1610912325-537f93a9ed79c6e0a65b212a8eeb3d50 (824705), страница 5
Текст из файла (страница 5)
q 6= 0, то 1 − q обратим.◦ (1 − q)(1 + q + q 2 + · · · + q n−1 ) = 1 · (1 + q + q 2 + · · · + q n−1 ) − q ·· (1 + q + q 2 + · · · + q n−1 ) = 1 − q n ⇒n1 + q + q 2 + · · · + q n−1 = 1−q1−q .. Пусть◦ A > 1, A ∈ R;◦ a ∈ R : ∀n ∈ N : a 6 A−n 61An .. ТогдаТеорема 1.7.3 (Тождество 2).a 6 0.. ∀A, B ∈ R справедливо An − B n = (A − B)(An−1 · B 0 + An−2 · B 1 + .
. . + A1 ·· B n−2 + A0 · B n−1 ).. Доказательство.◦ Так как A > 1 то ∃β ∈ Rβ > 0 и A = 1 − β. Тогда An = (1 + β)n =(1 + β)(1 + β) . . . (1 + β) = 1 + nβ + что-то положительное ⇒ An >|{z}. Доказательство.◦ Если B = 0, то тождество очевидно.◦ Пусть B 6= 0, тогда определим q = A ·ство 1.7.2, получим требуемое.1.8n1 + nβ > nβ.1B=AB.Подставив q в тожде-Аксиома Архимеда1.9ОПР 1.8.1 (Аксиома Архимеда).∀a ∈ R : ∃k ∈ Z a < k.. Пусть1n.Лекции по математическому анализу1n⇒(из следствия 1.8.1.1) a· β 6 0; НоАбсолютная величинаОПР 1.9.1 (Абсолютнойвеличины).Отображение : R → R, действующее по следующему правилу:(x, x > 0;|x| =−x, x < 0.Следствие 1.8.1.1 (Следствие 1).a ∈ R и ∀n ∈ N : a 61⇒ a·β 6◦ ∀n : a 6 A1n ⇒ a 6 nββ > 0, следовательно a 6 0.называется абсолютной величиной.http://MFH.gorodok.net/Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/1.10.
Расширенная числовая прямаяMFH CorporationСтр. 23Следствие 1.9.1.1 (Свойства абсолютной величины).3. (a, b] {x ∈ R a < x 6 b} — полуоткрытый отрезок;2. Если a ∈ R, a > 0, то:4. [a, b) {x ∈ R a 6 x < b} — полуоткрытый отрезок;(a) |x| 6 a ⇔ −a 6 x 6 a;(b) |x| < a ⇔ −a < x < a.5. (−∞, +∞) R;6. (−∞, a] {x ∈ R x 6 a};3.
|x + y| 6 |x| + |y| —неравенство треугольника;4. |x| − |y| 6 |x − y|.7. (−∞, a) {x ∈ R x < a};8. [a, +∞) {x ∈ R a 6 x};. Доказательство.9. (a, +∞) {x ∈ R a < x};1.11x6|x|yx+y66|y|(|x| + |y|)Из свойства 2 абсолютной величины 1.9.1.1 получаем: |x + y| 66 |x| + |y|;4. X x = (x − y) + y; y = (y − x) + x;X Из свойства 3 абсолютной величины 1.9.1.1 получаем: |x| =|(x − y) + | 6 |x − y| + |y| ⇒ |x| − |y| 6 |x − y|;|y| = |(y − x) + x| 6 |y − x| + |x| ⇒ −|y − x| 6 |x| − |y| ⇒⇒ (свойство 1) − |x − y| 6 |x| − |y|;Используя свойство 2, получаем: |x| − |y| 6 |x − y|.1.10Глава 1.
МножестваMFH Corporation2. (a, b) {x ∈ R a < x < b} — открытый отрезок;1. |x · y| = |x| · |y|; в частности | − x| = |x|;1. Вытекает из определения;2. Вытекает из определения;3.−|x|6+−|y|6−(|x| + |y|) 6Стр. 24Расширенная числовая прямаяОПР 1.10.1 (Расширенная числовая прямая).Введём пару объектов:ОПР 1.11.1 (Верхняя и нижняя грани).Пусть A ⊆ R.• Число ` ∈ R называется верхней гранью множества A, если ∀x ∈ A : x 66 `;• Число ` ∈ R называется нижней гранью множества A, если ∀x ∈ A : x >> `.ОПР 1.11.2 (Ограниченность множества).Множество A называется:• ограниченным сверху, если в R существует верхняя грань множестваA;• ограниченным снизу, если в R существует нижняя грань множестваA;• ограниченным, если оно ограниченно снизу и сверху.1.11.2.1 Обозначение множеств граней.
