1610912325-537f93a9ed79c6e0a65b212a8eeb3d50 (824705), страница 4
Текст из файла (страница 4)
. . . . . . . . . .12.1.13 Множества всех превообразных функции на множестве .ОПР 12.1.14 (Неопределенного интеграла) . . . . . . . . . . . . . .ОПР 12.1.15 (Определенного интеграла) . . . . . . . . . . . . . . .Лемма 12.1.17 (Корректность определенного интеграла) . . . . .ОПР 12.1.18 (Криволинейной трапеции) . . . . . .
. . . . . . . . .Лемма 12.1.19 (Ньютона ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Следствие 12.1.19.1 () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.2 Свойства интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Теорема 12.2.1 (Об интегрируемости на объединении отрезков) .Следствие 12.2.1.1 () . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .Теорема 12.2.2 (О линейности определенного интеграла) . . . . .Лекции по математическому анализу133133133134134134134134135135135135136137137137137138138139139139140140http://MFH.gorodok.net/Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/Стр. 14Глава 1. МножестваMFH Corporation1.1.6 Свойства принадлежности1. A ⊆ A;2. A ⊆ B и B ⊆ C, тогда A ⊆ C;3. A ⊆ B и B ⊆ A, тогда A = B;4. A = B, тогда B = A;Глава 15.
A = B и B = C, тогда A = C.1.1.6.1 Свойства множествМножества1. A = A — однородность;2. A = B, тогда B = A — симметрия;3. A = B, B = C, тогда A = C — транзитивность.1.1Введение в теорию множествОПР 1.1.1 (Множество).Первичное понятие — совокупность объектов.ОПР 1.1.2 (Задание множества).Множество считается заданным, если для любого объекта мы можемсказать, принадлежит этот объект множеству или нет.1.1.3 Обозначения1.2Логическая символикаОПР 1.2.1 (Высказывание).Высказыванием назовём повествовательным предложением о каких либосвойствах объекта.• Если x — объект, то P (x) — предложение.• Нас интересует истинно выражение или ложь..
A, B, C . . . — обозначения множеств;. x, y, z . . . — элементы множества;. x принадлежит множеству A — x ∈ A;. x не принадлежит множеству A — x 6∈ A;. A включено в B — A ⊆ B;. ∅ — пустое множество.ОПР 1.2.2 (Операции).На множестве высказываний вводятся операции. Если P и Q — два высказывания, тогда:1.
P &Q истинно, если истинны и P , и Q — называется логическим "И"или"КОНЪЮНКЦИЯ ;2. P |Q истинно, если истинно P или Q — называется логическим "ИЛИ"или"ДИЗЪЮНКЦИЯ ;3. qP истинно, если ложно P . — ОТРИЦАНИЕ ;1.1.4 Способы задания множеств1. {α, β, γ, . . .} — перечисление;2. x ∈ A, если выполнено свойство A(x).ОПР 1.1.5 (Подмножества).Пусть A и B множества. Будем говорить, что A ⊆ B, если из x ∈ Aследует x ∈ B.134. P ⇒ Q — из истинности P следует истинность Q — СЛЕДСТВИЕ"или"ИМПЛИКАЦИЯ ;5. P ⇔ Q — P и Q равносильны, т.е. (P ⇒ Q)&(Q ⇒ P ).ОПР 1.2.3 (Кванторы).Следующие "значки"принято называть кванторами, и использовать длясокращения записи:Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/1.3.
Операции над множествамиMFH CorporationСтр. 15• ∀ — для всех;ОПР 1.4.3 (Постоянное отображение).F : A → B ∀x F (a) = b, при a ∈ A, b ∈ B.• | — такое что.• F (A) {y ∈ B y = F (x)} — образ A относительно отображения F ;Операции над множествами• F −1 (B) {x ∈ A y = F (x), y ∈ B} — прообраз B относительно отображения F .ОПР 1.3.1 (Операции над множествами).Пусть A,B — множества, тогда:1. A ∪ B = C {x ∈ C ⇔ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)} — объединение;2. A ∩ B = C {x ∈ C ⇔ (x ∈ A)&(x ∈ B)} — пересечение;3. A r B = C {x ∈ C ⇔ (x ∈ A)&(x 6∈ B)} — вычитание;4.
A ∩ B = ∅, тогда A r B = A — дополнение.ОПР 1.4.5 (Типы отображений).Пусть f : A → B, тогда:∃x ∈ A f (x) = y;• f — инъекция (разнозначность), если ∀x1 , x2 ∈ A x1 6= x2f (x2 );f (x1 ) 6=• f — биекция (взаимооднозначность), если f — инъекция и сюрьекция;• Обратное отображение.Отображение множествОПР 1.4.1 (Отображение множеств).Пусть A, B — множества, тогда отображением f : A → B называетсялюбое правило, которое каждому элементу из A единственным образом сопоставляет элемент из B. При x ∈ A, y ∈ B записывается: y = f (x).
