1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 100
Текст из файла (страница 100)
11г). Пусть элемент х из банаховой вгггебрьг Х имеет норму, ггевьпгую единицы. Тогда элемент е — х обратим и (е — х) =е-!-х+..+х" +.. Действительно, положив з = е 4- х -1- - -!- х", имеем: ИГ~' — !И"+"+' 1~ — з. ь)~ = ~~ха+'+ +х"+ь)~ < ~ ~!х)!""* = — О. 1 — И~ Итак, последовательность з фундаментальна. Так как Х полно, то она сходится к некоторому элементу з Е Х. При этом з(е — х) = 1пп з (е — х) = !пц (е — х" ') = е.
-г ю Аналогично доказывается, что (е — х)з = е. Ц 2. Спектр и резольвента 535 Следствие. Для всякого х Е Х (е — гх) э е прн 5-э О. Действительно, (е — Кх) ~ = 11т (е -1-1х+ э; (1х)") = е 1- 0(г). Лемма 2 (ср. с теоремой 4 Ц 5 гл.11»). Пусть хо обратимый элемент н ЦеХхЦ < Цх„'Ц Тогда х~ = хо+ еЛх . обратимый элемент, прн этом х! (в+хо г х) хо — 1 — 1 — е †Действительно, х~=хо+21х=хо(с+хо ~Ьх)=хо(е — т), ЦхЦ=Ц вЂ” х, ~ЬхЦ<1.
Применив лемму 1, мы находим, что х, ' = (е — х) 'х,, ', что и требовалось. Следствие 1. Множество обратимых элементов банаховой алгебры открыто (в нормированной топологии банаховой алгебры). Множество необратимых элементов замкнуто. Следствие 2. Резольвента х(Л) есть непрерывная функция от Л на С 1 о(х). Действительно, в силу следствия из леммы 1 х(Ло -1- ЬЛ) = (Лое — х. + »»Ле) = (е -1- ЬЛх(Ло)) т(Ло) — э х(Ло). ал о Л е м м а 3 (ср.
с и. 7 Ц 5 гл. 1Ле). Пусть Л, р б С 1 о(х). Тогда а) Влх Щ,х = Лэх Влх; б) Ялх — Нох = (р — Л)1»лх Я„х (тождество Гнльберта). Доказательство. а) Ллх Д„х = (Ле — х) (ре — х) =!(1»е — х)(Ле — х)] =((Л вЂ” х)(ре — х)) ' =21,х 11» . б) В силу а) и определения Л» и Ло имеем йлх — (ре — х)рьлх йох, Пах — (Ле — х)Л»х ° йгх, откуда Ллх — Кох = (ре — Ле)П»х П„х = (р — Л)1елх Яэх, что и требо- валось.
Следствие. Если Ло б С Л а(х), то х'(Ло) = — хе(Ло). Имеем в силу б) и следствия 2 леммы 2: х'(Ло) = !пп Л Л вЂ” — — 1пп х(Л) - х(Ло) = -х (Ло). х(Л) — х(Ло) Л вЂ” Ло Теперь докажем теорелгу 1. Дополнение. Банахоеьг алгебры 536 1'. Пусть 1(х) линейный непрерывный функционал на х, т.е. 1(х) б Х*. Положим Г(Л) = 1(х(Л)) = 1(17хх). Имеем в силу следствия из леммы 3 для Ло й п(х): Г(Л) — Г(Ло) . 1'х(Л) — х(Ло) ) Л вЂ” Ло х-г™го ( Л вЂ” Ло =Х( . (х",' *,"))) =-Х(''(М) Таким образом, доказана апапогичность Г(Л). Далее, при (Л) > !)хе в силу леммы 1 мы получим: ~Г(ЛН < ~!П -.
1)х(Л)Ь = ~!Лх. ПЛ« — хГ'(! = И~*, гй < С О ( — Л) - 'т~Л~ —,---"' 2'. а) Непустота спектра гг(х). Пусть п(х) = йг. Тогда в силу 1' для всякого элемента 1 б Л" Г(Л) целая функция, стремящаяся к нулю при )Л! — г со. Значит, Г(Л) ив з О, т.
