, b] функции f , причем F 0 (X) = f (x) ∀x ∈(a, b).. Доказательство.R1Пример 12.1.16 ( 0dxx2при x ∈ (0, 1)).F (x) = − x1 + c. Определенный интеграл неопределен.Лемма 12.1.17 (Корректность определенного интеграла)..
Определенный интеграл (1) определен корректно ((1) не зависит от выбора первообразной).◦ Пусть x > x0 . Рассмотрим:F (x)−F (x0 ) = µ2 (Wf (a, x))−µ2 (Wf (a, x0 )) = µ2 (Wf (a, x0 ))+µ2 (Wf (x0 , x))−µ2 (WПусть x0 ∈ (x0 , x) | |f (x0 ) − f (x0 )| < 2 . Тогда:−. Доказательство.Лекции по математическому анализуПусть x ∈ (a, b), > 0, δ > 0. В силу непрерывности f на [a, b] если|x − x0 | < δ, то |f (x) − f (x0 )| < .http://MFH.gorodok.net/< f (x0 ) − f (x0 ) < ⇒22Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/12.2.
Свойства интеграловMFH CorporationСтр. 139⇒ − + f (x0 ) < f (x0 ) < f (x0 ) +22Рассмотрим:µ2 (Wf (x0 , x)) 6 |x − x0 |(f (x0 ) + )2µ2 (Wf (x0 , x)) 6 |x − x0 |(f (x0 ) − )2Следовательно:(x − x0 )(f (x0 ) − ) 6 F (x) − F (x0 ) 6 (x − x0 )(f (x0 ) + ) ⇒22⇒ f (x0 ) −F (x) − F (x0 )66 f (x0 ) +2x − x02F (x) − F (x0 )⇒− 6− f (x0 ) 6 .2x − x02◦ Если x < x0 , то аналогично.◦ Таким образом: F (x) − F (x0 ) −f(x)< .0 6x − x02Стр. 140MFH CorporationГлава 12. Интегрирование функций одной переменной. Доказательство.Пусть F1 — первообразная f на J1 , F2 — первообразная f на J2 . Онисуществуют по условиям теоремы. Рассмотрим:F1 (x) − F1 (c) x ∈ J1F (x) = F2 (x) − F2 (c) x ∈ J20x=cЕсли x > c, то F — непрерывна; если x < c то F — непрерывна,тогда:lim F (x) = lim (F1 (x) − F1 (c)) = 0x→c−0x→c−0lim F (x) = lim (F2 (x) − F2 (c)) = 0x→c+0x→c−0Следовательно, F — непрерывна в точке c.Пусть:E1 | F10 (x) = f (x) если x ∈ J1 r E1E2 | F20 (x) = f (x) если x ∈ J2 r E2Рассмотрим E = E1 ∪ E2 ∪ c.
Очевидно, E не более чем счетно.Следовательно на множестве J r E имеет место: F 0 (x) = f (x). → 0 означает, что |x−x0 | → 0 ⇒ |F 0 (x0 )−f (x0 )| 6 0 ⇒ по аксиомеАрхимеда F 0 (x0 ) = f (x0 ).Следствие 12.2.1.1.Следствие 12.1.19.1.Очевидно, что если f — произвольная непрерывная функция на [a, b],f = f + − f − (f + , f − — положительные непрерывные функции на [a, b]).Для f + , f − первообразные существуют, следовательно и для их разности (для f ) первообразная тоже существует.12.2Пусть f1 (x) — интегрируема на (a, c), f2 (x) — интегрируема на (c, b). Тогдаf1 (x) x ∈ (a, c)f (x) = f2 (x) x ∈ (c, b)— интегрируема на (a, b).”чему угодно” x = cТеорема 12.2.2 (О линейности определенного интеграла)..
ПустьСвойства интеграловТеорема 12.2.1 (Об интегрируемости на объединении отрезков).. ПустьJ =< a, b >, c ∈ (a, b), J1 = J ∩ (−∞, c), J2 = J ∩ (c, +∞).. Тогдаf, g — интегрируемы на [a, b], λ, µ ∈ R.. ТогдаZbλf (x) + µg(x)dx = λaесли f — интегрируема на J1 и J2 , то они интегрируемы на J.Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/Zbf (x)dx + µaZbg(x)dx.a.
Доказательство.Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/12.2. Свойства интеграловСтр. 141MFH Corporationf, g — интегрируемы, тогда существуют первообразные F, G. Следовательно по лемме Ньютона (12.1.19) λF + µG — первообразная дляλf + µg. Тогда:Zab(λf + µg)dx = λF (b) + µG(b) − λF (a) − µG(a) == λ(F (b) − G(a)) + µ(G(b) − G(a)) = λZaЛекции по математическому анализуbf dx + µZbg dx.ahttp://MFH.gorodok.net/.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
