1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 98
Текст из файла (страница 98)
элементом г'(хв)(хв — х), мы получаем из (3) линейное уравнение Г' (хо ) (хе — х) — Г(хв ), решение которого х1 = хо — [7"(хо)) ~'(хо) естественно рассматривать как следующее приближение к точному решению х уравнения (3) (существование оператора [Г'(хе)) здесь, конечно, предполагается). Повторяя те же рассуждения, мы полу чаем последователыюсть (4) хп+1 = хя [Г (хв)) (Г(хъ)) рл. Х. Элементы дифференциального иениеленил 526 приближенных решений уравнения (3). В бесконечномерном случае нахождение обратного оператора [Р'(х„)] ' может быть достаточно сложной задачей. Поэтому здесь бывает целесообразно пользоваться так называемым модифицированным методом Ньютона (см. [27, 28]).
Модификация состоит в том, что вместо последовательности (4) рассматривается последовательность, определяемая форму- лой Хп.~-г = Хп — [~'(ХО)] '~У(ХпН, (е) т.е. обратный оператор [Е'(хо)] ' берется на каждом шаге при одном и том же значении аргумента х = хв.
Хотя такая модификация уменьшает скорость сходимости, она часто оказывается целесообразной с вычислительной точки зрения. Перейдем теперь к формулировке и доказательству точного утверждения. Теорема 1. Пусть отображение Е сильно дифференцируемо в некотором шаре В(хо, г) с центром хо и радиусом г, а производная Е(х) удовлетворяет в этом шаре условию Липшица: [[Р'( )-Р'( Н<Ц -х [] Пусть [Е'(хо)] ~ существует и М = [[[К'(хо)] '[[, й = [[[Е'(хо)] 'Г(хо)[], й = Л1ИТ.
Доказательство. РассмотримвпространствеХ отображение Ах = х — [Г'(хо)] Г(хо). Его сильная производная равна О в точке хе. Это отображение переводит шар [[х — хо[[ < Но в себя. Действительно, .4х-хо = х — хо — [Е'(хо)] 'Р(х) = = ~У'(хо)] '(Р'(хо)(х — хв) — ~'(х) + Р(хе)) — Р'(хо)] 'Р(хв).
Поэтому [[4х — хо[[ < И[У'(хо)] '[[ [[Г'(хо)(х — хо) — Г(х) + Е(хо)[]+ + ][[Р'(хо) Г'Р(хо) [] т. е [[.4х. — ха[[ < М[[гео(хо)(х — хе) — Р(х) + Г(хо)][+ 1г. Рассмотрим вспомогательное отображение Ф(х) = Р(х) — ~(хо) — ~'(хо)(х — хо). (б) Тогда, если 1г < 1гг4, то в шаре ][х — хе[[ < ь16, где Ео меньший корень уравнения 1ггз — А + 1 = О, уравнение г (х) = О имеет единственное решение х' и последовательность (х„], определяемая рекуррентной формулой (5), сходится к этому решению.
4. Метод Ньютоне 527 Оно дифференцируемо и его производная равна Ф'(х) = гн(х)— — г '(хо) Если [[х — хо[! < Ко, то имеет место оценка [[Ф'(хЦ = [[Г'(х) — Г'(хо)[! < 5[[х —;,[! < 71ой. Отса>да по теореме о среднем (формула (9) 2 1) получаем [[Ф(х)[! = [[Ф(х) — Ф(хо)[! ( 1Ло7е[[х — хо[! ( Ио7е~. (7) Итак., если [[х — хо[! < 1ой, то из (6) и (7) получаем [[-4х — то[! < М7Со1д+ 1 = 7е(М71о~й+ 1) = 1еф1о + 1) = 1есо., а это и означает, что отображение А переводит шар [[х — то[! ( Йго в себя. Покажем теперь., что А — - сжимающее отображение этого шара.
При [[х — хо[! ( Ио имеем А'(х) = 1 — [~'(хо)! 'Р'(х) = [~'(хо)! '(Р'(хо) — Г'(х)), откуда [[А (х)[! < М[[Е(х,) -Е (.и! < ма![к — х.[! < Манто. Но 1о меньший корень уравнения 512 — 1+1=0, т.е. 1о= 1 — Л вЂ” 47е Поэтомг [[А (х)[! ( М1Мо = Мо И д < —, (8) откуда [[Ах7 — Ало[! < — [[х1 — хо[[, т. е, А .
— сжимающее отображение. 1 Следовательно, отображение А имеет в шаре [[х — хо[! < Ио одну и только одну неподвижную точку х*. Для этой точки х = х — [T (хо)! 'г(х'), т.е. Г(х') = О. Вместе с тем Ах„= х„— [Р'(хо)) 'Р(хн) = хнт1 и в силу теоремы о сжимающих отображениях последовательность (хн) сходится к х'. Из неравенства (8) сразу вытекает следующая оценка скорости сходимости модифицированного метода Ньютона: [[х. — * [! < —,',[[[~"("))-'~(")[[, (9) т. е, погрешность модифицированного метода Ньютона убывает как геометрическая прогрессия.