е. 1"((Ле — х) ') = О для любого у б Х", а значит, в силу следствия 4 из теоремы Хана — Банаха (п. 3 3 1 гл. ПУ), (Ле — х) = О, чего не может быть. б) К о м п а к т н ос т ь с н е к т р а о (х). Если (Л! > 6хО., то в силу леммы 1 элемент Ле — х = Л(е — х~ обратим, откуда следует ограничон- Л/ ность п(х), а заодно и неравенство (2). Загикнутость е(х) следует сразу из леммы 2: ггсли Ло регулярно, то окрестность )гЛЛ) < ()х(Лан г состоит из регулярных точек, так как (Ло + гзЛ)е — х = Лое — х + ГЛЛ е. Отметим два следствия из теоремы 1. Следствие 1. Банахова апебра над полем С, являющаяся полем, изометрически изоморфпа С.
Действительно, пусть Х есть «банахово поле» и х — произвольный элемент из Х. Найдем то Л, для которого элемент Ле — х необратим и, значит, есть нуль. Ыы получим,что х = Ле. Легко понять, что соответствие х е» Л есть изоморфизм Х и С. Так как ()е6 = 1, то 6х6 = )Л). Мы получили изометрию Х и С. Следствие 2. Спектр любого нулевого оператора А из ь(Х,Х) не пуст. Это утверждение без доказательства уже форлгулировалось ранее (см. гл. 1Ъ'> 3 5> и. 7). 3.
Теорема о спектральном радиусе. Теорема 2. Имеет место следующая формула для спектрального радиуса: г(х) = !тиг Ях~~". (3) 1 3. 17екопгорые вспомогательные результпоты 537 Действительно, пусть 1 любой элемент из Х*. В силу теоремы 1 функция Е(Л) = 1(х(Л)) аналитична на С 1 а(х). В частности, Р(Л) аналитична в области (Л! > !)хЦ.
В этой области в силу леммы 1 в — 1 х(Л) = (Ле — х) = Л (е — Л) =о откуда г (Л) = 7(х(Л)) = ~~ =.о причем это разложение, верное вследствие леммы 1 при )Л/ > ЦхЦ, должно иметь место при !Л! > г(х) в силу теоремы единственности для аналитических функций и, значит, 7(х")~ Л"+' Мы получили, что множество некторов х"ггЛ"ь' является слабо ограниченным, а значит, оно ограничено сильно.
(Этот результат, называемый иногда принципом равномерной ограниченности, или теоремой БанахаШтейнгауза, был доказан в Ц 3 гл. 117: подробнее об этом см. в монографии )21), гл. П.) Таким образом, существует число с(Л), зависящее от Л, такое,что откуда 1цп Цх" Ц'7" ( !Л! для всех (Л: )Л) > г(х)), т. е. 1цп Цх Ц " ( г(х). С другой стороны, если Л Е о(х), то Л" Е о(х"), так как элемент Л" е — х", очевидно, делится на Ле — х. В силу теоремы 1, если р 6 о(х), то )7г! ( ЦхЦ. Полагая р = Л", полагаем, что из Л Е о(х) следует, что )Л) ( Яхь Ц, откуда г(х) ( 1пп Ях" ~).
Теорема доказана. Ц 3. Некоторые вспомогательные результаты В этом коротком параграфе сосредоточен ряд вспомогательных утверждений, цри доказательстве которых используются стандартные технические приЕмы. 1. Теорема о фактор-алгебре. Пусть Х коммутативная банахова алгебра с единицей, 1 идеал в Х. Дополнение. Ванахоан алгебры 538 Отметим, во-первых, что 1 состоит лишь нз необратимых элементов, ибо если г б 1 обратим, то для любого х б Х мы получим, что )хг ')г = х б 1, т.е. 1 тривиален, а этот случай мы игклгочаем.
