1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 88
Текст из файла (страница 88)
1 П Основные определение 473 Уравнение (1) назь7вается уравнением Фредгольма второго рода (ср. и. 4 з 4 гл. П), а уравнение ~ К(гч1)р(1) Ж = 7'(г) (2) (в котором неизвестная функция ш содержится только под знаком интеграла) -- уравнением Фредгольма первого рода. Упомянутое выше уравнение Абеля относится к так называемым уравнен лм Вольтерра: общий вид этих уравнений таков; в / К(г,1)р(1) д1 = Д(г) а (3) (уравнение Вольтерра первого рода) или 7в( ) = ( К( 4)ФМ 41+1(г) в (4) (уравнение Вольтерра второго рода). Ясно, что уравнение Воль- терра можно рассматривать как уравнение Фредгольма, в котором функция К удовлетворяет условию К(г,с) = О при 1) в.
Однако уравнения вольтеррова типа целесообразно выделить в особый класс, поскольку они обладают рядом существенных свойств, отсутствующих у произвольных фредгольмовых уравнений. Если в уравнениях (1), (2) или (3) функция 7" равна нулю, то такое уравнение называется однородным. В противном случае уравнение называется неоднородным. 2. Примеры задач, приводящих к интегральным уравнениям.
В дальнейших параграфах этой главы мы рассмотрим основные свойства линейных интегральных уравяений, но сначала мы опишем несколько задач, приводящих к таким уравнениям. 1. Равновесие нагрузесенной струны. Рассмотрим струну, т.е. упругую материальную нить длины 1., которая может свободно изгибаться, но оказывает сопротивление растяжению, пропорциональное величине этого растяжения.
Пусть концы струны закреплены в точках х = О и т = 1. Тогда в положении равновесия струна совпадает с отрезком оси х, О ( х ( 1. Предположим теперь, что в точке т = б к струне приложена вертикальная сила Р = РО Под действием этой силы струна отклонится от положения равновесия и примет, очевидно, форму ломаной, изображенной на рис.
23. !'л. 1Х. Линейные ннтегу льные уравнение 474 !гис. 23 откуда (1 — Об б=, Ре. Пусть теперь и(х) --.прогиб струны в некоторой точке х под действием силы Ре. Тогда и(х) = Р1С(х, б), где при 0<х<с, х(! — б) Т'и! при б<х<1. Тв! Из этих формул сразу видно, в частности, что С(х,б) = С1Сгх). Предположим теперь, что на струну действует сила, распределенная по ней непрерывно, с плотностью р®. Если эта сила мала, то деформация зависит от силы линейно, а форма нагруженной струны описывается функцией и1х) = ~ Жз' Ор14) дб (5) о Итак, если задана нагрузка, действующая иа струну, то формула (5) позволяет найти форму, которую примет струна под действием этой нагрузки.
Рассмотрим теперь обратную задачу: найти то расаределеаие нагрузки р, ири котором струна примет заданную форму и. Мы получили для нахождения функции р по заданной и уравнение, которое с точностью до обозначений есть уравнение (2), т.е. интегральное уравнение Фредгольма первого рода. 2. Свободные и вынуждеиные колебании струиы. Предположим теперь, что струна совершает какие-то колебания.
Пусть и(х,1) Найдем величину б отклонения струны в точке с под действием силы Ре, приложенной к этой точке. Если сила Ре маца по сравнению с натяжением ненагруженной струны Тв, то горизонтальную проекцию натяжения нагруженной струны можно по-прежнему считать равной То.
Тогда из условия равновесия струны получаем равенство: б б Тос + Твт а Ь Основные определенна положение в момент ~ той точки струны, которая имеет абсциссу х, и пусть р линейная плотность струны '). На элемент струны длины дх действует сила инерции, равная дта(х,Ц д п(б,Ц дг — рдх, откуда р(~) = —:,' р. дг Подставив это выражение вместо р(С) в формулу (5), мы получим (,.
