1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Банахееа алгебра над полем С, являющаяся полем, изометрически изоморфна С. Спектр любого ненулевого ограниченного оператора е банахавем пространстве не пуст. Для любого ограниченного оператора А в банахееом просплрансгавг Х сущеглпвует предел )пп ЯА")~ = г1е4), и спектр А целиком лежит е круге 1Л! ( г1А). Докажем теперль используя теорию коммутативиых банаховых апгебр, следующую теореыу Винера: Если функцил х16) разлагается в абсолютно сходящийся ряд Фурье х1В) = т зще'~~ и нигде не ебращаетсл е нуль, те и функция у16) = = 1(х1В) та же разлагается в абсолютно сходящийся ряд Фурье. Рассмотрим изометрически изоморфные алгебры 1г и Иг 1см.
пример 4 и. 2 5 Ц. Найдем пространство М для иих. Легко понять, что гомоморфизм Иг в С достаточно задать на функции хе11) = еи и далее он распространится иа 11г однозначно. Положим Хм(хе) = Хм(е' ) = С З 4. Ооноонл~е теоремм 545 Тогда балл(хо ) = 1лДе ) = л В силу 12) Ц = )Ум(хо)) ~ (~!хо~! = 1, ~1Я = Им1хо Н (~ )~хо ~! = 1; откуда ~б~ = 1, т.е. б = е' . Мы получили, что М находится во взаимно в однозначном соответствии с окружностью Ц = 1. Для любой последовательности х = (...,х „,...,хо,...,хн,...) Е 1м и соответствующей ей функции х11) = ), хьегы Е И' имеем: ~лг~х) = ~мг(хР)) = = ум( хле' ') = ~ хл[Хлг1ен) ) = ~~ хле' = х16). Поэтому тот факт, что функция х1д) не обращается в нуль ни для каких — я ( у < я, означает, что х не принадлежит ни одному максимальному идеалу.
Значит, в силу следствия из леммы 1 3 3., эта последовательность обратима в алгебре 1ь Положим у = х ' = (...,у —,,уа, -,у,. ). Тогда ЯМ)=). М= ~~, ул'"'=Ы ')= Пх),лв ' хле' что и требовалось. Дна других важных приложения теории банаховых влгебр — спектральную тоорему для ограниченных операторов и теорему Стоуна— Чеха —. мы сформулируем ниже в виде упражнений 1см. упражнения 8ий). Упражнения. 1. а) Показать, что пространство максимальных идеалов алгебры А 1см.
пример 3 и. 2 3 1) можно взаимно однозначно и непрерывно сопоставить с точкал1и единичного круга ~)з)~ ( 1. б) Покачать, что А регулярна, несимметрична и ие имеет радикала. '2. Какое обстоятельство мешает тому, чтобы можно было утверждать, что П 1слг. примор 4 п. 2 3 1) изометричоски изоморфна пространству Слк, т. е. пространству всех непрерывных функций на окружности ~Ц = 12 3. Доказать, что имеет место теорема: Пусть х1з) = ~ ~хлх, 2 )хл~ < оо, л=! л=о причем хГх) ф 0 при Ц ( 1. Тогда функпия у1з) = 1/х(з) разлшается в ряд Тейлора, абсолкгщю сходящийся при ~з~ ( 1. Дополнение.
Ванахавы алгебры 546 4. Обозначим через С [о, Ь] совокупность и раз непрерывно дифференцируемых на [а, Ь] функций х(1). а) Показать, что С" [а, Ь] становится банаховой алгеброй относительно обычных операций и нормы, задаваемой формулой: ][к]] = ~ ~—, птах ]]я [4)]. Ь!,<еде е=а б) Найти максимальные кдевлы С" [а, Ь] [см. [13, с. 19, 20]). в) Проверить. что С" [а,Ь] есть симметричная алгебра без радикала. Что дает в этом случае применение теоремы 2? 5.
Пусть СВГ [О, 1] означает алгебру иецрерывных комплексных функций ограниченной вариации на отрезке [0,1] с нормой ]]х]] = впр ]]я[1)][+ 1'в [х]. в<е<г а) Показать,что СВ1г[0, Ц есть банахова алгебра. б) Найти максимальные идеалы этой алгебры.
б. Привести прилгер банаховой алгебры, совпадающей со своим радикалом. 7. Описать все замкнутые идеалы в апгебре С[п, Ь]. 8. Пусть Т вполне регулярное топологическое пространство [см. п. б 3 5 гл. 1Ц. Обозначиле через Вт множество всех опредоленных на Т ограниченных комплексных функций с обычными операциями и нормой ]]я]] = зпр ]:с[1)]. еег а) Проворить, что Вт есть регулярная симметричная алгебра без радикала. б) Показать, что точки Т гомеоморфно вкладываются в пространство М максимальных идеююв алгебры Вт. причем образ Т при этом вложении является в М всюду плотным подмножеством.
в) Показать, что любая ограниченная комплексная функция на образе Т при этом вложении допускает единственное непрерывное продолжение па М. Утверждение б), дополненное тем, что М есть колепакт [это последнее обстоятельство сразу следует из а), если применить теоремы 1 и 2 3 4), составляет содержание известной теоремы Тихонова о бикомпактном расширении. Утверждение в) принадлежит Стоуну и Чеху. Бикомпвктное расширение, обладающее свойством в), назынается максимальным. Утверждение в) означает, что М есть максимальное бикомпактное расширение [см. [22, с.
