1610912325-537f93a9ed79c6e0a65b212a8eeb3d50 (824705), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Доказательство.◦ Для x → p.I Пусть H = −∞, тогда ∀x ∈< a, b > : f (x) 6 −∞ ⇒ f (x) = −∞ ⇒⇒ lim −∞.x→bII Пусть h > −∞, тогда∀ε > 0 : ∃δ ∀x ∈ (b − δ, b) : f (x) ∈ (H − ε, H).∀z ∈ (b − δ, b) : f (z) > H − ε(из возрастания) .ОПР 3.2.4 (Убывающих функций).Лекции по математическому анализуsupx∈<a, b>http://MFH.gorodok.net/Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/3.3. Односторонние пределыMFH CorporationСтр.
69◦ Аналогично для x → a.Стр. 70Глава 3. ФункцииMFH Corporation. ПустьM ⊂ R, p — предельная точка M.. Предположим, чтоТеорема 3.2.7 (О пределе суперпозиции).Существуют односторонние пределы в точке p, причём lim f (x) =p+. Пустьlim f (x) = L.p+◦ f, g — две функции такие, что f : U → V, g : V → R, где U, V ∈ R.◦ p— предельная точка U. q = lim f (x)— предельная точка V.. Тогдаx→p∃ lim f (x) = L.x→p. Тогда. Доказательство.lim g(f (x)) = lim g(y),x→p◦ Пусть L правый и левый пределы f в точке p ∈ M, тогдаy→qесли ∃ lim f (x), ∃ lim g(y).x→p∀ε : ∃δ1 ∀x ∈ J − |x − p| < δ1 ⇒ |f (x) − L| < ε;y→q∀ε : ∃δ2 ∀x ∈ J + |x − p| < δ2 ⇒ |f (x) − L| < ε..
Доказательство.Пусть δ = min {δ1 , δ2 }, тогда ∀x : |x − p| < δ ⇒◦ Пусть xn — пробная последовательность в U, xn → p, тогда рассмотрим yn = f (xn ) :X если x > p, то |x − p| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε;X если x < p, то |x − p| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε.limnyn = limnf (xn ) = q ⇒ yn → q в V ⇒ limng(yn ) — существует.Значит:∀x : |x−p| < δ ⇒ |f (x)−L| < ε ⇒ (согласно определению 2.7.11 на стр. 37) ∃ lim f (x) = Lx→p3.3Односторонние пределыОПР 3.3.1 (Непонятно чего).Пусть J =< a, b >, a < p < b.
ТогдаJ+J−3.4= J ∩ (p, +∞);O-символикаОПР 3.4.1 (Бесконечно малой функции).Будем говорить, что f (x) является бесконечно малой относительно g(x)в точке p, если= J ∩ (−∞, p).ОПР 3.3.2 (Одностороннего предела).∀ε > 0 : ∃U ∈ ϑ(p) |f (x)| 6 ε|g(x)| ∀x ∈ U.lim f (x) = lim = f (p − 0) — предел слева;x→px∈J −x→p−lim f (x) = lim = f (p + 0) — предел справа.x→px∈J +x→p+ОПР 3.4.2 (O).Будем говорить, что f (x) = O(g(x)) при x → p, если∃U ∈ ϑ(p) и C ∈ R |f (x)| 6 C|g(x)| ∀x ∈ U.Теорема 3.3.3 (О равенстве односторонних пределов).Лекции по математическому анализуВ этом случае пишут f (x) = o(g(x)) при x → p.http://MFH.gorodok.net/Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/3.4.
O-символикаСтр. 71MFH CorporationОПР 3.4.3 (Эквивалентных функций).Будем говорить, что f (x) ∼ g(x) ( эквивалентна) при x → p, еслиf (x) − g(x) = o(g(x)) при x → p.Стр. 72MFH Corporation3.5Глава 3. ФункцииНепрерывность функцийПусть f : M → R, p ∈ M, f (p).ОПР 3.5.1 (Непрерывности функции в точке).Будем говорить, что f непрерывна в точке p, еслиЛемма 3.4.4 (Лемма 1).. Пустьg(x) такое, что существует окрестность U (p) точки p такая, что ∀x ∈U (p) r {p} : g(x) 6= 0..
