1610912325-537f93a9ed79c6e0a65b212a8eeb3d50 (824705), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Для того, чтобы функция f была дифференцируема в точке a, необходимо и достаточно, чтобы существовала конечная производная в точке a.При этом L(из усл. дифф.) = f 0 (a).. Доказательство.Необходимость:Пусть f дифференцируема в точке a, тогдаf (x) = f (a) + L(x − a) + α(x) · |x − a|.Пусть x 6= a:f (x) − f (a) − L(x − a) = α(x) · |x − a|ОПР 5.1.3 (Производной функции).Пусть A плотно в себе, f : A → R, a ∈ A. Рассмотрим выражениеf (x)−f (a)(a)при x 6= a. Если ∃ limx→a f (x)−f= k, то k называется производнойx−ax−adf(a) = Dx f (a).функции f в точке a и обозначается k = f 0 (a) = dxОПР 5.1.4 (Правая и левая производные).Пусть A плотно в себе, f : A → R, a ∈ A. Рассмотрим выражение(a)f (x)−f (a)при x 6= a.
Если ∃ limx→a+ f (x)−f= k, то k называется правойx−ax−aпроизводной функции f в точке a (обозначается fr0 (a)).(a)limx→a− f (x)−f= fl0 (a) — левая производная.x−aОПР 5.1.5 (Дифференцируемой функции).Пусть A плотно в себе, f : A → R, a ∈ A. Функция f называется дифференцируемой в точке a если ∃L ∈ R и функция α(x) | limx→a α(x) = 0 | f (x) =f (a) + L(x − a) + α(x) · |x − a|.95x→a|x − a|f (x) = f (a)− L = α(x) ·x−ax−a(|x−a|x 6= aσ(x) = x−a0x=aσ(x) ограничена, т.е. |σ(x)| 6 1f (x) − f (a)−L=0x→ax−alimlimx→af (x) − f (a)= L ⇒ существует производнаяx−af 0 (a) = LЛекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/5.1. Основные определения и теоремыДостаточность:Рассмотрим α(x) =(Стр.
98MFH CorporationГлава 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной2.x−a|x−a|0lim α(x) = lim (x→aСтр. 97MFH Corporationx→a(a)· ( f (x)−f− f 0 (a))x−ax=aQ(x) − Q(a)f (x) · g(x) − f (a) · g(a)= lim=x→ax−ax−a(f (x) − f (a)) · g(a) + (g(x) − g(a)) · f (a)== limx→ax−ax 6= alimx→af (x) − f (a)x−a·(− f 0 (a)))|x − a|x−af (x) − f (a)− f 0 (a)) = 0т.к.
производная существуетx−alim α(x) = 0а это означает дифференцируемость.g(x) − g(a)f (x) − f (a)· f (a)) = f 0 (a)·g(a)+g 0 (a)·f (a)= lim (· g(a) +x→a|{z}x−ax−a|{z} сущ-ет |{z}конечнааналогичноlim (x→a3.limx→aТеорема 5.1.8 (Алгебраические свойства производной).A — плотно в себе, f : A → R, g : A → R, a ∈ A, f, g — дифференцируемы в точке a. Введём:P (x) = f (x) + g(x)(g(x) 6= 0)f 0 (a) · g(a) − f (a) · g 0 (a)g 2 (a)Пусть y = f (x), т.к. g — дифференцируема в точке b = f (a), то имеетместо:g(y) = g(b) + g 0 (b)(y − b) + β(y) · |y − b|f 0 (a)·g(a)−f (a)·g0 (a)g2 (a)g(f (x)) = g(f (a)) + g 0 (f (a))(f (x) − b) + β(f (x)) · |f (x) − b|.
Доказательство.Дифференцируемость означает, что производная в точке a конечна.P (x) − P (a)f (x) + g(x) − f (a) − g(a)= lim=x→ax→ax−ax−af (x) − f (a) g(x) − g(a))== lim+x→ax−ax−ah(x) − h(a) = g 0 (f (a)) · (f (x) − f (a)) + β(f (x)) · |f (x) − f (a)|Пусть x 6= a:f (x) − f (a)|f (x) − f (a)|h(x) − h(a)= g(f (a)) ·+ β(f (x)) ·x−ax−ax−alimx→ax→a.
Доказательство.2. Q0 (a) = f 0 (a) · g(a) + f (a) · g 0 (a)= lim= limh0 (a) = g 0 (b) · f 0 (a) = g 0 (f (a)) · f 0 (a).1. P 0 (a) = f 0 (a) + g 0 (a)1.x−aТеорема 5.1.9 (Дифференцирование суперпозиций).. Тогда3. R0 (a) =f (a)g(a). A, B — плотные в себе, f : A → R, g : B → R, a ∈ A, b ∈ B, причём b = f (a).Рассмотрим h(x) = (g ◦ f )(x) = g(f (x)). Если f — дифференцируема вточке a, g — дифференцируема в точке b, то h — дифференцируема вточке a, при этомQ(x) = f (x) · g(x)f (x),g(x)−=.
