1610912325-537f93a9ed79c6e0a65b212a8eeb3d50 (824705), страница 11
Текст из файла (страница 11)
f (x) = xx−1;lim f (x) = lim (x + 1) = 2,⇒ x→plim f (x) = f (p + 0) > f (p);⇒ f (p − 0) 6 f (p) 6 f (p + 0).• существуют односторонние пределы в точкеx : f (x − 0) и f (x + 0);• скачок функции f в точке x равен 0;+x→1−Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/. Пустьf (x) — непрерывная функция на [a, b] ⊂ R, a < b.Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/3.6. Глобальные свойства непрерывных функцийMFH CorporationСтр. 77.
Предположим, чтоСтр. 78Глава 3. ФункцииMFH Corporation. Тогдаf (a) < 0, f (b) > 0.∃ε > 0 ∀x ∈ [p − ε, p + ε] : f (x) > 0.. ТогдаСледствие 3.6.7.2 (Теорема о промежуточных значениях).∃ϕ ∈ (a, b] f (ϕ) = 0 и ∀x ∈ (a, ϕ) : f (x) > 0.. Доказательство.. Пусть◦ f — непрерывна на [a, b];◦ p = f (a), q = f (b).Шаг 1.[a0 , b0 ] = [a, b].nПусть [an , bn ] — построен. Тогда рассмотрим cn = an −b: Если2f (cn ) > 0, тогда an+1 = cn , bn+1 = bn , иначе an+1 = an , bn+1 = cn .Свойства построения:X ∀n : [an+1 , bn+1 ] ⊂ [an , bn ];X |bn − an | = |b−a|2n ;X an , bn — образуют систему вложенных отрезков.Таким образом:.
Тогда∀h ∈ [p, q]( если p < q) или h ∈ [q, p( иначе) : ∃x f (x) = h.. Доказательство.◦ Применим теорему Больцано-Вейрштрасса 3.6.7 к функции g(x) =f (x) − h.Теорема 3.6.8 (О связности).X ∃ϕ ∀n : ϕ ∈ [an , bn ], an 6 ϕ 6 bn ;X limn|bn − an | = limn |b−a|2n = 0; ⇒ limnan = limnbn = ϕ;X f (an ) > 0 ⇒ limnf (an ) > 0;X f (bn ) 6 0 ⇒ limnf (bn ) 6 0.В силу непрерывности: limnf (an ) = limnf (bn ) ⇒ limnf (an ) = 0 =f (ϕ)..
Пустьf : < a, b >→ R, f непрерывна на < a, b > .. ТогдаЕсли I отрезок на < a, b >, то f (I) — либо точка, либо отрезок.. Доказательство.Шаг 2.a.f (a) > 0; S = {x ∈ [a, b]|f (x) > 0}, S 6= ∅. Докажем, что inf S 6=Пусть inf S = a. Тогда ∀ окрестности B n1 (a) точки a : ∃xn ∈ S xn ∈B n1 (a); xn → a при n → ∞.f (xn ) = 0 ⇒ limnf (xn ) = 0 = f (a) > 0 — противоречие.Следствие 3.6.7.1.. Пустьinfx∈<a, b>f (x), q =supf (x). Очевидно, что p 6 q.x∈<a, b>X Если p = q, тогда функция f постоянная, и значит, её образточка;X Пусть p < q.f (I) ⊂ [p, q]; f (I) ⊃ (p, q)Докажем, что ∀y ∈ (p, q) : ∃x f (x) = y.Пусть y =∈ (p, q), тогда в силу определения точных граней, получаем ∃x1 f (x1 ) > y; и ∃x2 f (x2 ) < y.? Пусть x1 < x2 .
Рассмотрим интервал [x1 , x2 ] :f (x1 )−y > 0, f (x2 )−y < 0 ⇒ (в силу теоремы 3.6.7) ∃x3 ∈ [x1 , x2 ] f (x3 )−y =◦ f (x) непрерывна на < a, b >;◦ p ∈< a, b > и f (p) > 0.Лекции по математическому анализу◦ Пусть p =? Если x1 > x2 , аналогично рассматриваем интервал x2 , x1 .http://MFH.gorodok.net/Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/3.6.