Тогда∀ε : ∃ окрестность U (p) точки p ∀x ∈ U (p) : |f (x) − f (p)| < ε.3.5.1.1 Расшифрование. f непрерывна в точке p, еслиf (x)x→p g(x)1. f (x) = o(g(x)) при x → p ⇔ limf (x)x→p g(x)2. f (x) = O(g(x)) при x → p ⇔ limf (x)x→p g(x)3. f (x) ∼ (g(x)) при x → p ⇔ lim∀ε > 0 : ∃δ > 0 ∀x : |x − p| < δ ⇒ |f (x) − f (p)| < ε.= 0;Следствие 3.5.2 (Эквивалентные определения).= O(1) = L 6= 0;f непрерывна в точке p ∈ M, если для любой последовательности xn →p при n → ∞ : xn ∈ M, xn 6= p := 1..
Доказательство.◦ Следует из определений 3.4.2 на стр. 70, 3.4.1 на стр. 70 и 3.1.13 настр. 63.1. yn = f (xn ) сходится при n → ∞;2. limnyn = f (p).Следствие 3.5.3 (Характеризация непрерывной функции через односторонниепределы).. ПустьЛемма 3.4.5 (Лемма 2).. f (x) = o(g(x)), при x → p, если существует функция α(x) lim α(x) = 0.x→pf (x) = α(x)g(x), при x ∈ U (p), где U (p) — окрестность точки p.. Доказательство.У функции f существуют односторонние пределы в точке p, причём◦ f (p − 0), f (p + 0) ∈ R;◦ f (p − 0) = f (p + 0).. Тогда◦ Следует из алгебраических свойств предела (3.1.15 на стр. 65).f (p − 0) = f (p + 0) = f (p).. Доказательство.Лемма 3.4.6 (Свойства эквивалентных функций).◦ Очевидно (используем теорему о существовании предела 3.3.3 на стр.69).1.
f ∼ f ;2. если g ∼ f, то f ∼ g;3. если f ∼ g, g ∼ h, то f ∼ h;Теорема 3.5.4 (Алгебраические свойства непрерывных функций).4. если fi ∼ gi , ∀i = 1, 2, . . . , n, то f1 f2 . . . fn ∼ g1 g2 . . . gn ;5. если f ∼ g и lim f (x) = a, то lim g(x) = a.x→pЛекции по математическому анализу. Пустьf : M → R, g : M → R, p ∈ M.x→phttp://MFH.gorodok.net/Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/3.5. Непрерывность функцийMFH CorporationСтр. 73.
Предположим, чтоСтр. 74Глава 3. ФункцииMFH Corporation. Функции f (x) = b— постоянная и g(x) = x— тождественная функциинепрерывны в любой точке R.f, g — непрерывны в точке p.. Доказательство.. ТогдаСледующие функции непрерывны в точке p :◦ Пусть p ∈ R. Рассмотрим последовательность xn limnxn = p. Тогда1. f + g1. yn = f (xn ) = b, limnyn = b = f (p);2. yn = g(xn ) = xn , limnyn = limnyn = p = g(p).2. |f |3. f · g4. если существует окрестность U (p) точки p такая, что ∀x ∈ U (p) : g(x) 6=0, то fg — непрерывна в точке p..
Доказательство.Следствие 3.5.7 (Многочлен степени не большей n).Pn (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn =Вытекает из:степени не большей n.1. Определение непрерывной функции через пределы (следствие3.5.2 на стр. 72);2. Теорема Гейне (3.1.14 на стр. 63)3. Алгебраические свойства предела (теорема 3.1.15 на стр. 65)Теорема 3.5.5 (О непрерывности суперпозиции функций)..