Отметим для сравнения, что обычный метод Ньютона (в котором приближения определяются формулой (4). а не (5)) сходится быстрее, чем геометрическая прогрессия: для это7 о метода [[хн — х*[! <,1, (2й) '1 рл. Х. Элементы дифференциального иениеленил 528 П р и м е р. Рассмотрим нелинейное интегральное уравнение ь х(8) = / К(8, Ь,х(Ь)) йЬ, (10) а где К(8,1,и) непрерывная и непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов. Введя отображение у = Е(х), определяемое равенством ь у(8) = х(л) — ) К(8.,1ьх(Ь)) Ф, а запишем уравнение (10) в виде Е(х) = О. Пусть хо нулевое приближение для решония этого уравнения.
Тогда первая поправка Ьх(л) = хь — хо определяется из уравнения г (хо)ых = — г(хо) (11) Если функция К(8, Ь, и) и функциональное пространство, в котором рассматривается уравнение (10), таковы, что производная Е'(х) отображения Е может быть вычислена «дифференцированием под знаком интеграла», т. е, если х = Е (хо)х означает, что е(л) х(ь) ) К (я Ь хо(ь))х(Ь)гьг, то уравнение (1Ц принимает вид ь Ьх(л) = ) К„(гчЬ,хо(Ь))Ьх(г) г11+ Ьоо(е) (12) где Ьоо(о) = / К(в,г,хо(Ь)) еьь — хо(а).
Аналогично находятся и следующие поправки. Таким образом, нахождение каждого следующего приближения сводится к решонию линейного интегрального уравнения. Если применяется модифицированный метод Ньютона, то при этом на каждом шаге приходится решать линейное уравнение с одним и тем же ядром. Более подробное изложение метода Ньютона и связанных с ниы вопросов имеется в книге [28], а также в статье Л. В.
Канторовича (27), которому и принадлежат основные результаты, относящиеся к обоснованию метода Ньютона для операторных уравнений. Л О П О Л Н Е Н 11 Е БАНАХОБЪ| АЛГЕБРЫ В. М. ТХХХОМИРОВ В третьей главе этой книги изучались линейные пространства. Така был выделен важный класс линейных пространств банаховы пространства. Здесь, в этом дополнении, будут изучаться банаховы алгебры, т.
е. банаховы пространства, в которых определено умножение элементов. Наличие умножения в сочетании с линейной и метрической структурой наделяет банаховы алгебры рядом замечательных свойств. 1. Определение и примеры банаховых алгебр 1. Банаховы алгебры, изоморфизмы банаховых алгебр. Напомним, что линейным пространством называется непустое множество элементов, в котором введены две операции сложение и умножение на числа, удовлетворяющие восьми аксиомам, сформулированным в 3 1 гл. П1. Определение 1.
Линейное пространство Х называется алгеброй, если в нем введена еще одна алгебраяческая операдия — умножение, которое подчинено следующим аксиомам: 1. (ху)г = х(уг). 2. х(у+ г) = ху 4- хщ (у 4- г)х = ух 4- гх. 3. о(ху) = (ох)у = х(ау). 4. Если сущестнует элемент е б Х такой, что ех = хе = х для всех х е Х, то е называется единицей алгебры Х, а сама алгебра называотся алгеброй с единицей') . 5. Если операция умножения коммутативна, т.
е. если выполняется аксиома: то алгебру Х называют каммуглагвивной алггбройс Коммутативные алгебры с единицей и будут в основном обьектом нашего дальнейшего рассмотрения. Всюду в этом дополнении числовое поле, над которым рассматриваются нагни алгебры, это поле С коъшлексных чисел. В 33 гл.
П1 было введено понятие нормированного пространства, т.с. линейного пространства, снабженного нормой ах~~, удовлетворяющей трем аксиомам, сформулированным в п. 1 3 3 гл. П. Единица в алгебре всегда елинственна, ибо если бы элемент г' также обладал свойством 4, то мы бы получили гг' = е =.
г'. Дополнение. Банахоеи алгебры 530 Определение 2. Нормированное пространство Х называется нормированной алгеброй, если оно является алгеброй с единицей и при этом выполнены еще две аксиомы: 6, 'йей = 1. 7. '0хУ0 ( ))х0 '0У0. Если нормированная алгебра Х вдобавок п о л н а 1т. е. является банаховым пространством), то она называется банахаеай лгебрай. Отображение Е: Х вЂ” г 1' называют гамамарфизмам алгебры Х в 1', если удовлетворяются условия: г1х+ у) = Ех+ Еу, г 1ох) = орх, г1ху) = Ех Еу. ~1) Р) (3) Две алгебры, Х и 1', называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение Е, удонлетворяющее условиям 11) — 13).
Нормированные пространства Х и 1 называют изаметричными, если существует взаимно однозначное отображение Е: Х э У, для которого выполнены условия 1Ц и 12) и, кроме того, !)Ехйг = ))х()х. Определение 3. Две банаховы алгебры Х и У мы назовем изамегарически изамарф@мми, если существует алгебраический нзоморфизм Г: Х ег У, являющийся изометрией Х и У как нормированных пространств. 2.
Примеры банаховых алгебр. 1. Поле С. Комплексные числа 1г) доставляют простейший пример банаховой алгебры, если ввести норму формулой: 3г0 = )г! = ~/ха + у-', г = х+ гу. ))х)) = шах)х11)). Ранее в гл. П н П1 рассматривался частный случай пространства Ст, когда Т = гга, 6) есть отрезок вещественной прямой. Другим важным частным случаем пространства Сг является пространство С" = 11ги..., г„)) Комплексные числа образуют поле С. В поле С для всех элементов, кроме нуля, определено деление операция, обратная умножению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
