1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 95
Текст из файла (страница 95)
11етрудно показать, что если в теореме 1 предположить отображение Р непрерывным в окрестности Г (а не только в точке (хо, уо)), то соответствующее отображение у' будет непрерывно в некоторой окрестности точки хо. Нижеследующая теорема устанавливает условия, при которых функция, определяемая уравнением вида г4х,у) = О, дифференцируема. У (хо) = — ]Р„'(хо,уо)] б (хо,уо). 14) Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы1, ипусть, кроме того, в Г существует частная производная ~е, непрерывная в точке, 1хо, Уо).
Тогда отобРажение 1' днффеРенцнРУемо в точке хо и В 2. 7'евуемв о неявной' функции 511 Доказательство. Обозначим выражение, стоящее в (4) справа, через Л. Оно представляет собой линейный оператор, действующий из Х в 1 . Доказать, что этот оператор служит производной отображения 7" в точке хо, это значит доказать существование для каждого е > О такого б > О, что при лк1бом х таком, что Пх — хоП < б, выполнено неравенство (б) ПУ(х) — ахо) — А(х — хой < ЯПХ вЂ” ХОП Полагая 7(х) = у, и замонив 7(хо) на уо, а оператор Л его выражением (4), имеем 7" (х) — 7" (хо) — Л(х — хо) = = У вЂ” Уо + ~7, (хо, Ро)] г (хо, Уо)(х — хо) = = ]ту(хо;170)] (гя(хо УО)(г — хо) + гу(ХО,УО)Ь УО)).
Но Г(х, у) = Р'(хо, уо) = О, поэтому с помощью форуиулы конечных приращений гюлучаем такую оценку: П7(х) 7(хо) — А(х хо)П < П]гу(хо ° Уо)] Пх х П(7'(х У) — 7"'(хо Уо) — 7" (хо Уо)(х — хо) — ~„'(хо,УО)Ь вЂ” Уо))П < < ]][гу(хо: Уо)] П [ зпр Цге(хо + У(х — хо), Уо + У1Ь Уой— О<В,В,<1 — г„'(хо,вУО)П Цх — хоП+ + зпр ]]гу(хо + У(х — хо), Уо + У1(У вЂ” Уо))— О<В,В,<1 гу(хо Уо)П ' ПУ УОП) < 77Тх хоЦ + ПУ Уо]П где величина 77 может быть сделана сколь угодно малой в силу непрерывности производных ~' и ~„', если величина б достаточно мала.
Таким образом, мы получили, что Пу(х) — 1(хо) — Л(х — хо)П ~ (П17(ПХ вЂ” хоП + ПХ(х) — 1(хо) П] < < УЦ]х — хоП + ЦЛ(х — хо)Ц + Цу(х) —,7(хо) — 1(х — хо)]Ц. Отсюда при достаточно малом 77 получаем Ц.г(х) — 7(хо) — А(х — хо)Ц < 77(1 17) (1+ ПЛВПХ вЂ” хоЦ и для доказательства неравенства (б) остается лишь выбрать 77 так, что 77(1 — 77) '(1+ ПЛП) < ю Теорема доказана. Рассмотрим теперь некоторые применения теоремы о неявной функции. рл.
Х. Элементы дифференциального иениеленьл 512 2. Теорема о зависимости решения дифференпиального уравнения от начальных данных. Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения с4х[й = д (1, х), х(1о) = хо, (6) где 7"(1,х) и х — элементы некоторого банахова пространства Е. Задача (6) равносильна интегральному уравнению х(1) — хо — (' 7'(т, х(т)) йт = О. (7) с, Запишем это уравнение как Е(хо,х(1)) = О. Таким образом, Е-- это оператор, отображающий гсрямую сумму пространства Е и пространства Сссл[1о,11] непрерывно дифференцируемых функций со значениями в Е в пространство Сьс.[1о,11[. Если функция д" (1, х) непрерывна и имеет непрерывную по (1, х) производную, то выражение х(1) — / )'(т,х(т)) Йт со Р,'.'сс = сс(1) — / ~,'(т, х(т))сс(т) йт. со Правая часть этого равенства определяет оператор, отображающий С~ст[1о, 11[ в себя.
Этот оператор обратим. Действительно, для любой функции у(с) б Слр[1о,11[ уравнение или сс(с) — ) 7~(т,х(т))сс(т) с4т = у(1), со равносильно дифференциальному уравнению — — д' (с, х(с))сс(с) = у (с) сЬ(с) (9) с начальным условием 6(1о) = у(1о) Уравнение (9) -- это линейное уравнение с непрерывными коэффициентами, поэтому в силу известных теорем (см. [24[) существует определяет дифференцнруемое отображение пространства С„'г[1ог 11[ в себя. Следовательно, и Е(:го, х(2)) есть дифференцируемый по х(1) оператор, а так как хо входит в Е(хо,х(1)) аддитивно, то Е есть дифференцируемая функция на Е х Сс,[1о, 11[.
Дифференциал этой функции по х имеет вид 'г 2. Теорема о неявной' функции единственное решение этого уравнения, определенное на всем отрезке ~йв, е1] и удовлетворяющее указанному выше начальному. условию, а это и означает обратимость оператора Ее. Полученный результат означает, что к уравнению Е(хв, хф) = О применима теорема о неявной функции. В силу этой теоремы решение х = х(й) данного уравнения, которое может рассматриваться как функция переменного начального значения хй. х = х(1, хв), диффереццируемым образом зависит от хв.