Приэтом:ОПР 1.4.6 (Обратное отображение).Пусть F : A → B — отображение, тогда F −1 — обратное отображение,если ∀y ∈ B ∃x F (x) = y;Если F — инъективно и сюрьективно, то определено G = F −1 G : B →→ A.ОПР 1.4.7 (Суперпозиция отображения).Пусть A, B, C — множества; f : A → B,— суперпозиция функций f и g, h : A → C.• D(f ) {x ∈ A f (x)};D(f ) — область определения;• E(f ) {y ∈ B ∃x ∈ AE(x) = y};g : B → C, тогда h = g(f ) = g◦f1.4.7.1 УпражнениеE(f ) — область значений;. Доказать, что f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h.y ∈ E(f );ОПР 1.4.8 (График отображения).G(F ) = {(x, y) ∈ A × B y = F (x)} G(F ) — график отображения.Замечание.Если G — обратное отображение F и F : A → B, тогда G ◦ F : A → A; G ◦F = idA; F ◦ G : B → B = idB.y = F (x).ОПР 1.4.2 (Тождественное отображение).F : A → A ∀x F (x) = x;Также обозначается:Лекции по математическому анализуОПР 1.4.4 (Обратная функция).Если f −1 (y) состоит из единственного элемента ∀y ∈ E(f ), тогда говорят, что функция f обладает обратной и обозначают f −1 : B → A.• f — сюрьекция (отображение на), если ∀y ∈ BОПР 1.3.2 (Декартово произведение).Пусть A, B — множества, тогда A × B {{x, y} x ∈ A, y ∈ B} — декартово (прямое) произведение.
В общем случае A1 × · · · × An = {{x1 , . . . xn } xi ∈Ai ∀i}. В частном случае, когда ∀i : Ai = A, A × · · · × A = An .1.4Глава 1. МножестваMFH CorporationF (x) = id(x) = x.• ∃ — существует;1.3Стр. 16http://MFH.gorodok.net/Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/1.5. Вещественные числа1.5MFH CorporationСтр. 17Вещественные числа. f : R × R → R;f (x, y) = x + y — сложение;.
g : R × R → R;g(x, y) = x · y — умножение.2. ∀x 6= 0 обратный элемент единственный.ОПР 1.5.3.2 (Деление и вычитание).• x·0 ∀x ∈ R :x+0=x=xy— деление;ОПР 1.5.4 (Аксиомы порядка).Пусть Q(x, y) — некоторое высказывание на R × R. Q(x, y) : x 6 y —порядок.— существование нуля;x + y = y + x — коммутативность;∃(−x) x + (−x) = 0 — существование аддитивного обратного;A4. ∀x, y, z ∈ R1y• x + (−y) = x − y — вычитание.ОПР 1.5.2 (Аксиомы сложения).A3. ∀x ∈ RГлава 1. Множества1. Единица единственна;. R — множество действительных чисел;A2. ∀x, y ∈ RMFH CorporationСледствие 1.5.3.1 (Свойства аксиом умножения).1.5.1 ВведениеA1.
∃Стр. 18x + (y + z) = (x + y) + z — ассоциативность.Если x 6 y и y 6 x, то говорят x = y;Если x 6 y, но x 6= y, то x < y.O0. x, y ∈ R,одно;Следствие 1.5.2.1 (Следствия аксиом сложения).1. 0 — единственный;из трёх высказываний x < y, x = y, x > y истинно только2. Обратный элемент для x — единственный;O1. ∀x ∈ R : x 6 x;3. Уравнение x + a = b имеет единственный корень (решение).O2. ∀x, y, z ∈ R : если x 6 y, y 6 z, то x 6 z;O3. ∀x, y ∈ R : если x 6 y, то ∀z : x + z 6 y + z;. Доказательство.1.
Пусть таких элементов два: 01 , 02 , тогда 01 = 01 + 02 = 02 ;2. Пусть y1 , y2 — обратные элементы для x, тогда y2 = 0 + y2 =(x + y1 ) + y2 = (x + y2 ) + y1 = 0 + y1 = y1 ;3. x = b + (−a)O4. z ∈ R, z > 0 и ∀x, y ∈ R : если x 6 y, то z · x 6 z · y.Следствие 1.5.4.1 (Следствия аксиом порядка).Пусть a, b ∈ R, тогда:1.
