1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 92
Текст из файла (страница 92)
(6) компактных операторов и, следовательно, он компактен. Домножив эту сумму на Л и прибавив к ней единичный оператор 1, мы и получим оператор (1 — ЛА) 1. Итак, действительно, при ]Л] < 1111 оператор (1 — ЛА) 1 есть сумма единичного оператора 1 н компактного оператора ЛГ(Л) с ядром ЛГ(8,4;Л) = ~ ~ЛнКи(8,4). и=1 ]К(8,4)] < ЛХ, то, как показывает прямой подсчет, для итерированных ядер К„(8, 1) справедлива оценка: М" (Ь вЂ” а)" ]Ки(8,1)] < откуда следует сходимость ряда (6) при любом Л.
Однако, вообще говоря, степенной ряд (6) имеет некоторый конечный радиус сходимости. В то же время уравнение Ьв = ЛАуг+ у имеет решение при всех Л, кроме конечного илн счетного числа значений, именно таких, что 1ггЛ есть собственное значение оператора А. Фредгольм показал, что для интегрального оператора А, определяемо- ГО ОГРаНИЧЕННЫМ И НЕПРЕРЫВНЫМ ЯДРОМ К(8,4)г РЕШЕНИЕ Условие ]Л] < 1111 достаточно для сходимостн ряда (6), но вовсе не необходимо. В некоторых случаях этот ряд может оказаться сходящимся даже при всех значениях Л.
Например., если А оператор вольтеррова типа с ядром, удовлетворяющим ус.повию 1 3. Интегральные уравнении, содержащие параметр 495 уравнения (р = ЛА(р + (г может быть найдено следующим способом. Введем обозначение К(г],ь]) . К(г1,1 ) к ~", К(г !1]) ... К(г,ь ) и определим функции Р(Л) и Р(г, й Л), назьп]аемые, соответственно, дгп]ерминантом Фргдголома и минором Фредгольма! формулал]и: о(]] ы г - ! 7 к( ) г(, ь 11 7 7 к(, ) г( г(, ° ь ь +( — 1)аЛ, / ) К( ") д4]...~п+..., (7) о а а] ..~а~ Р(г,г(Л) = ы.([)- / (;,',) СП'.(,,",,) -ь( — !]и $7 [к( '' ")ге...г(оь.. (г] а а Тогда для интегрального уравнения ь р(ь) = Л 1 К(,,1) р(1)а+ У(,) а резольвептное ядро дается формулой Г(е,ь(Л) = Л Р(Л) и ре]пение записывается в виде Р Л Ф( ) = У(а)+Л)' р'Лй Ыд! (9) для всех значений Л, таких, .что 1((Л не есть собственное значение интегрального оператора А! отвечающего ядру К(г,1).
При этом Р(Л) и Р(г,74 Л) представляют собой целые аналитические функции параметра Л и Р(Л) = О в том и только том случае, если 1/Л ость собственное значение интегралы]ого оператора А. Как показал в 1921 г. Т. Карлеыан, формулы (7), (8) и (9), полученные Фредгольмом в предположении непрерывности ядра К(г, !), остаются в силе и для любого ядра с интегрируемым квадратом. Мы не будем приводить здесь выводы формулы (9) и формул (7), (8)'). !) См. Саг]етап Т. Хиг ТЬеопе нег 1п]екгв181е№Ьипкеп О Мв]Ь. Еенасйг.-- 1921.
№ 9. Б. 196 — 217, в также Ятнипеа Р. ТЬе 1йеаЬоип ]Ьеогу ог ]пьекга! едив]ганг О Вийе Мв]Ь. Зоигпв]. 1941, № 8. Р. 107 — !30. Вывод формул (7), (8) и (9) см. в книгах [35[ и [46). ГЛАВА Х ЭЛЕМЕНТЬ1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСт1ИСЛЕНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ В тех вопросах функционального анализа, которыми мы занимались в предыдущих главах, основную роль играли понятия линейного функционала и линейного оператора. Однако некоторые задачи, возникающие в функциональном анализе, носят существенно нелинейный характер: они приводят к необходимости развивать наряду с «линейным» и «нелинейный» функциональный анализ., т.е.
