1610912325-537f93a9ed79c6e0a65b212a8eeb3d50 (824705), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Если q < 1 то ряд сходится абсолютно;При x 6= 0, x 6= 2π Sk ограничены; при x = 0 или x = 2π sin nx =0.2. Если q = 1 то нельзя ничего сказать о сходимости ряда;3. Если q > 1 то ряд расходится.. Доказательство.2.13Абсолютная сходимостьОПР 2.13.1(Абсолютной сходимости).PPРядai называется абсолютно сходящимся, если ряд|ai | сходится.Теорема 2.13.2 (Об абсолютной сходимости ряда).. Пусть◦ Поскольку рядlim aan+1;nn→∞P|ai | — знакоположительный, рассмотрим limn→∞|an+1 ||an |Далее применим признак Даламбера 2.11.6 на стр. 49.Следствие 2.13.5 (Признак Коши (для произвольных рядов)).Ряд абсолютно сходится. Пусть. ТогдаДан рядОн сходится.
Обратное не верно.Pai ∃ limn→∞pn|an | = q.. Тогда. Доказательство.P1. Если q < 1 то ряд сходится абсолютно;◦ Пусть ряд ai абсолютно сходится. Применим признак Коши 2.10.10на стр. 46:2. Если q = 1 то нельзя ничего сказать о сходимости ряда;ε > 0 : M ∀k > M, ∀` > 0 : |ak | + |ak+1 | + . . . + |ak+` | < ε.3. Если q > 1 то ряд расходится.|ak + ak+1 + . . . + ak+` | 6 |ak | + |ak+1 | + .
. . + |ak+` | = |ak | + |ak+1 | + . . . + |ak+` | .< Доказательство.ε.PЗначит, рядai сходится.◦ Аналогично предыдущему (2.13.4).∞ ∞∞PPP1n1n1— расходит◦ Ряд=(−1) — сходится, но ряд(−1)ся.n=1nn=1nn=1nОПР 2.13.3P(Условно сходящегосяPряда).Если рядai сходится, а ряд|ai | расходится, то ряд называют услоносходящимся.Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/ОПР 2.13.6 (ПроизведенияP поPКоши).PПусть даны два рядаai ,bi . Тогда рядci называется произведениемnPPPпо Коши рядовai ,bi , если cn =ai · bn−i .i=0Теорема 2.13.7 (Мертенса).Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/=2.13. Абсолютная сходимостьMFH CorporationСтр.
57Стр. 58MFH CorporationГлава 2. Числовые последовательности и пределы. ПустьРяды. ТогдаРядPPai ,Pbi — сходятся абсолютно.ci (произведение по Коши) сходится.Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/Стр. 60Глава 3. ФункцииMFH CorporationОПР 3.1.3 (Канонической базы).Для любой точки p существует набор элементарных окрестностей Un (p),которые называются канонической базой точки pи определяется следующимобразом:• Если p ∈ R, то Un (p) = B n1 (p);Глава 3• Если p = +∞ то Un (p) = (n, +∞);• Если p = −∞ то Un (p) = (∞, −n).Лемма 3.1.4 (Лемма 1).Функции.
Пустьp ∈ R, xn — последовательность, ∀n : xn ∈ Un (p).3.1Пределы функций. Тогдаlim xn = p.n→∞3.1.1 Напоминание. Доказательство.. Элементарные окрестности◦ Пусть p ∈ R.◦ p ∈ R, Bε (p) = {x ∈ R p − ε < x < p + ε};◦ p = +∞ : Bε (p) = {x x > ε};◦ p = −∞ : Bε (p) = {x x < ε}.Окрестность точки p — любое множество U такое, что существует элементарная окрестность Bε (p) Bε (p) ⊂ U.Множество окрестностей p обозначим ϑ(p).111< xn < p + ⇒ 0 6 |xn − p| < ;nnn1lim |xn − p| = lim= 0 ⇒ xn → p.n→∞n→∞ n∀n : xn ∈ Un (p) ⇒ ∀n : p −◦ Пусть p = +∞.Лемма 3.1.2 (Лемма 0).x ∈ Un (p) ⇒ xn > n ⇒ lim xn = +∞;n→∞. ПустьUi (p) — элементарные окрестности точки p, i = 1, 2, . .
