1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 99
Текст из файла (страница 99)
31ы покажем в дальнейшем, что С есть единсгаееннал нармираеаннал алгебра, лалнюигалсл полем. 2. Алгебра Ст. Пусть Т некоторое компактное хаусдорфово топологичоское пространство. Обозначим через Ст линейное пространство всех непрерывных комплексных функций х11), заданных на Т с обычными для функций операциями сложения и умножения на число, в котором норма определяется равенством 1.
Оггредеаение и примеры банахоаых аагебр 53! п-мерных комплексных векторов, т. е. функций на пространстве нз и то- чек. Сложение, умножение на числа и улгножение элементов Сп произво- дятся покоординатно, а норма определяется формулой ))гс = щах )е,!. !« ))х() = плах )х( )). ) /<! Этим путем мы превратим А в коммутативную банахову алгебру с единицей. Справегмливость всех аксиом н здесь вполне очевидна. 4. Алгебра 1!. Обозначим через 1! совокупность всех двусторонних абсолютно суммируемых комплексных последовательностей х = Г...,х „,...,х л, хо,хг,...,х„,...) с нормой ))х!) = ~ ~)хлф 14) Произведением х у двух таких последовательностей: я=1 .;х-, -:хо,-.,х, . ), У=1.
У- Уо .. У! .-) назовем их свертку х = х г у, т.е. последовательность, члены которой определяются так: е„= гх а У)„= ~ хп лУл. л-.— 15) Если каждой посчедовательности х из г! сопоставить ряд Фурье хП) = хге'л! 10 ( 1 ( 2я), то последовательность, определенная форе= — °: мулой 15), соответствует произведению функций хО) УП), построеаных по поюледонательностям т, и у. Таким образом, алгебра 1! и агпебра И' функций хГ1) с абсолютно сходящимися рядами Фурье и нормой, определяемой 14), изометрически изолюрфны.
Поэтому большинство аксиом ангебры и нормированного пространства для 1! проверяются без труда, так как для Иг они верны тривиально. Проверим аксиому 7. Илгеем для е = х е у! ага' = ~ ~)х„! = ~ )~ т, луг( ~ (~' )х — !йул! = = ~(~ ~х.— !))у ! = 1И Ь1~. Алгебра Ст является коммутативной банаховой алгеброй. Единицей в Ст служит функция еП) = 1. Проверка всех аксиом не составляет труда. 3.
Алгебра А аналитических функди И в круге. Обозначим через А линейное пространство всех функций хгг) комплексного переменного г, определенных и непрерывных в круге Л = 1е! ~е~ ( Ц и аналитических внутри этого круга. Определим умножение н А как обычное умножение функциИ и зададим норму форлгулоИ Дополнение. Данаховы алгебры 532 Алгебра 1Р, очевидно, коммутативиа, следовательно, коммутативна и алгебра 1ь Единицей в 1г служит последовательнгють е, соответствующая функции в(1) з— в 1: у этой последовательности все компоненты суть нули, за исключением компоненты с нулевым номером, которая равна единице.
В дапьнейгполг мы будем пользоваться изоморфизмом 1г вэ И' и соответствием (хп) <-~х(1),не оговаривая этого особо. 5. Банахова алгебра ограниченных операторов. Пусть Х " банахово пространство. Рассмотрим пространство б(Х, Х) всех линейных непрерывных операторов, преобразующих Х в себя, с обычныгаи для операторов действиями сложения, умножения оператора на число и умножения (п. 3 3 5 гл.
15г). Единицей в б(Х, Х) служит тождественный оператор. Превратим б(Х,Х) в банахову а пебру, определив норму как обычно: !)А!) = эор ()Ахб. 5 )!<г Действительно, аксиома 7 была уже проверена ранее (см. формулу (4) в и. 3 5 5 гл. 1Ъ'). Доказать полноту ь(Х, Х) представлялось читателю в упражнении, приведенном там же. Алгебра б(Х, Х) — один из важнейпгих примеров некоммутатив ной банаховой алгебры с единицей. 3.
Максимальные идеалы. Определение 4. ХХдеало.м 1 коммутативной алгебры Х называется надпространство Л, обладающее толг свойством, что для всякого у б 1 и любого х из Х произведение ух принадлежит 1. Идеал, состоящий из одного нуля, а также идеал, состоящий из всего Х, мы называем тривиальными и в дальнейшем исключаем из рассмотрения. Максимальным называется идеал, не содержащийся ни в каком другом нетривиальном идеале. Введенные понятия рассмотрим на примере алгебры Ст.