ПустьR(x) =f (xg(x)f (x) · g(a) − f (a) · g(x)=(x − a) · g(a) · g(x)11f (x) · g(x) − f (a) · g(x)(f (x) − f (a)) · g(a)= 2lim= 2lim−x→ax→ag (a)x−ag (a)x−ax→af (x) − f (a)g(x) − g(a))+ lim= f 0 (a) + g 0 (a)x→ax−ax−aЛекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/limx→a|f (x) − f (a)|h(x) − h(a)f (x) − f (a)= g 0 (f (a))· lim+ lim β(f (x))·=x→ax→ax−ax−ax−a= g 0 (f (a)) · f 0 (a) + 0.Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/5.1. Основные определения и теоремыMFH CorporationСтр. 99Стр. 1005.2Следствие 5.1.10 (Дифференцирование обратной функции)..
Пустьf : A → R, A — плотно в себе, b = f (a) и существует обратная функцияf −1 = g.. Тогдаf −1 — дифференцируема в точке b, причём (f −1 )0 (b) = g 0 (b) =где b = f (a).(f −1 )0 f (a) =1f 0 (a)1f 0 (a) ,(f 0 (a) 6= 0).. Доказательство.Пусть f−1MFH CorporationГлава 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменнойКачественные свойства дифференцируемыхфункцийОПР 5.2.1 (Локальных минимума и максимума).Пусть A — плотно в себе, f : A → R, x0 ∈ A. Будем говорить, что точкаx0 является точкой локального максимума функции f если ∃U (x0 ) | ∀x ∈U (x0 ) f (x) 6 f (x0 ).Если f (x) > f (x0 ), то x0 — точка локального минимума.ОПР 5.2.2 (Локального экстремума).Если x0 — точка локального минимума или локального максимума функции f , то x0 называется точкой локального экстремума функции f .Теорема 5.2.3 (Теорема Ферма)..
Пустьf : < a, b >→ R, x0 — внутренняя точка интервала < a, b >.= g — обратная функция. Тогда. Тогдаесли x0 — точка локального экстремума и f — дифференцируема вточке x0 , то f 0 (x0 ) = 0.(g ◦ f )(x) = xПродифференцируем её:. Доказательство.g 0 (f (x)) · f 0 (x) = 1⇒g 0 (f (a)) · f 0 (a) = 1⇒⇒ g 0 (b) =1f 0 (a)Доказательство дифференцируемости аналогично доказательству втеореме о дифференцируемости суперпозиции.◦ Пусть x0 — точка локального максимума.
Тогда ∃U (x0 ) | ∀x ∈ U (x0 ) f (x) 66 f (x0 ). Раз U (x0 ) — окрестность, то ∃ элементарная окрестностьвида (x0 − δ, x0 + δ) ⊂ U (x0 ).Т.к. x0 — точка максимума, то f (x) − f (x0 ) < 0.Пусть x > x0 , тогда x − x0 > 0 ⇒f (x) − f (x0 )<0x − x0Т.к. функция дифференцируема, то имеет место:limx→x0 +0f (x) − f (x0= f 0 (x0 ) 6 0x − x0по предельному переходуПусть x < x0 , тогда x − x0 < 0 ⇒f (x) − f (x0>0⇒x − x0limx→x0 +0Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/=⇒f 0 (x0 ) = 0.f (x) − f (x0= f 0 (x0 ) > 0x − x0Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/5.2. Качественные свойства дифференцируемых функцийMFH CorporationСтр.
101◦ Для локального минимума аналогично.Стр. 102MFH CorporationГлава 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменнойДокажем, что g(b) − g(a) 6= 0. Действительно: если бы g(b) − g(a) =0, то по теореме Ролля ∃d ∈ (a, b) | g 0 (d) = 0, что противоречитусловию.Рассмотрим функциюТеорема 5.2.4 (Теорема Ролля).F (x) = (f (x) − f (a))(g(b) − g(a)) + (g(x) − g(a))(f (b) − f (a)). Пустьf : [a, b] → R, f — непрерывна на [a, b], f — дифференцируема на (a, b),f (a) = f (b).. Тогда∃c ∈ (a, b) | f 0 (c) = 0.Утверждение 1: F (x) — непрерывна на [a, b](очевидно);Утверждение 2: F (x) — дифференцируема на (a, b)(тоже очевидно);Утверждение 3: F (a) = 0 и F (b) = 0;По теореме Ролля ∃c ∈ (a, b) | F 0 (c) = 0.F 0 (x) = f 0 (x) (g(b) − g(a)) − g 0 (x) (f (b) − f (a)) ⇒.