. , n.. ТогдаСуществует окрестность V точки p такая, что ∀i : V ∈ Ui (p).◦ Пусть p = −∞.x ∈ Un (p) ⇒ xn < −n ⇒ lim xn = −∞.n→∞. Доказательство.◦ Поскольку Ui (p) — элементарные окрестности, то ∃εi ∀i : Ui (p) = Bεi (p).◦ Пусть ε =mini=1, 2, ..., nεi ⇒ V = Bε ∈ Ui (p) — ∀i.ОПР 3.1.5 (Предельной точки).Точка p называется предельной точкой множества M (точкой прикосновения), если ∀U ∈ ϑ(p) : ∃x ∈ M x 6= p и x ∈ U ∩ MПример 3.1.5.1 (Пример 1).59Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/3.1. Пределы функцийMFH CorporationСтр.
61b предельная точка интервала (a, b).Стр. 62Глава 3. ФункцииMFH Corporation. Доказательство.(⇒) Пусть p предельная точка M, тогда рассмотрим каноническую базу:Пример 3.1.5.2 (Пример 2).Пусть xn lim xn = a ∈ R;Un (p), ∀n : Un (p) ∩ M 6= ∅;xn ∈ Un (p), xn 6= p;n→∞{x1 , x2 , . . . , xn , . . .} ⇒ a — предельная точка.xn ∈ Un (p) — ∀n ∈ N.Лемма 3.1.6 (Лемма П1 ).Согласно лемме 1 3.1.4 на стр. 60, последовательность xn такова, чтоlim xn = p.. Пустьn→∞(⇐) Пусть lim xn = p, причём xn ∈ M, xn 6= p. Значит, ∀ε > 0 : ∃S ∈◦ M ⊂ E ⊂ R;n→∞N ∀k > S : |xk − p| < ε.
Пусть ε = n1 , тогда ∀n > 0 : ∃S ∈ N ∀k >S : |xk − p| < n1 . Значит, точка p предельная.◦ p — предельная точка для M.. Тогдаp — предельная точка для E.Лемма 3.1.9 (Лемма П4).. Доказательство.. Пусть◦ Следует из определения.M ∈ R, M 6= ∅, p = sup M, q = inf M .. ТогдаЛемма 3.1.7 (Лемма П2 ).p, q 6∈ M — предельные точки множества M .. Пусть. Доказательство.p — предельная точка для M.Т.к. p = sup M , то ∃x ∈ M | x < p. Рассмотрим окрестность (p −ε, p + ε) точки p.Для всякой такой окрестности ∃y ∈ M | y ∈ Bε (p). Действительно,если бы такая точка не существовала, то p — не sup.. Тогда∀U ∈ ϑ(p) : p — предельная точка M ∩ U..
Доказательство.◦ Следует из определения.ОПР 3.1.10 (Замыкания множества).Пусть M ⊂ R, M 6= ∅. Назовём замыканием множества M множествоЛемма 3.1.8 (Лемма П3 (о характеризации предельных точек)).. ПустьdefM = M ∪ { множество предельных точек M }.ОПР 3.1.11 (Замкнутого множества).Если M = M , то M называют замкнутым.M ⊂ R, M 6= ∅.Следствие 3.1.11.1 (Из леммы П4).. Тогдаp ∈ R является предельной точкой для множества M ⇔∃ последовательность xn ∀n.∈ПустьN : xn ∈ M, xn 6= p и lim xn = p.M =< a, b >, a < b.n→∞Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/3.1. Пределы функцийMFH CorporationСтр.
63. Тогда. Предположим, что. Доказательство.◦ Если a < x < b, то x — предельная точка по лемме 3.1.8 (если взятьxn = x − n1 ⇒ lim n → ∞xn = x).◦ a = inf M, b = sup M — предельные точки, согласно лемме 3.1.9.◦ Докажем, что других точек нет.Пусть p 6∈ [a, b], p— предельная точка. Тогда либо p > b, либоp < a.Пусть p > b, тогда если ε =Аналогично для p < a.|b−p|2 ,то Bε (p) ∩ [a, b] = ∅.ОПР 3.1.12 (Изолированной точки).Пусть M ⊂ R, M 6= ∅.