Пустьf : V → W, g : W → R.. Предположим, что. Пустьf — непрерывна в точке p, а g непрерывна в точке f (p).ai xi — называется многочленомi=0Pn (x) — непрерывен на всей числовой оси.Следствие 3.5.8 (Дробно-рациональная функция).Qn (x) =Pn (x)Pn2 (x)— называется дробно-рациональной функцией.Qn (x) — непрерывна в точках p ∈ R p2n (p) 6= 0.ОПР 3.5.9 (Непрерывности на множестве).Пусть f : M → R, f — называется непрерывной на множестве M, если онанепрерывна в каждой его точке.3.6p ∈ V, f (p) ∈ W.nPГлобальные свойства непрерывных функцийТеорема 3.6.1 (Больцано-Вейрштрасса (условие))..
Пусть. Тогдаf (x) — непрерывная функция на [a, b] ⊂ R, a < b.h = g(f (x)) — непрерывна в точке p.. Предположим, что. Доказательство.◦ Следует из теоремы о пределе суперпозиции (3.2.7 на стр. 69).Лемма 3.5.6 (Непрерывность постоянной и тождественно функций).Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/f (a) < 0, f (b) > 0.. Тогда∃c ∈ [a, b] f (c) = 0.Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/3.6. Глобальные свойства непрерывных функцийMFH CorporationСтр. 75ОПР 3.6.2 (Точки разрыва).Пусть f : < a, b >→ R.
Если p ∈< a, b > такая, что f не являетсянепрерывной в точке p, то p — называется точкой разрыва.ОПР 3.6.3 (Классификация точек разрыва).Если в точке p : f (p − 0) и f (p + 0) ∈ R; f (p − 0) 6= f (p + 0), то точка pназывается точкой разрыва I-го рода.В любом другом случае — точкой разрыва II-го рода.ОПР 3.6.4 (Скачка функции).f (x + 0) − f (x − 0)— называется скачком функции в точке x.Пример 3.6.4.1 (Точек разрыва).Глава 3. ФункцииMFH CorporationТеорема 3.6.6 (О точках разрыва для монотонных функций).. Пустьf : < a, b >→ R, f — монотонна.. Тогда∀p ∈< a, b >, a < p < b — является точкой разрыва I-го рода..
Причём◦ если f (x) монотонно возрастает, то f (p − 0) 6 f (p) 6 f (p + 0);◦ если f (x) монотонно убывает, то f (p − 0) > f (p) > f (p + 0).. Пример 1.(1, x > 0;0, x < 0.lim f (x) = 1, lim f (x) = 0 ⇒ x = 0 — точка разрыва I-го рода.f (x) =Стр. 76. Доказательство.x→0−◦ Пусть p ∈< a, b >, тогда рассмотрим два интервала J − =< a, p), J + =(p, b >). f монотонно на интервале J − . По теореме о пределе монотонной функции 3.2.6 на стр.
68 получаем:1;f (x) = |x|lim f (x) = +∞, lim f (x) = +∞.∃ x→plim f (x) = f (p − 0).x→0+. Пример 2.x→0+x∈J −x→0−◦ Совершенно аналогично:. Пример 3.1x,f (x) = sinx = 0;1, k ∈ Z;sin y = 0, y = πk ⇒ x1 = πk ⇒ x = πk1ak = πk ⇒ limnsin ak = lim 0 = 0;sin y = 1, y = π2 + 2πk ⇒ x1 = π2 + 2πk ⇒ x =bk =1π2 +2πk∃ x→plim f (x) = f (p + 0).x∈J +1π2 +2πk⇒ limnsin bk = lim 1 = 1., k ∈ Z;◦ Пусть f возрастает. Тогдаf (x) 6 f (p) — ∀x ∈ J − ⇒ x→plim f (x) = f (p − 0) 6 f (p);ОПР 3.6.5 (Устранимой точки разрыва II-го рода).Пустьx∈J −f (x) > f (p) — ∀x ∈ J• x— точка разрыва для f ;Тогда точка x называется устранимой точкой разрыва I-го рода.Пример 3.6.5.1 (Устранимой точки разрыва).x→1+x→1+lim f (x) = lim (x + 1) = 2 ⇒ x = 1 —x→1−устранимая точка разрыва I-го рода.x∈J +◦ Аналогично для случая, когда f монотонно убывает.Теорема 3.6.7 (Больцано-Вейрштрасса (доказательство)).2−1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