Γ+ (A) — множество верхних граней множества A;• −∞ — некий объект, обладающий свойством: ∀x ∈ R : − ∞ < x;• +∞ — некий объект, обладающий свойством: ∀x ∈ R : x < +∞.Тогда R R ∪ {−∞, +∞} — расширенная числовая прямая.ОПР 1.10.2 (Множества на расширенной числовой прямой).. Γ− (A) — множество нижних граней множества A;ОПР 1.11.3 (Точная грань).• Число q ∈ Γ+ (A) называется точной верхней гранью множества A если∀q 0 ∈ Γ+ (A) : q 6 q 0 .Обозначается q = sup (A) = sup a;1.
[a, b] {x ∈ R a 6 x 6 b} — замкнутый отрезок;Лекции по математическому анализуВерхняя и нижняя граниa∈Ahttp://MFH.gorodok.net/Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/1.12. Аксиома непрерывностиMFH CorporationСтр. 25• Число q ∈ Γ− (A) называется точной нижней гранью множества A если∀q 0 ∈ Γ− (A) : q 0 6 q.Стр.
26Пусть:a∈AX A — множество левых концов интервалов Jk из аксиомы о вложенных отрезках;X A — множество правых концов интервалов Jk из аксиомы о вложенных отрезках.Аксиома непрерывностиОПР 1.12.1 (Аксиома непрерывности).Всякое подмножество A ⊆ R обладает точной верхней и точной нижнейгранями.1.13Глава 1. Множества. Доказательство.Обозначается q = inf (A) = inf a;1.12MFH CorporationA ⊆ R; B ⊆ R ⇒ (по аксиоме непрерывности) ∃ inf B, ∃ sup A; По построению, получаем inf B = sup A.Аксиома о вложенных отрезкахОПР 1.13.1 (Максимум и минимум множества).Пусть A ⊆ R; ` ∈ R. Тогда:1.14• если ` — верхняя грань A и ` ∈ A, то ` — максимум множества A.Обозначается ` = max (A) = max a.Сечение ДедекиндаОПР 1.14.1 (Сечения).Пусть L, H — два подмножества R такие, что:a∈A• если ` — нижняя грань A и ` ∈ A, то ` — минимум множества A.Обозначается ` = min (A) = min a.2.
∀x ∈ L, ∀y ∈ H имеет место x < y.a∈A(L, H) называется сечением (по Дедекинду).1.13.1.1 Некоторые обозначения< a, b >; a, b ∈ R — любой интервал между a и b .ОПР 1.13.2 (Вложенность интервалов).Пусть J1 =< a, b >; J2 =< c, d > .Если a 6 c < d 6 b, то интервал J2 называется вложенным в интервалJ1 .Обозначается J2 ⊆ J1 , J2 6 J1 .ОПР 1.13.3 (Вложенность семейства интервалов).Множество (семейство) интервалов J1 , J2 , . .
. , Jk , . . . называется вложенным, если ∀k : Jk+1 ⊆ Jk .ОПР 1.13.4 (Аксиома о вложенных отрезках).Для любого семейства замкнутых отрезков существует точка, принадлежащая всем отрезкам в этом семействе, т.е. ∃x ∈ R ∀k : x ∈ Jk .Теорема 1.13.4.1 (Об эквивалентности аксиом)..
Из аксиомы непрерывности 1.12.1 на стр. 25 следует аксиома о вложенныхотрезках 1.13.4.Лекции по математическому анализу1. в L и H есть хотя бы один элемент R;http://MFH.gorodok.net/ОПР 1.14.2 (Аксиома Дедекинда).Для любого сечения (L, H) либо L имеет максимальный элемент, либо Hимеет минимальный элемент.Теорема 1.14.2.1 (Об эквивалентности аксиом).. Из аксиомы непрерывности 1.12.1 на стр. 25 следует аксиома Дедекинда1.14.2.1.15Дроби и операции на нимиОПР 1.15.1 (Десятичные дроби).• a, α1 α2 . . .