Глобальные свойства непрерывных функцийMFH CorporationСтр. 79Стр. 80X Пусть f возрастает.Т.к. f непрерывна и не постоянна, то f (J) — отрезок. Если x1 <x2 , то f (x1 ) < f (x2 ), и следовательно, ∀y ∈ f (J) : ∃!x y = f (x).Значит, обратная функция f −1 для f существует.X Докажем, что f −1 строго монотонно возрастает. Пусть y1 < y1 , y1 , y2 ∈f (J), тогда ∃x1 , x2 y1 = f −1 (x1 ), y2 = f −1 (x2 ).Предположим, что x1 > x2 , тогда◦Теорема 3.6.9 (Непрерывность монотонной функции).. ПустьJ =< a, b >, f — монотонна.. Тогдаf (x1 ) >ky1>Если f (J) ⊂ R — интервал, то f непрерывна..
Доказательство.limx→x0 −0f (x) = f (x0 − 0) ⇒ f (x0 − 0) 6 f (x0 ) ⇒“”по теореме (3.6.6 на стр. 76), f (x0все точки разрыва I-го рода− 0) < f (x0 ) ⇒ ∃p f (x0 − 0) < p < f (x0 ).Очевидно, что не существует точки x1 такой, что f (x1 ) = p. Значит,множество f (J) не отрезок. Противоречие.f (x2 )k — противоречие.y2Значит, x1 < x2 и f −1 монотонно возрастает.X f (J)— отрезок, f −1 : f (J) → J переводит отрезок в отрезок, значит, f −1 непрерывна.◦ (От противного)Пусть f (x) монотонна и существует точка x0 , в которой f не является непрерывной. Предположим, что f — монотонно возрастает,f (x0 ) значение функции в точке x0 .∃Глава 3. ФункцииMFH CorporationТеорема 3.6.11 (Вейерштрасса о максимуме и минимуме).. Пусть◦ J = [a, b] ⊂ R;◦ f : [a, b] → R — непрерывна на [a, b]..
Тогда1. f — ограниченна, т.е. ∃M ∀x ∈ [a, b] : |f | < M ;Теорема 3.6.10 (Об обратной функции).2. ∃α, β ∈ [a, b] f (α) = min f (x), f (β) = max f (x).x∈[a, b]. Пустьx∈[a, b]. Доказательство.J =< a, b >, f — строго монотонная, непрерывная функция на J.. ТогдаСуществует обратная функция f −1 : f (J) → J, которая строго монотонна и непрерывна.◦ Если f постоянная, то теорема очевидно.◦ Пусть f не постоянна, тогда S = f ([a, b]) — отрезок.
p = inf f (x), q =x∈[a, b]sup f (x), S ⊂ [p, q].x∈[a, b]Существует последовательность an ⊂ S, an → p при n → ∞.∃xn ∈ [a, b] f (xn ) = an . xn ∈ [a, b] — ∀n ∈ N, значит, xn — ограничена, следовательно можно выбрать сходящуюся подпоследовательность xnk .Пусть x0 = limkxnk , x0 ∈ [a, b], f (xnk ) = ank .ank — подпоследовательность сходящейся последовательности an .limkank = p ⇒ limkf (xnk ) = liman = p = f (x0 )..◦ Если f возрастает, то f −1 возрастает;◦ Если f убывает, то f −1 убывает.. Доказательство.k◦ Функция f не постоянна.Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/3.7. Равномерная непрерывность3.7MFH CorporationСтр. 81Равномерная непрерывностьСтр.
82Глава 3. ФункцииMFH Corporation. СвойстваОПР 3.7.1 (Равномерной непрерывности).Пусть A ⊂ R. Тогда f : A → R называется равномерно непрерывной, если∀ε > 0 : ∃δ > 0 ∀x, y ∈ A : |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε.а). Ωf (t) > 0;ОПР 3.7.2 (Модуля непрерывности).Пусть w(t) определена на отрезке [0, h). Будем говорить, что функцияw(t) является модулем непрерывности функциии f на множестве A, еслиг).
|f (x) − f (y)| 6 Ωf (|x − y|).а). w(t) > 0 и w(t) — возрастает;б). Ωf (0) = 0;в). Если t1 < t2 , то Ωf (t1 ) 6 Ωf (t2 );Теорема 3.7.4 (Условие равномерной непрерывности ).. f — равномерно непрерывна на A ⇔существует модуль непрерывностиw(f ) для функции f на множестве A.б). lim w(t) = 0;t→0. Доказательство.в). ∀x, y ∈ A : |x − y| < h ⇒ |f (x) − f (y)| < w(|x − y|).⇐ Пусть существует модуль непрерывности w(t), тогда т.к.