В частности, принимая за Е конечномерное пространство., мы получаем обычную теорему о непрерывной диффереццируемой зависимости решения системы дифференциальных уравнений от начальных условий. Аналогичным образом с помощью теоремы о неявной функции может быть получено утверждение о дифференцируемой зависимости решения дифференциального уравнения — „х = я, хц ех) от параметра о, если его правая часть дифференцируемым образом зависит от и. 3.
Касательные многообразия. Теорема Люстерника. В качестве еще одного применения теоремы о неявной функции рассмотрим следующий вопрос. Пусть Е(х), где х = (хм ха), -" дифференцируемая функция на плоскости. Уравнение Р(х) = О определяет на плоскости некоторую кривую С. Пусть хв . точка, принадлежащая этой кривой. Касательная к кривой С в данной точке может быть определена либо как совокупность векторов вида хй + ~6, где 6 вектор, перпендикулярный вектору Г'(хй) (т.
е. градиенту функции Е в точке хо), либо как совокупность точек хй + ~Ь, расстояние которых до кривой С есть бесконечно малая выше первого порядка относительно й Содержание теоремы Люстерника состоит в том,что эквивалентность двух определений касательной имеет место и для многообразий в произвольных банаховык пространствах. Введем некоторые понятия и обозначения, необходимые для точной формулировки соответствующей теоремы.
Пусть Х и К банаховы пространства и Е отображение пространства Х в у'. Пусть далее Афй --. совокупность точек из Х, удовлетворяющих уравнению Е(х) = О, и хо 6 ЛХо. Предположим, что отображение Е непрерывно дифференцируемо в некоторой окрестности П точки хй. Мы назовем отображение. Г регулярным в тпочке то, если линейный оператор Е'(хо) отображает пространство Х на все К.
Гл. Х. Элементы дифференциального иечиеленил 514 Обозначим через Тл совокупность элементов 6 е Х, удовлетворяющих условию Г(то)6 = О, т е. То = Кег г' '>тв). Ясно, .что Тв есть подпространство в Х. Сдвиг этого подпространства на вектор тв, л. е. мно> ообразие то+ Тв, обозначим через Т„и назовем линейным многообразием, квсвтельнь>м к множеству ЛХв в то*>ке то. Имеет место следующая теорема. Т е о р е м а 3 (Л. А.
Л ю с т е р н и к). При указанных вылив условиях относительно Р элемент тл + 6 принадлежит касательному многообразию Т„в том я только том случае, если расстояние элемента ив+46 от лшожества ЛХв есть величина выше первого порядка малости относитег>ьно 6 Эта теорема играет очеш важную роль в задачах оптимального управления. Она служит инструментом, с помон>ью которого известное правило множителей .Лагранжа нахождения условного экстремума может быть распространено на широкий круг экстремальных задач в банаховых пространствах. Сколько-нибудь полное изложение этих вопросов выходит за рамки настоящей книги (о них см., например, в книге: А.Д. Иоффе, В. М. Тихомиров.
Теория экстремальных задач. Мл Наука, 1974). Мы ограничимся тем, что проведем доказательство теоремы Люстерника для так называемого «разложимого» случая, в котором теорема Люстерника почти непосредственно вытекает из теоремы о неявной функции. Именно, предположим, что пространство, на котором определено отображение Е, может быть разложено в прямую сумму подпространства То —— Кег гн(то) н некоторого пространства Т4. (Заметим, что в банаховом пространстве, отличном от гильбертова, не всякое подпространство имеет прямое дополнение.
Более того, можно показать, что если в пространстве Х всякое линейное подпространство имеет прямое дополнение, то Х - - гильбертово пространство.) При этом предположении теорема 3 может быть сформулирована следующим более точным образом. Теорема 4. Если Х=Т ддт и отобрюкение Е: Х ч У удовлетворяет указанным выше условиям, то существует такое гомеоморфное отображение окрестности точки яв в ЛХо на окрестность этой' же точки в Т „что расстояние г 2. 7'еоуемо о неловок функции 515 между соответствующими друг другу точками есть величина вьюшего порядка малости по сравнению с их расстояниями до точки хе.
Доказательство. Обозначим через А оператор Г'(хв), рассматриваемый только на подпространстве Т5, т. е. А4 = 1'" (хо)4 при 4 Е Т5. Покажем, что А отображает Т5 на все У. Действительно, по условию каждый элемент из Х имеет вид х = 6 + б, 6 й Тд, че й Те. Поэтому Е'(хв)х = Е'(хо)(6 + О = Т'(хо)~ = А6, (10) так как го(хв)6 = О. Но по условию Г'(хв) отображает Х на все У, а это и означает, что А~ пробегает все 1', .когда ~ пробегает Те. Далее отоб вжение р А:Те-гУ взаимно однозначно, так как, если АС7 = АСг, т.е. Г'(хо)(ег — Сг) = О, то сг — сг Е Те, откуда б1 — сг = О. Итак, оператор .4 обратим и по теореме Банаха обратный оператор А ' линеен и ограничен. Представив каждый элемент х Е Х в виде х = хе + 6 + б, 6 Е Тв, ~ 6 Тс, перепишем уравнение Г(х) = О, определяющее многообразие ЛХ, так: Ф(6, Я) = Е(хв + 6+ б) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