Тогда точка p ∈ M называется изолированной,если p не является предельной.ОПР 3.1.13 (Предела функции в предельной точке).Пусть M ⊂ R, M 6= ∅, f : M → R, M ⊂ D(f );Пусть p предельная точка M.Число L ∈ R называется пределом функции f в точке p при x → p помножеству M, если∀ε > 0 : ∃U ∈ ϑ(p) ∀x ∈ U ∩ M : x 6= p, |f (x) − L| < ε.И это обозначают x→plim f (x) = L.x∈Mx→1x∈Mx2 −1x−1 ,Для любой последовательности xn ∀n : xn → p, xn 6= p последовательность yn = f (xn ) сходится..
ТогдаСуществует предел x→∞lim f (xn ) = L, L = lim yn .n→∞xn ∈M. Доказательство.Шаг 1. Если все последовательности f (xn ), то у них тот же предел. Пустьxn → p, yn → p — пробные последовательности.an = f (xn ), bn = f (yn );zn = x1 , y1 , . . . , xn , yn , zn → p;cn = f (zn ).Последовательность cn сходится в силу условия теоремы.По построению an и bn подпоследовательности cn . Согласно теореме о подпоследовательностяхlimnan = limnbn = limncn .Для некоторой последовательности xn получаем limnf (xn ) = L.Шаг 2.
Напомним: Если p — предельная точка, то lim f (x) = L существует,x→pесли∀ε > 0 : ∃U (p) ∀x ∈ U (p) : || < ε.Пусть для какой-то последовательности limnf (xn ) = L, а условиесуществования предела не выполнено. ТогдаПример 3.1.13.1.. limГлава 3. ФункцииMFH Corporation◦ f : M → R, M ⊂ D(f );M = [a, b].. f (x) =Стр. 64D(f ) = (−∞, 1) ∪ (1, ∞) = M ; lim f (x) = x + 1 = 2;∀U (p) : ∃x ∈ U (p) |f (x) − L| > ε.x→1x∈M√x − 1 = 0, если M = [1, ∞).Выбирая в качестве U (p) стандартную базу, получаем чтоТеорема 3.1.14 (Критерий Гейне существования предела функции в предельной точке).∀n : ∃xn ∈ Bn (p) |f (xn ) − L| > ε ⇒limnxn = p, f (xn ) = an , |an − L| > ε; |limnan − L| > ε ⇒ limnan 6= L.Шаг 3.
Если ∃ lim f (x) = L, то для любой последовательности xn → p : limnf (xn ) =. Пустьx→pL.Очевидно, в следствии ограниченности предела функции.◦ M ⊂ R, M 6= ∅, p — предельная точка;Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/3.1. Пределы функцийMFH CorporationСтр. 65Стр. 66Глава 3. ФункцииMFH CorporationИз теорем об алгебраических свойствах предела последовательности(2.8.1 на стр. 38,2.8.2 на стр. 39, 2.8.3 на стр. 39) получаем:Следствие 3.1.14.1 (Не существование предела).∃limn(f (x) + g(x)) = A + B;.
Пусть∃limn(f (x) · g(x)) = A · B;p — предельная точка и существуют две последовательности xn , yn такие, чтоxn → p, yn → p, limnf (xn ) 6= limnf (xn ).∃limnf (x)A= .g(x)BПоскольку, это верно для всякой пробной последовательности, тосогласно теореме Гейне 3.1.14 на стр. 63, получаем, что существуютпределы функций.. ТогдаФункция не имеет предела в точке p.Теорема 3.1.15 (Алгебраический свойства предела функции в точке)..