23]). 9. Пусть Н гильбертово пространство. В апгеебре б[Н,Н) рассмотрим коммутативиую подалгебру В[Аа), порожденную самосопряженным оператором Аа [т. е. являющуюся замыканием линейной оболочки степеней Аа). З 4. Оеновнл~е теоремы 547 а) Показать, что В[Ао) регулярна н не имеет радикала. б) Показать, что В[.4о) симметрична, причем х[М) = х*[ЛХ), где х* - оператор, сопряженный к оператору х Е В[Ао), х[ЛХ) -- отображение, построенное в 5 4. По поводу б) см.
также упражнение 10 н). Применение теоремы 2 з 4 к алгебре В[Ао) приводит к так называемой спектральной теореме для самосопряженных операторов [см. [22), гл. Х; [26), гл. П). 10. 1'оворят, что банахова алгебра (необязательно коммутативная) есть алгебра с инволюцией, если имеется отображение Х э Х, обладающее свойствами: [х + у)" = х 4- у, [ху) = у*х, [ох)' = Ех*, [х ) = х. Алгебра с инволюцией называется В*-алгеброй, осли, кроме того, [[хх*[[ = = [[х[[г а) Показать, что алгебра б[Н, Н) есть В"-алгебра [см. [22, с.
26)). б) Показать, что коммутативная В*-апгебра регулярна [см. [22, с. 26)). в) Показать, что В*-алгебра симметрична, более того, х[ЛХ) = х*[ЛХ) [см. [22, с. 27), лемма Аренса). Утверждения б) и в) в сочетании с теоремой 2 приводят к такому результату, принадлежащему Гельфанду и Паймарку и называемому иногда оснонной теоремой теории коммутативных бацаховых алгебр: Коммутотивыоя В*-олгебра изометричеехи изоморфна алгебре.
Слл и нри этом изоморфизме х[М) = х" (ЛХ). Итак, абстрактный алгебраический объект, описываемый двадцатью четырьмя аксиомами [13 аксиом коммутативной апгебры, 5 аксиом, связанных с нормой, аксиома полноты и 6 аксиом В*-алгебры), оказалось возможным реализовать в виде алгебры всех непрерывных функций на компактном хаусдорфовом топологическом пространстве. Этот результат позволяет рассмотреть с единой точки зрения такие, казалось бы, весьма далекие друг от друга факты, как теорема Винера об абсолютно сходящихся тригонометрических рядах, теорема о спектральном разложении самосопряжепного оператора, топологические теоремы Тихонова, Стоунз н т1еха н ряд,пругях.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абсолютная непрерывность интеграла Лебега 320 Абсолютно нопрорывная мера 280 — — функция 361 и далее — непрерывный заряд 372 Абстрактная функция 501 Абстрактное уравнение Фредгольма первого рода 489 Абстрактный оператор Вольтерра 488, 491 Аддитивный функцииал 135 Аксиома выбора 44 †нормальнос 104 — отделимости Т~ 103 — — Тз (хаусдорфова) 103 - - т 103 — — Т4 104 — счетности первая 97 .вторая 96 — треугольника 54 — Цермело 44 Аксиоматическая теория множеств 45 Алгебра (бапахова, коммутативная, нормированная, с единицей) 529 множеств 48 — — измеримых 289 с абсолютно сходящимися рядами Фурье 531 — — — инволюцией 547 - функций,анапптическнхвкруге 531 — — —, непрерывных на компакте530 .
1~ 531 Алгебраическая размерность 134, 154, 189 Алгебраически сопряженное пространство 197 Алгебраические действия над измеримыми функциями 302 Алгебраическое число 29 Альтернатива Фредгольма 484 Аннулятор 195 Антисимметричность 36 Арифметическое (евклидово1 пространство 55, 131 Ваза топологии 94 Базис в конечногнерном линейном пространстве 133 — Гамеля 134, 189 — двойственный 200 — меры 397 Банахова алгебра 529 . ограниченных операторов 532 — — регулярная 543 — — симметричная 543 , основные теоремы о коммутативных 547 Банахово пространство 151 Бесконечное множество 26, 31 Бесконечномерное линейное пространство 133 Биекция 21 Бикомпакт 114 Бикомпактное расширение 546 - топологическое пространство 114 Билинейное отображение 504 Бинарное отношение 25 Борелевская функпия 300 Боречевское множоство 53, 69 Вариационное исчисление 516, 519, 522 Вариация заряда, верхняя, нижняя и полная 371 — отображения первая 498 Предметный указатаель 549 Векторное пространство 130 Верхний предел функции в точке 111 Верхняя грань 46 Вес (весовая функция) 418 Взаимно однозначное соответствие 21 между интегральными операторами и их ядрами 479 лннейными функционалами н гиперплоскостями 139 Внешняя леера 272, 288, 297 — †, полуалдитивность 272 счетная 288 Внутренняя мора 293, 297 — точка множества 68 Восстановление функции по ее производной 226, 358, 364, 367, 503 Вполне непрерывный оператор 253 .
ограниченное множество 116 — регулярное топологическоо пространство 105 — упорядоченное множестве 40 Всюду плотное подмножество бв — — — в пространстве Ь| 396 †3 — — — — — Ез 404 Вторая аксиома счетности 96 — производная отображения 504 и далее Второе сопряженное пространство 205 Выпуклая оболочка 141 Выпуклое множество 140 тело 140 - — в нормированном пространстве 194 Выпуклый функционал 142 Вычитание множеств 19 Геомотрическая интерпретация линейного функционала 30 теоремы Хана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