αn — конечная десятичная дробь;• a, α1 α2 . . . αn . . . — бесконечная десятичная дробь, если для любого натурального k можно указать αk .Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/1.15. Дроби и операции на нимиMFH CorporationСтр. 271.15.1.1 Алгоритм построения десятичной дробиСтр. 281.15.2.1 Действия над действительными числами. Пусть x — рационально, тогда, согласно аксиоме Архимеда 1.8.1 на стр.21, существует число a ∈ Z такое, что a < x 6 a + 1;. Найдем наибольшее число α1 такое, что a +16 a, α1 + 10;α110Глава 1. МножестваMFH CorporationПустьПолучим: a, α1 < x 6x = a, α1 α2 .
. . αk . . . ; y = b, β1 β2 . . . βk . . . .Тогда:. Затем ищем α2 , α3 , . . . .. На каком-то шаге m получим:a, α1 α2 . . . αm < x 6 a, α1 α2 . . . αm +◦ x = y, если a = b, и ∀i ∈ N1.10mαi = βi ;◦ x < y, если a < b или a = b, ∃k ∈ N αk < βk и ∀i < kαi = βi◦ −x = −a, α1 α2 . . . αk . . .;Мы получили десятичную дробь.◦ x + y = a + b, α1 + β2 α2 + β2 .
. . αn + βn . . .;Следствие 1.15.1.2 (Свойства десятичных дробей).◦ Произведение;1. В десятичных дробях число нулей не бесконечно;2. Разложение в бесконечные десятичные дроби для различных чиселразлично.Лемма 1.15.3 (О монотонности степени).. Пустьx, y ∈ R; x > 0; y > 0.. Доказательство.1. Пусть a, α1 α2 . . . — разложение числа x в десятичную дробь ипусть условие не выполнено, т.е. с какой-то позиции в разложении идут только нули. Тогда1 < x − a, α1 α2 . .
. αm 6110m+k0 < x − a, α1 α2 . . . αm 6 0.. Тогда∀n ∈ N, n > 1 имеет место:1. x < y ⇒ xn < y n2. xn < y n ⇒ x < y.;. Доказательство.2. Пусть x 6= y, а их разложения в десятичные дроби одинаково.Значит1. x < y ⇒ x2 < xy, xy < y 2 ⇒ x2 < y 2 ; И так далее (по индукции).2. От противного.X Пусть x = y, тогда xn = y n — ПРОТИВОРЕЧИЕ;X Пусть x > y, тогда по свойству 1 получаем xn > y n — ПРОТИВОРЕЧИЕ.Следовательно, x < y.1;10m1a, α1 α2 . . .
αm < y 6 a, α1 α2 . . . αm + m ;101⇒ ∀m : 0 < |x − y| 6 m ⇒ 0 < |x − y| 6 0.10a, α1 α2 . . . αm < x 6 a, α1 α2 . . . αm +Следовательно, x, y совпадают.Теорема 1.15.4 (О корне n ой степени из действительного числа).ОПР 1.15.2 (Действительное число).Действительным числом называется бесконечная десятичная дробь в видеx = a, α1 α2 .
. . αk . . . .Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/. ∀c > 0, c ∈ R∀n ∈ N, n > 1 ∃!x ∈ R, x > 0 xn = cI). Доказательство.I) ∃!— существует, и единственныйЛекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/1.16. Счетные множестваMFH CorporationСтр.
29X Существование.√nc = a, α1 α2 . . . αn , при этом ∀k > 0 имеет место a, α1 α2 . . . αk . . . <√nc < a, α1 α2 . . . αk . . . + 101kX Единственность.Пусть есть два элемента x, y xn = c, y n = c. Допустим, что x 6= y,тогда возможны два случая :1. x < y;Тогда из леммы 1.15.3 ⇒xn < y n ⇒ c < c — ПРОТИВОРЕЧИЕ.2. x > y;Аналогично.1.16Стр. 30Глава 1.
МножестваMFH CorporationПРЕДЛ 1.16.5 (Инъекция не более, чем счетных множеств).. Пустьf : A → B — инъективно. B — не более, чем счетное множество.. ТогдаA — не более, чем счетно.. Доказательство.Пусть x ∈ A, тогда f (x) ∈ B ⇒ µ : A → N ⇒ µ = ν ◦ f , где ν —нумерирующее для B.ПРЕДЛ 1.16.6 (Сюрьекция не более, чем счетных множеств).Счетные множестваОПР 1.16.1 (Счетных множеств).Множество A называется счетным, если существует инъекция: ν : A →N, ν — нумерирующее отображение.. Пустьf : A → B — сюрьективно. A — не более, чем счетное множество.. ТогдаB — не более, чем счетное множество.1. ν — определено ∀x ∈ A;ПРЕДЛ 1.16.7 (Определение эквивалентных множеств).2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
