1610912325-537f93a9ed79c6e0a65b212a8eeb3d50 (824705), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Если x, y ∈ A и x 6= y, то ν(x) 6= ν(y).ОПР 1.16.2 (Конечных множеств).A называется конечным, если ∃m ∈ M : ν : A → {1, 2, . . . , m} — взаимооднозначное. Если такого m не существует, то A — бесконечно.ОПР 1.16.3 (Не более чем счетных множеств).Если A — конечно или счетно, то A не более, чем счетно.ПРЕДЛ 1.16.4 (О не более, чем счетных подмножествах).. Два множества A и B называются эквивалентными, если существует взаимооднозначное отображение f : A → B (биективное).Теорема 1.16.8 (Эквивалентность N своим бесконечным подмножествам)..
Всякое бесконечное подмножество M ⊆ N эквивалентно N. Это означает,что ∃ ν : M → N — взаимооднозначное.. Доказательство.. ПустьB ⊆ A и A — не более, чем счетно.M ⊆N⇒X ∃x1 x1 — наименьший для M ; ⇒ ν(x1 ) = 1; M1 = M r {x1 };X ∃x2 x2 — наименьший для M1 ; ⇒ ν(x2 ) = 2; M2 = M r {x2 };X И так далее.. ТогдаB — не более, чем счетно.. Доказательство.Получаем, что ν определена на всем множестве M и ∀k ∈ N : ∃xk —по построению.◦ Пусть x ∈ B ⇒ x ∈ A ⇒ ν(x) ∈ N;◦ Пусть x, y ∈ B ⇒ x, y ∈ A; ν(x) = ν(y) ⇔ x = y.Следствие 1.16.8.1 (К теореме).Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/1.16. Счетные множестваMFH CorporationСтр. 31.
Все счетные множества эквивалентны.Стр. 32MFH CorporationГлава 1. Множества. Доказательство.. Доказательство.Пусть A, B — два счетных множества. Тогда определены нумерацииν : A → N, µ : B → N ⇒ ν(A) ⊆ N, µ(B) ⊆ N ⇒ ∃f : ν(A) →N, ∃g : µ(B) → N ⇒ µ−1 ◦ g −1 ◦ f ◦ ν : A → B — взаимооднозначноеотображение.ПРЕДЛ 1.16.9 (Об объединение счетных множеств).. ПустьA, B — два счетных множества.◦ Можно считать, что [a, b] = [0, 1].Пусть [0, 1] — счётно, значит существует элемент x1 ∈ [0, 1]. [0, 1] =[0, 13 ] ∪ [ 31 , 23 ] ∪ [ 32 , 1]. Существует хотя бы один интервал [α1 , β1 ] | x1 6∈[α1 , β1 ].Рассмотрим [α1 , β1 ] и элемент x2 : [α1 , β1 ] разбиваем на 3 части.очевидно ∃[α2 , β2 ] | x2 6∈ [α2 , β2 ].
Заметим, что [α2 , β2 ] < [α1 , β1 ].По индукции получим интервал [αn , βn ] | xn 6=∈ [αn , βn ], [αn , βn ] <[αn−1 , βn−1 ].Получим семейство вложенных замкнутых отрезков. По теоремео вложенных отрезках ∃y ∈ [αn , βn ] ∀n ∈ N. Но элементу y невозможно приписать никакой номер, т.к. по построению она не можетсовпадать ни с одной из точек x1 , x2 , . .
. , xn .. ТогдаA ∪ B — счетное множество.. Доказательство.A = {a1 , a2 , . . . , an , . . .}; B = {b1 , b2 , . . . , bn , . . .}; A∪B = {a1 , b1 , a2 , b2 , . . . , an , bn , . . .} ν(ak ) =2k − 1, ν(bk ) = 2k ⇒ ν : (A ∪ B) → N —- нумерация для A ∪ B.Теорема 1.16.10 (Кантора о счетном объединении счетных множеств).. ПустьA1 , A2 , . . . , An , . . . — счетных набор счетных множеств.. ТогдаC=∞SAi — счетное множество.i=1Следствие 1.16.10.1 (К теореме).. Q — счетно.Теорема 1.16.11 (Не счётность R).. ПустьA ⊆ R; A = [a, b], a < b.. ТогдаМножество A не является счетным.Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/Стр. 34Глава 2. Числовые последовательности и пределыMFH Corporation5.