Вовторых, в силу леммы 1 8 2 расстояние от единицы е до любого необратимого элемента, а значит, и до любого пдеала, не меньпге единицы. Рассмотрим теперь фвктор-пространство Хгг1 )см. 8 1 гл. П1) и определим там операцию умножения, назвав произведением двух классов 1 и й из Х/1 тот класс С, косорый содержит элемент х у, где х и р представители классов б и и. сПроверьте, что результат не изменится, если х и у заменить любыми другими представителями тех же классов с и й, и что введенная операция «умножение» удовлетворяет аксиомам 1 5 8 1.) Таким образом, ХД становится коммутативной алгеброй. Назовем ее фактор-алгеброй Х по идеалу 1. Введем в Х,Ч норму, как и в п.
3 8 3 гл. ПВ '8Ц = гпГ !)х + й)), где х представитель 4. Имеет место Теорема1. ЕшгиХ -- есть банаховааоггебра, а1 замкнутыйндеал в пей, то фактор-алгебра Х7'1 также являстгя бапахоеой алгеброй с едпницейб В п. 3 8 3 гл. 1П было показано, что фактор-пространство банахова пространства по любому его замкнутому надпространству является банаховым пространством.
Таким образом, нам остается лишь проверить, что выполняются аксиомы 6 и 7 из п. 1 8 1: а) Щ) = ВИ ~~хй-8 г8' ( шГ '8)х -8 и)(у ~- иН ( ( Игу))х-1- гг() ш7 ()до-пб = '8С8. '8туб. б) Я=с+1, т.е. Ег=е +1=е+1, значит, Ег=Е, откуда 8Е8='8Ег)(( ()(Ебг. Но элемент Е не эквивалентен нулю, так как окрестность точки е, как мы отметили выше, не содержит необратимых элементов, из которых состоит 1. Значит, 1 ( ))Е)!.
Но, с другой стороны, 5Е8 = ш1 'бе+ у)), т.е. ег '8Е8 ( П Итак, 8Е)) = 1. Теорема доказана. 2. Трн леммы. Нам дшгее понадобятся три леммы: георетико-множественная, алгебраическая и топологическая Л е и м а 1. Всякий нетривиальный идеал 1 содержится в максимальном идеале. Доказательство этой леммы основано на лемме Цорна, сформулированной в и. 7 8 5 гл. В Действитечьно, пусть 7 множество всех нетривиальных идеалов, содержащих 1. Оно частично упорядочено по вложению: 1г ( 1г, если 1г С 1г.
Для всякого линейно упорядоченного множества )1а) из,7 объединение ) ) 1 есть нетривиальный идеал, служащий верхней гранью для )1а). Значит., в силу леммы Цорна 1 подчинен максимшгьному элементу в .7, т.е.максимальному идеалу. З 4. Огненные теоремы 539 С лед с т в не. Если Х не есть поло, то в нем имеется мвкснмэльпыу идеал. Более того, каждый необратимый элемент, отличный от нуля, содержитгя в некотором максимальном идеале. Действительно, возьмем любой необратимый элемент хо ф 0 и рассмотрим совокупность то - Х.
Это есть, конечно, идеаоь Он содержит то и не содержит е единицы Х, т. е. не является тривиальным идеалом, следовательно, в силу леммы 1 содержится в максимальном идеале. Лемма 2. Для того чтобы идеал 1 содержался в некотором нстривиапытм идгнле 1' С Х, необходимо и достато пю, чтобы ачгебра Х/1 имела нетривиальный идеал.
Докажем необходимость. Пусть 1С1 СХ, 1~1, Хф1. Выделим среди классов б 6 Х/1 те б' = к'+1., дпя которых т' Е 1'. Легко провсритгн что получится нетривиальный идеал в Х/1. Достаточность получается аналогично. Лемма 3. Замыкание нетривиального идеала 1 есть нетривиальный идеал. Нетривиальность следует из того, что 1 состоит лишь из необратимых элементов, остальное следует из непрерынности алгебраических операций. Следствие. Максимзльггьгй идеал замкнут. 4. Основные теоремы В этом параграфе Х коммутатинная банахова алгебра с единицей. 1. Линейные непрерывные мультипликативные функционалы и максимальные идеалы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