изучать нелинейные функционалы и нелинейные операторы в бесконечномерных пространствах. К нелинейному функциональному анализу относится, по существу, такая классическая область математики, как вариапионное исчисление, основы которого были заложены еще в ХЪ'П--Х'т'1П вв. в работах Бернулли, Эйлера, Лагранжа. Однако в целом нелинейный функциональный анализ представляет собой сравнительно новую область математики, пока еще далекую от своего завершения.
В этой главе мы изложим некоторые первоначальные понятия, относящиеся к нелинейному функциональному анализу, в основном к теории дифференцирования, и некоторые применения этих понятий. ~ 1. Дифференцирование в линейных пространствах 1. Сильный дифференпиал (дифференциал Фреше). Пусть Х и У -.- два нормированных пространства и Е .. отображение, действующее из Х в У и определенное на некотором открытом подмножестве О пространства Х. Мы назовем это отображение диф4еренцирйеммм в данной точке х Е О, если существует такой ограниченный линейный оператор Ь,, Е б(Х, У), что для любого е > 0 можно найти б > О, при котором из неравенства ~йЬ~й < б следует неравенство ))Ь'(х+ Ь) — Р(х) — 1„Ц < е((Ц.
(1) То же самое сокращенно записывают так: б'(х + Ь) — Р(х) — Ь,.Ь = о®. (2) Из (1) следует, что дифференцируемое в точке х отображение непрерывно в этой точке. Выражение 1»Ь (представляющее собой, 1 д Дифференцирование в линейных проев рлнетввл 497 р П(х) = Ь. Действительно, по определению имеем Е(х+ й) — Ь(х) = Ь(п). Несколько менее очевиден следующий важный результат.
3. (Производная сложной функции). Пусть Х, 1; Х три нормировапных пространства, П(хо) окрестпность точки хо Е Х, Р оепобразлсение. этой окрестности в У, ув = Е(хо), У(уо) окрестпность точки уо Е У и С отображение этой окрестности в Т Тогда, если отображение Е дифференцируемо в точке хо, а С диффере~цируемо в точке уо, то отобраэкение Н = СЕ (которое определено в некоторой окрестности точки хо) дифференцируемо в точке хо и Н'(хв) = С'(уо)Е'(хо). (4) Действительно, в силу сделанных предположений Е(хо + 6 = Е(хо) + Г'(хоЫ + о1 Ю, С(уо + 71) С(УО) + С (уо)71+ 02(71). Но Е'(хо) и С'(уо) ограниченныо линейные операторы.
Поэтому Н(хо + с) = С(уо + Е'(хо)с + о1 ®) = = С(уо) + С (уо)(Е'(хо)С + ое®) -> ог(Е'(хо)С 4- о1(С)) = = С(уо) + С (уоР (хо 14 + оз®. (Проведите аккуратно выкладку с е и Б.) Если Е, С и Н вЂ” числовые функции, то формула (4) превращается в известное правило дифференцирования сложной функции. очевидно, при каждом й е Х элемент пространства У) называется сильным дифференциалом (или дифференциалом Фреиее) отображения Е в точке х. Сам линейный оператор Ь называется производной, точнее, сильнон производной отооражения Е в точке х. Мы будем обозначать эту производную символом Е'(х).
Если отображение Е дифференцируемо в точке х, то соответствующая производная определяется единственным образом. В самом деле, равенство йь414 — АгЦ = о(Ь) для операторов Ьг к Е(Х,.У) (1 = 1, 2) возможно, лишь если Ье = Ьг. Установим теперь некоторые элементарные факты, непосредственно вытекающие из определения производной. 1. Если Р(х) = уо = сопгь, то Е'(х) г— н 0 (т.е. Р'(х) в этом случае есть нулевой оперитор). 2. Производнол непрерывного линейного отображения Л еспгь само зто отоб ажение: (3) 498 рл. Х.