(отделимость)∀P, Q ∈ R P 6= Q существуют окрестности UP и UQ UP ∩ UQ = ∅.. Доказательство.(5) Пусть P 6= Q. Тогда предположим, что P < Q. Отсюда получаем:P −QP < P +Q< Q ⇒ BP ( P −Q24 ) ∩ BQ ( 4 ) = ∅.Глава 2Числовыепоследовательности ипределыОПР 2.1 (Выпуклого отрезка).Множество U ⊆ R называется выпуклым, если ∀x, y ∈ U ⇒ [x, y] ∈ U .ОПР 2.2 (Элементарной окрестности).Элементарной ε окрестностью точки p ∈ R называется множество видаBp (ε) = {x |x − p| < ε}.ОПР 2.3 (Элементарной окрестности +∞ и −∞).Элементарной окрестностью точки +∞ ∈ R называется множество вида (r, +∞), т.е.
{x ∈ R x > r, r ∈ R}.Аналогично, элементарной окрестностью точки −∞ ∈ R называется (−∞, r),т.е. {x ∈ R x < r, r ∈ R}.ОПР 2.4 (Окрестности).Множество U ⊆ R называется окрестностью точки P , если существуетэлементарная окрестность V точки P , такая, что U ⊆ V .Следствие 2.4.1 (Свойства окрестностей)..1. Если U — окрестность точки P , то P ∈ U ;2. Если U и V — окрестности точки P , то W = U ∩ V — окрестностьточки P ;3.
Если U ⊆ V и U — окрестность точки P , то V — окрестность точки P ;4. Всякая окрестность точки P содержит выпуклый отрезок;33ОПР 2.5 (Диаметра множества).Пусть S ⊆ R, тогда диаметр множества S это:defdiam S =sup |x − y|.∀x, y∈S2.6Последовательности и их пределыОПР 2.6.1 (Последовательности).Последовательностью называется любое отображение f : N → R. Следовательно, любая последовательность — это не более, чем счетное множество.Говорят, что последовательность задана, если ∀n ∈ N можно указатьxn , n-ый элемент последовательности.2.6.1.1 Способы задания последовательностей.1.
В виде формулы. Пример: xn = f (n);2. В виде итераций. Пример: xn+1 = f (xn ).2.6.2 Операции над последовательностями. Пусть даны две последовательности {x1 , x2 , . . . , xn . . . } = x; {y1 , y2 , . . . , yn . . . } =y.. Тогда:def1. ∃z = x + y = {x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn , . . .};def2. ∃z = x · y = {x1 · y1 , x2 · y2 , . . . , xn · yn , . . .};3. Если yn 6= 0, ∀n ∈ N, то ∃z =x defy ={ xy11 ,x2y2 ,...,xnyn ,. . .};4. Последовательность вида a, a, . . . , a, . . .
— называется постояннойпоследовательностью;5. ∃z = y1 — называется обратной последовательностью, если yn 6=0 ∀n ∈ N.Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/2.7. Пределы последовательностей2.7MFH CorporationСтр. 35Пределы последовательностейОПР 2.7.1 (Топологическое определение предела).Будем говорить, что последовательность xn сходится (стремится) к a,где a ∈ R, при n → ∞ (и записывать в виде x → a при n → ∞ или lim xn = a),n→∞если для любой окрестности U точки a существует такой номер M , что∀n > M : xn ∈ U .Стр. 36MFH CorporationГлава 2.
Числовые последовательности и пределы◦ Мы рассмотрим случай, когда последовательность монотонно возрастет. Для монотонно убывающей последовательности рассуждения аналогичны.◦ Пусть xn — монотонно возрастающая последовательность., тогда возьмем a = sup xi . Пусть:i∈N1. a = −∞ ⇒ xn = a ∀n ∈ N ⇒ lim xn = a = −∞;n→∞2. a 6= −∞, a > −∞. Рассмотрим окрестность точки a, U = [r, a].Пусть V — произвольная окрестность точки a, тогда: ∃r U ⊆⊆ V ; ∃M xM ∈ [r, a], ⇒ ∀n > M : xn ∈ [r, a], т.к.