Если a > 0, b > 0, то a + b > 0;2. Если a > 0, b > 0, то a · b > 0;ОПР 1.5.3 (Аксиомы умножения).M 1. ∃1 ∈ R ∀x ∈ R :M 2. ∀x, y ∈ R(A + M ) ∀x, y, z ∈ R— существование единицы;x · y = y · x — коммутативность;M 3. ∀x ∈ R x 6= 0обратного;M 4. ∀x, y, z ∈ Rx·1 =x∃y ∈ R x·y = 1 — существование мультипликативногоx · (y · z) = (x · y) · z — ассоциативность;(x + y) · z = x · z + y · z — дистрибутивность;Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/3. Если a 6= 0, то a · a > 0;4.
0 < 1.1.6Натуральные числаОПР 1.6.1 (Индуктивное множество).Множество M ⊆ R назовём индуктивным, если выполнены условия:1. 1 ∈ M ;Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/1.6. Натуральные числаMFH CorporationСтр. 19Стр. 20Глава 1. МножестваMFH CorporationСледствие 1.6.2.2 (Следствие 1).2. ∀x ∈ M ⇒ x + 1 ∈ M .УТВ 1.6.1.1 (Существование индуктивного множества).. 1 < 2 < 3 < ...∀x : x < x + 1.Следствие 1.6.2.3 (Метод математической индукцией).. Индуктивное множество существует.. Доказательство.X R ⊆ R;X 1 ∈ R;X ∀x ∈ R : x + 1 ∈ R.Следовательно, R — индуктивное множество..
Пусть задано множество высказываний зависимых от натурального числаP (n), n ∈ N.◦ Пусть P (1) — истинно;◦ Если P (k) — истинно, то P (k + 1) — истинно;Тогда P (n) истинно ∀n ∈ N.. Доказательство.УТВ 1.6.1.2 (О пересечении индуктивных множеств).M множество {k P (k) — истинно}.1∈M⇒ M — индуктивное множество.k ∈M ⇒k+1∈M. Любое пересечение индуктивных множеств является индуктивным множеством.. Доказательство.◦ 1 принадлежит всем множествам, следовательно 1 принадлежит пересечению всех множеств.◦ Пусть x принадлежит пересечению множеств, тогда x принадлежиткаждому множеству, значит, 1+x принадлежит каждому множеству,и следовательно 1 + x принадлежит пересечению всех множеств.◦ Условия из определения индуктивного множества выполнены, значит, пересечение индуктивных множеств является индуктивным множеством.ОПР 1.6.3 (Различные множества).1. (−A) −x x ∈ A ;2.
A + B = C x + y x ∈ A, y ∈ B ;3. A · B = C x · y x ∈ A, y ∈ B ;4. A − B A + (−B).ОПР 1.6.4 (Множество целых чисел).• Множество целых чисел Z = Ni − N;ОПР 1.6.2 (Множество натуральных чисел).Множеством натуральных чисел называется пересечение всех индуктивных множеств из R.
Обозначается: N• Множество рациональных чисел: {x ∈ Q ⇔ x = pq , где p, q ∈ Z, q 6= 0}.Следствие 1.6.2.1 (Индуктивные подмножества N).1.7. Если M ⊆ N и M индуктивно, то M = N.ОПР 1.7.1 (Степень числа).Пусть a ∈ R, a 6= 0, тогда:. Доказательство.1. a0 = 1; a1 = a; a2 = a · a1 ; . .
. an = a · an−1 , n ∈ N;т.к. M — индуктивно, то M ⊆ N ⇒ M = N.Лекции по математическому анализуСтепень числа2. a0 = 1; a−1 = a1 ; a−2 =http://MFH.gorodok.net/1−na2 ; . . . a=1an .Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/1.8. Аксиома АрхимедаMFH CorporationСтр. 21Стр. 22.
Тогда1.7.1.1 Свойства степениa 6 0.Пусть a, b ∈ R n, m ∈ N, тогда:. Доказательство.1. an · bn = (a · b)n ;От противного2. an+m = an · am ;3. (a )n m=anmГлава 1. МножестваMFH CorporationX Пусть a > 0 ⇒ ∃ a1 > 0;.XXТеорема 1.7.2 (Тождество 1).. ∀q 6= 0 справедливо 1 + q + q 2 + · · · + q n−1 =1a1a∈ R ⇒ (по аксиоме Архимеда ) ∃s 0 << s ⇒ 1 < as ⇒ a > 1s .1a< s ⇒ s > 0 ⇒ s ∈ N;Получили противоречие, следовательно, a 6 0.1−qn1−q .. Доказательство.Следствие 1.8.1.2 (Следствие 2).◦ Т.к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