limt→0 w(t) =0, то:Пример 3.7.2.1 (Липшицевы и Гельдеровы функций).. Пусть w(t) = c · t.Множество таких функций f на множестве A, что |f (x) − f (y)| 6 c ·· |x − y| — ∀x, y, называется Липшицевыми функциями с показателемc.. Пусть w(t) = c · tα .∀ε > 0 : ∃δ > 0 t < δ ⇒ w(t) < ε ⇒ |f (x)−f (y)| 6 w(|x−y|) < ε — ∀x, a ∈ A |x−y⇒ Пусть f равномерно непрерывна, тогда согласно конструкции 3.7.3построим функцию Ωf (t).Согласно равномерной непрерывности:Множество функций f с модулем непрерывности w(t) называется Гельдеровыми функциями с показателем α.∀ε > 0 : ∃δ > 0 ∀x, y|x − y| ⇒ |f (x) − f (y)| <supСледствие 3.7.2.2 (Непрерывность равномерно непрерывной функции).. Если функция f — равномерно непрерывна на A, то f — непрерывна.x, y |x−y|<δ|f (x) − f (y)| 6ε< ε.2ε.2Тогда Ωf (t) — модуль непрерывности.3.7.3 КонструкцияПример 3.7.4.1 (Не равномерно непрерывной функции)..
ПустьA ⊂ R.. Пусть. РассмотримA = [0, ∞).defA2 = A × A = {(x, y) x, y ∈ A}.. ТогдаФункция f (x) = x2 не является равномерно непрерывной на A.. Введем. Доказательство.1. Dt (A) = {(x, y) ∈ A2 |x − y| < t};2. Ωf (t) =sup(x, y)∈Dt (A)◦ Пусть x = x, y = x + t, x > 0, тогда |f (x + t) − f (x)| = |(x2 + 2tx +t2 ) − (x2 )| = t2 + 2xt.|f (x) − f (y)|.Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/3.7. Равномерная непрерывностьMFH CorporationСтр. 83Стр. 843.8Теорема 3.7.5 (Кантора о равномерной непрерывности)..
Пустьf — непрерывна на[a, b] ⊂ R.3.8.1Глава 3. ФункцииMFH CorporationЭлементарные функцииПоказательная и логарифмическая функцииf : R → R a 6= 0, a ∈ RПридумать функцию, которая удовлетворяет следующим свойствам:. Тогдаf — равномерно непрерывна на [a, b].1. fa (1) = a;. Доказательство.2. fa (x + y) = fa (x) · fa (y);Пусть A = [a, b] для функции f .3. fa — непрерывна.Построим функцию Ωf (t) = Sup|f (x) − f (y)| для x, y |x − y| < tСвойства fa (x):Докажем, что Ωf (t) — ограничена на множестве [0, b − a]. Согласнотеореме Вейерштрасса (О max и min) |f (x)| 6 max limtsx∈[a,b] |f (x)| =1. fa (0) = 1 ∀a, a 6= 0;L;Док-во.|f (x) − f (y)| 6 |f (x)| + |f (y)| 6 2L;fa (1 + 0) = fa (1) · fa (0) = fa (1) ⇒ fa (0) = 1.Sup|f (x) − f (y)| 6 2L, для x, y ∈ [a, b] ⇒ Ωf (t) 6 2L ∀t ∈ [0, b − a),т.к.
Ωf (t) — ограничена и Ωf (t) — монотонна, то по теореме о пре2. fa (x) = fa1(x) ;деле монотонной функции ⇒ ∃ lim limtst→0 Ωf (t) = α.Док-во.Докажем, что α = 0.L = fa (x − x) = fa (x) · fa (−x) ⇒ fa (−x) = fa1(x) .Пусть t = n1 , n ∈ N . Рассмотрим Ωf ( n1 ) = Sup|f (x) − f (y)|, дляx, y |x − y| < n1 . Согласно определению Sup ∀n∃xn , yn ∈ A |f (xn ) −3. fa (x) > 0;f (yn )| > Ωf ( n1 ) − n1 , т.к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