Пустьf и g — две функции, определённые на одной и той же окрестности Mпредельной точки p.. Предположим, что3.2Качественные свойства пределаТеорема 3.2.1 (О неравенствах пределов функций).. Пусть∃ x→plim f (x) = A;Пусть V ⊂ R, p — предельная точка V, u(x) и v(x) — пара функций,определённых на V.x∈M∃ x→plim g(x) = B.. Предположим, чтоx∈MСуществует окрестность U (p) точки p такая, что.
Тогда∀x ∈ U (p) ∩ V : u(x) > v(x).1. Если A + B определено, то ∃ x→plim (f (x) + g(x)) = A + Bx∈M2. Если A · B определено, то ∃ x→plim (f (x) · g(x)) = A · Bx∈M3. Если существует такая окрестность U точки p, что ∀x ∈ U r{p} : g(x) 6=f (x)AA0, тогда ∃limg(x) = B , при условии что B определено.x→px∈M∩(Ur{p}). Доказательство.◦ Пусть xn → p — пробная последовательность.
∃S ∀n > S : xn ∈ M,тогда согласно теореме Гейне 3.1.14 на стр. 63limnf (xn ) = A;. ТогдаЕсли ∃limx→px∈V ∩U(p)u(x) = A, ∃limx→px∈V ∩U(p)v(x) = B, то A > B.. Доказательство.◦ Возьмём пробную последовательность xn → p xn ∈ V ∩ U (p). ∀xnимеет место ∀n ∈ N : u(xn ) > v(xn ).u(xn ) = an , v(xn ) = bn ;limnan = A, limnbn = B ⇒ A > B(согласно теореме о неревенстве пределов для последоваlimng(xn ) = B.Теорема 3.2.2 (О существовании промежуточного предела).Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/3.2.
Качественные свойства пределаСтр. 67MFH Corporation. ПустьПусть V ⊂ R, p — предельная точка V, u(x), v(x), w(x) — три функций, определённых на V.Существует окрестность U (p) точки p такая, что∀x ∈ U (p) ∩ V : u(x) > w(x) > v(x).limu(x) = A, ∃limx→px∈V ∩U(p)• Функция f, определенная на множестве S ⊂ R, называется убывающей,если∀x, y ∈ S : x < y ⇒ f (x) > f (y).ОПР 3.2.5 (Монотонных функций).. Тогдаx→px∈V ∩U(p)v(x) = A, то ∃limx→px∈V ∩U(p)v(x) = A.• Функция f, определенная на множестве S ⊂ R, называется монотонной,если она либо возрастает, либо убывает.• Функция f, определенная на множестве S ⊂ R, называется монотонной,если она либо строго возрастает, либо строго убывает..
Доказательство.◦ Возьмём пробную последовательность xn → p xn ∈ V ∩ U (p). ∀xnимеет местоu(xn ) > w(xn ) > v(xn )kkkancnbnТеорема 3.2.6 (О пределе монотонной функции).. Пустьf возрастает на < a, b > .. ТогдаСуществуют пределы:a n > cn > b n .Применим лемму о существовании промежуточного предела для последовательностей 2.7.10 на стр. 37 и получим:limx→px∈V ∩U(p)u(x) >limx→px∈V ∩U(p)w(x) >limx→px∈V ∩U(p)Глава 3. ФункцииMFH Corporation• Функция f, определенная на множестве S ⊂ R, называется строго убывающей, если∀x, y ∈ S : x < y ⇒ f (x) > f (y).. Предположим, чтоЕсли ∃Стр. 68v(x) ⇒ ∃limx→px∈V ∩U(p)limf (x) = H;limf (x) = L;x→ax∈<a, b>w(x) = A.x→bx∈<a, b>Для любой пробной последовательности.Причём:H=ОПР 3.2.3 (Возрастающих функций).• Функция f, определенная на множестве S ⊂ R, называется возрастающей, если∀x, y ∈ S : x < y ⇒ f (x) 6 f (y).• Функция f, определенная на множестве S ⊂ R, называется строго возрастающей, если∀x, y ∈ S : x < y ⇒ f (x) < f (y).f (x) = sup {y ∃x ∈< a, b > : y = f (x)}; L =infx∈<a, b>f (x) = inf {y ∃x ∈<.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