xn+1 > xn . Значит, топологические условия существования предела 2.7.1 выполнены, следовательно, a— предел.Теорема 2.7.2 (О единственности предела).. Пустьxn → a и xn → b при n → ∞.. Тогдаa = b.. Доказательство.◦ Пусть U окрестность точки a, а V окрестность точки b, тогда согласно определению предела 2.7.1: ∃M1 xn ∈ U ∀n > M1 ; ∃M2 xn ∈V ∀n > M2 ⇒ выбираем M = max {M1 , M2 } и получаем, что ∀n >> M : xn ∈ U, xn ∈ V ⇒ xn ∈ (U ∩ V ) ⇒ ∀U, V : U ∩ V 6= ∅, с другойстороны по свойству 5 для окрестностей 2.4.1, если a 6= b, получаем∃U, V U ∩ V = ∅ — противоречие ⇒ a = b.ОПР 2.7.7 (Истинности высказывания).Будем говорить, что высказывание P (n) истинно, начиная с некоторогономера, если ∃M ∈ N ∀n > M : P (n)— истинно.Теорема 2.7.8 (О неравенстве пределов )..
Пустьxn → a, yn → b при n → ∞; a, b ∈ R.. Тогда1. Если a < b, то xn < yn начиная с некоторого номера;ОПР 2.7.3 (Монотонного возрастания последовательности).Последовательность xn называется монотонно возрастающей ( строго монотонно возрастающей), если ∀n ∈ N : xn 6 xn+1 (xn < xn+1 ).ОПР 2.7.4 (Монотонного убывания последовательности).Последовательность xn называется монотонно убывающей ( строго монотонно убывающей), если ∀n ∈ N : xn > xn+1 (xn > xn+1 ).ОПР 2.7.5 (Монотонности последовательности).Последовательность называется монотонной ( строго монотонной), еслиона либо монотонно убывает, либо монотонно возрастает (либо строго монотонно убывает, либо строго монотонно возрастает).2. Если xn 6 yn начиная с некоторого номера, то a 6 b..
Доказательство.1. Если a < b, то ∃c ∈ R a < c < b. Множества (−∞, c) и (c, +∞) непересекаются. (−∞, c)— окрестность точки a; (c, +∞)— окрестность точки b. xn → a ⇒ ∃M1 ∈ R ∀n > M1 : xn ∈ (−∞, c);yn → b ⇒ ∃M2 ∈ R ∀n > M2 : yn ∈ (c, +∞). Если M = max {M1 , M2 },то ∀n > M : xn ∈ (−∞, c); yn ∈ (c, +∞) ⇒ xn < yn .2. От противного. Пусть a > b, тогда согласно пункту 1, ∃M ∈N ∀n > M : xn > yn — противоречие, значит, a 6 b.Теорема 2.7.6 (О пределе монотонной последовательности).. Всякая монотонная последовательность имеет предел в R..
Доказательство.Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/ОПР 2.7.9 (Ограниченной последовательности).Последовательность xn называется ограниченной, если ∃M ∈ N ∀n ∈N : |xn | < M .Лекции по математическому анализуhttp://MFH.gorodok.net/2.7. Пределы последовательностейMFH CorporationСтр. 37Теорема 2.7.10 (О промежуточном пределе (лемма о двух милиционерах)).Стр.
38◦ Пусть ε = 1 : ∃M ∀n > M : |xn − a| < 1. Тогда: ∀n > M : |xn | =|xn − a + a| 6 |xn − a| + |a| 6 1 + |a|.vn , xn , wn — три последовательности, причем:◦ Пусть S = max {|x1 |, |x2 |, . . . , |xM |, 1 + |a|}, тогда последовательность xn ограничена: ∀n ∈ N : xn 6 S.◦ lim vn = lim wn = a;n→∞◦ xn ∈ [vn , wn ] — начиная с некоторого номера.. ТогдаСледствие 2.7.14 (Сходимость последовательности из модулей).∃ lim xn = a.n→∞. Пусть. Доказательство.xn → a при n → ∞.◦ Перепишем условия в ином виде:. Тогда1. ∃M1 ∈ N ∀n > M1 : xn ∈ [vn , wn ];2. ∀Va : ∃M2 ∈ N ∀n > M2 : vn ∈ Va ;3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