Доказательство.Поскольку f непрерывна на [a,b], то по теореме Вейерштрасса ∃c1 , c2 ∈[a, b] такие, что:M = f (c1 ) = max f (x)F 0 (c) = f 0 (c) (g(b) − g(a)) − g 0 (c) (f (b) − f (a)) = 0 ⇒(т.к. g 0 (c) 6= 0, (g(b) − g(a)) 6= 0)f (b) − f (a)f 0 (c)= 0g(b) − g(a)g (c)x∈[a,b]m = f (c2 ) = min f (x)x∈[a,b]◦ Если M = m, тогда f (x) = const ⇒ f 0 (x) = 0Тогда выбираем точку c 6= a и c 6= b.◦ Пусть M 6= m. Т.к. f (a) = f (b), то очевидно, что одна из точек c1 ,c2не совпадает ни с a, ни с b.Пусть c — та из точек c1 , c2 , которая не совпадает с a и b. Следовательно, c — экстремальная точка функции f . Тогда по теоремеФерма f’(c)=0.Следствие 5.2.6 (Теорема Лагранжа о среднем значении).. Пустьf : [a, b] → R, f — непрерывна на [a, b], f — дифференцируема на (a, b).. Тогда∃c ∈ (a, b) | f (a) − f (b) = f 0 (c) · (b − a).
Доказательство.Теорема 5.2.5 (Коши или теорема о среднем значении).В теореме о среднем значении положим g(x) = x. g(x) — удовлетворяет всем условиям теоремы. g 0 (x) = 1 подставляем в теорему:. Пустьf : [a, b] → R, g : [a, b] → R; f, g — непрерывны на [a, b] и дифференцируемы на (a, b). Предположим, что g 0 (x) 6= 0 ∀x ∈ (a, b).Отсюда следует утверждение следствия.. Тогда∃c ∈ (a, b) |f (b) − f (a)= f 0 (c)b−af (b)−f (a)g(b)−g(a)=0f (c)g0 (c) .Теорема 5.2.7 (Дифференциальный критерий монотонности функции)..
Доказательство.Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/5.2. Качественные свойства дифференцируемых функцийMFH CorporationСтр. 103Стр. 104Теорема 5.2.8.2 (Правило Лопиталя 1, 00 ).. Пустьf : [a, b] → R, f — дифференцируема на (a, b)..
Пусть. Тогда01. f(x) — монотонно возрастает на (a, b) ⇔ f (x) > 02. f(x) — монотонно убывает на (a, b) ⇔ f 0 (x) 6 0∀x ∈ (a, b)∀x ∈ (a, b)f (x)g(x)— неопределенность вида00в точке a.. Тогдаесли. Доказательство.f 0 (x)= A,x→a+0 g 0 (x)lim◦ Докажем для возрастания.−→ Пусть f — возрастает, x0 ∈ (a, b), x0 < x, тогда f (x) > f (x0 ) ⇒f (x) − f (x0>0⇒x − x0f (x2 ) − f (x1 ) = f 0 (c) · (x2 − x1 )тоf (x)=Ax→a+0 g(x), где A ∈ Rlim.
Доказательство.f (x) − f (x0 )= f 0 (x0 ) > 0limx→x0 +0x − x0Т.к. x0 — произвольная точка, то f 0 (x0 ) > 0 ∀x0 ∈ (a, b).←− Пусть f 0 (x) > 0, x ∈ (a, b), x1 < x2 | [x1 , x2 ] ∈ (a, b).Тогда по теореме Лагранжа:где c ∈ (x1 , x2 )Отсюда:f (x2 ) − f (x1 )= f 0 (c) > 0(по условию)x2 − x1x1 − x2 > 0 ⇒ f (x2 ) − f (x1 ) > 0 ⇒ f (x2 ) > f (x1 ).◦ Для убывания аналогично.5.2.8MFH CorporationГлава 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 0 (x)◦ Пусть A - конечно, ε > 0. Следовательно, ∃U (a) вида (a, x0 ] | fg0 (x)− A <ε∀x ∈ (a, x0 ). Это следует из определения предела.Заметим, что:f (x)f (x) − f (a)=g(x)g(x) − g(a)т.к.
f (a) = g(a) = 0Следовательно, по теореме Коши о среднем:f (x0 ) − f (a)f 0 (c)f (x)= 0=⇒g(x0 ) − g(a)g (c)g(x) f (x) < ε ∀x ∈ (a, x0 )−A g(x)∃c ∈ (a, x0 ) |А это означает, что limx→a+0Правила ЛопиталяОПР 5.2.8.1 (Неопределенность вида 00 ).Пусть (a, b) ⊂ R, a < b; f, g — непрерывные функции на [a, b]; f, g — дифференцируемые функции на (a, b).Предположим, что:g(x) 6= 0 ∀x ∈ (a, b)f (x)g(x)0= A.◦ Пусть A = +∞, тогда ∀ε > 0f (x)g0 (x)> 1ε .◦ Пусть A = −∞, тогда ∀ε > 0f 0 (x)g0 (x)< − 1ε .Дальше аналогично.Дальше аналогично.lim f (x) = lim g(x) = 0x→a+0x→a+0(x)limx→a+0 fg(x).00 в точке a.Нас интересуетВ этом случае говорят, что возникла неопределенность видаДля точки b аналогично (с заменой правых пределов на левые).Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/ОПР 5.2.8.3 (Неопределенность вида ∞∞ ).Пусть f, g — непрерывные функции на [a, b]; f, g — дифференцируемыефункции на (a, b).Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/Стр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