Элементы дифференциального иечиеленил 4. Пусть Р и С - два непрерывных отображения, действующих из Х в У. Если Р и С диффервнцирувмы в точке хв, то и отображенил Р+ С и аР (а -- '*ислв1 тоже дифференцируемо в этой точке, причем (Р+ С)'(гв) = Р'(хв) + С'(тв) (о) (аР) (хв) = аР (хв). (6) Действительно, из определения суммы операторов и произведе- ния оператора на число сразу получаем, что (Р + С)(хо + 1с) = Р(хо + 6) + С(хв + Ь) = = Р(хв) + С(хв) + Р'(хв) Ь + С'(хв)Ь + ос (6), аР(хо+6) = аР(хо) + аР'(хв)1с + оз(6), откуда следуют равенства (б) и (6).
2. Слабый дифференциал (дифференциал Гата). Пусть снова Р есть отображение, действуюпсее из Х в У. Слабым дифференциа,лвм или дифференциалом Гато отображения Р в точке х (при приращении 6) называется предел РР(х, 6) = д Р(х+ гЬ) = 11щ д Р(х 4- сй) — Р(х) Ж с=о с- о где сходимость понимается как сходимость по норме в пространсгве Е. Иногда, следуя Лагранжу, выражение РР(х, 6) называют первой вариацией отображения Р в точке х. Слабый дифференциал РР(х, !с) может и не быть линеен по Ь. Если жо такая линейность имеет место, т.е.
если РР(х, 6) = Р,'.(х)6, где Р",(х) ограниченный линейный оператор, то этот оператор называется слабой производной (или производной Гата). Заметим, что для слабых производных теорема о дифференцировании сложной функции, вообще говоря, неверна. (Приведите пример!) 3. Формула конечных прирасцений. Пусть Π— открытое множество в Х и пусть отрезок [хв,х) целиком содержится в О. Пусть, наконец, Р есть отобралссние Х в У, определенное на О и имеющее слабую производную Рс в каждой точке отрезка [хв, х).
Положив Ьх = х — хв и взяв произвольный функционал ср Е У', рассмотрим числовую функцию У(1) = р(Р(хо+ ЬЬх)), 1 Ь Дифференцирование в ливенов~а ирветранетвах 499 определенную при О ( 1 ( 1. Эта функция дифференпируема по й Действительно,. в выражении У(е+ ехе) е (е) е'хх(хо+ 1ехх Е еловых) — х(хо 'е1ехх)) Ь1 "(, Л1 можно перейти к пределу под знаком непрерывного линейного функ- ционала ер. В результате получаем Х'(1) = ~~Р,'(хо + 1~ех) ~1х). Применив к функции г' на отрезке [О, 1] формулу конечных приращений, получим ) (1) = 1(О) + 1~(0), где О ( 0 ( 1, т. с.
9в(Г(х) — Г(хо)) = 9в(г,(хо + 0 хх) ехх). (7) Это равенство имеет место для любого функционала 9в е У* (величина 0 зависит, разумеется, от у). Из (7) получаем ~ р(Г(х) — Г(хо))~ ( М! зпр ~!Р"(хо + 0Ьх)/(. /! Ьх(!. (8) о<в<1 Выберем теперь ненулевой функционал 9в так,что р(й'(х) — й (хо)) = М~ ~~Г(х) — Г(хой (такой функционал 9в существует в силу следствия 4 теоремы Хана— Банаха (см. п. 3 '9' 1 гл.
1Ъ')). При этом из (8) получаем Щх) — Г(хо) й' ( зпР ОГ,'(хо + 0 Ьх) й 'йехх9, о<в<1 ~х = х — хо. (9) Это неравенство можно рассматривать как аналог формулы конечных приращений для числовых функций. Применив формулу (9) к отображению х -+ Г(х) — Р (хо)ехх, получим следующее неравенство: ~~~(х) — Е(хо) — йе(хо) е14~ ( ~~, !1Ре(хо-Ь0~х) — К(хо)~!. ~!~ах~~ о<в<1 (10) 4. Связь между слабой и сильной дифференцируемостью. Сильная и слабая дифференцируемость представляют собой различные понятия даже в случае конечномерных пространств.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