Пусть У вЂ” непустое подмножество компакта Т. Множество ЛХх = = (х(1) б Ст: х(1) = 0,1 б уг), состоящее из функций, обращаннцихся в нуль на У', образует, как легко видеть, идеал в Ст. Максимальные идеалы в Ст допускают простое описание, являющееся к тому же ключом к пониманию всего замысла теории коммутативных банаховых алгебр. Лемма 1. Максимачьвый идеал алгебры Ст ость совокупность всех функций из Ст, обращающихся в нуль в какой-либо одной фиксированной точке го множества Т.
Доказательство. а) Пусть ЛХ, = (х(1) б Ст: х(то) = О). Тогда ЛХ„есть идеал. Покажем, что он максимален. Действительно, пусть хо(1) х М „т.е. хо(то) Ф О. Для любого у(1) б Сг положим: (1) = у(1) — . Тогда г(то) = 0 и, следовательно, г(1) принадле,(;).'.(1) хо(то) жит М . Итак, добавление любого элемента не из М приводит к тому, что идеал, порожденный М, и этим элементом, становится тривиальным. Следовательно, М, максимапец. 5 2. Свеягяр и реяольееята 533 б) Пусть наоборот, ЛХ какой-либо максимальный идеал из Ст. Покажем, что все функции, входящие в этот идеал, обращаются в нуль в некоторой точке.
Действительно, если это не так, то для каждой точки т б Т найдется функция х П) б ЛХ такая, что х,(т) ф О. В силу непрерывности х (1) по 1 найдатся такая окрестность ХХ точки г, что х„(Х) ф О в ХХ . Из открытого покрытия Т С ) ) ХХ„выберем конечное покрытие сХ„,..., ХХ „. Тогда в силу определения идеала хя(1) = г.,Я.х,П) -е -ь х „П) хо„П) = ~ ~~х „Яг я=1 принадлежит ЛХ.
В силу того, что хо11) > О всюду на Т, функция 1/хо11) будет непрерывной. Поэтому 1 = (1ДхоП)) ха(Х) б М. Но идеал, содержащий единицу алгебры, содержит и любой элемент алгебры, ибо й1г) = уП) 1. Поэтому М - . тривиальный идеал, что противоречит предположению о том, что М максимальный, а следовательно, нетривиальный идеал. Таким образом, мы получили, что между максимальными идеалами и точками из пространства-носителя Т можно установить взаимно однозначное соответствие. Это позволяет трактовать функции на Т как «функции на пространстве максимальных идеалов». Мы покажем, и в этом цель излагаемой ниже тоории коммутативцых банвховык алгебр, .
что всякая такая алгебра Х допускает реализацию в виде пода пебры алгебры непрерывных функций на компактном хаусдорфовом топологическом пространстве, образованном ее максимальными идеалами. 3 2. Спектр и резольвента В этом параграфе алгебра Х не обязательно коъ~мутативна, но имеет единипу. Многие рассмотрения здесь подобны тем, которые проводились ХУ 1. Определения и примеры. Определение. Элемент х б Х называется обратимым, если имеет обратный, т. е. если найдется явкой элемент х ', что — 1 — 1 х х =х х=е. В противном счучае элемент х называется необратиммлс Спектром п1х) элемента т б Х называется множество комплексных чисел Л, для которых элемент Ле — х необратим.
Если Л ф п(х), точку Л называют регулярной. Функция ХЬ: С 1п(х) — + Х, Вях = х(Л) = (Ле — х) Дополнение. Банахавы алгебры 534 определенная на множестве регулярных точек элемента х, называется резальаентай этого элемента. Спектральным радиусам г(х) элемента х к Х называется число г(з.) = впр )Л). ле 1*! Введенные важныс понятия проиллюстрируем на примерах. а) Если Х = С, то обратимы все элементы кроме нуля.
б) Если Х = Ст, то для обратимостк х(1) необходимо и достаточно, чтобы функция х(1) была всюду отлична от нуля. Спектр п(х) совпадает с множеством значений х(1); резольвента 115 имеет вид 1 Л вЂ” х (1) г(х) = !)х!! = шах(х(1)!. в) Если Х = б(1; У) — алгебра ограниченных операторов, то обратимые элементы суть обратимые операторы, спектр и резольвента в этом случае совпадают со спектром и (с точностью до знака) резольвентой оператора, которые были введены в п.
7 5 5 гл. 1У. Собственно говоря, в атом параграфе мы в общем виде исследуем те понятия, которые вводились ранее для банаховой алгебры ограниченных линейных операторов. 2. Свойства спектра. Те оре м а 1. 1'. Для любого линейяого функционала у(х) из сопряженного пространства Х' функция 1(х(Л)) = Г(Л) аналитична на С'1п(х) и Г(Л) 4 0 црн)Л) — 4 оо. 2'. Спектр п(х) элемента т банзховой алгебры Х есть непустое компактное множество в С. Имеет место неравенство: (2) (х) <Ы Доказательству теоремы 1 предпошлем несколько лемм. Лемма 1 (ср. с теоремой 5 З 5 гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