) = — 1 С(х, г.) (6) Предположим, что струна совершает гармонические колебания с не- которой фиксированной частотой ш и амплитудой и(х), зависящей от х. Иначе говоря, пусть и(х,г) = и(х) зги~А. и(х) =, / Ы (х, С)и® К. о (7) Если струна совершает не свободные колебания, а вынужденные, под действием внешней силы, то, как показывает несложная вы- кладка, соответствующее уравнение гармонических колебаний стру- ны будет иметь вид и(х) = рот / С(х,с)и(с)сК+)(х), о т.е, будет неоднородным уравнением ГРредгольгна второго рода. 3.
Сведение дифференциальных уравнений к интегральным. Иногда решение дифференциального уравнения целесообразно сводить к решению интегрального. Например, доказывая существование и единственность решения дифференциального уравнения у' = т'(х у) с начальным условием у(хо) = уо, мы видели (в гл. П), что его удобно свести к интегральному уравнению (нелинейному) у = уо + ) У(ь у) аь. ео ) йиы полагаем, что р = соней хотя ато н несущественно для дальнейшего. Подставив это выражение в (6) и сократив обе части равенства на з1п ~1, получаем для и следующее интегральное уравнение: 476 Гл.
1Х. Линейные инигегр льные уравнения Такое сведение возможно и для дифференциальных уравнений порядка выше первого. Рассмотрим, напригаер, уравнение второго порядка Уи + 1(Я)У = О. Положив ((я) = р — п(т), где р = сопвь, запишем его так: уи+ р у = п(т)у. (8) Как известно, решение уравнения уи+ Ру = у(т) с начальными условиями у(а) = ув, у'(а) = ув можно представить в виде у(я) = уо совр(я — п) + + — / гйпр(я — е',)д(е) дь. ув 61в р(я — а) а Поэтому нахождение решения уравнения (8) с теми же начальными условиями сводится к решению интегрального уравнения У(ь) — р / п(1) зйьр(т — 6УЮ~К = увсовр(Я вЂ” а) 4- р 1 ув вш р(т — а) а 6 2. Интегральные уравнения Фредгольма 1.
Интегральный оператор Фредгольма. В этом параграфе мы будем рассматривать уравнения Фредгольма второго рода, т.е. уравнения вида р(я) = )' К(в 1) р(1) д1+ У(в). Все встречающиеся здгюь и ниже функции мы будем прсдполагагты вообще говоря, принимающими комплексные значения. Относительно функции К, называемой ядроле этого уравнения, мы предположим, что она измерима и принадлежит классу Аа на квадрате а < в, 1 < (г: ь ь Г )' 1К( 1)~зд дь< (2) а а Свободный член г' уравнения (1) — — это некоторая заданная функция из Ьу(а, й), а гр .
— неизвестная функция из Аз[а, й). Ядра класса Аг называются ядрамп Гильберта — Шмпдпьа. Ь и Интегральные ураангнил Фргдгальма 477 Сопоставим уравнению (1) оператор А, определяемый равенством Агр = ф; это означает,что ь / К(уД:р(7) гй = гу(в). (3) а Всякий оператор вида (3) называется оперооюром Фредгольмо. Если же ядро К(а, Ь) удовлетворяет условию (2), то он называется оперитором Гильберпьо Шмидта.
Исследование уравнения (1), разумеется, сводится к изучению свойств этого оператора. Теорема 1. Равенство (3), где К(гче) функция с интегрируемым квадратом, определяет в пространстве Т у [о, Ь) компактный линейный оператор А, норма которого удовлетворяет неравенству (4) Н[< Доказательство.
Заметим прежде всего, что интеграл ь ( [К(в,Ь)[зой а существует в силу теоремы Фубини и условия (2) для почти всех в. Иначе говоря, К(оп ь) как функцня от ь при почти всех в принадлежит Т,у[о, Ь). Так как произведение функций с суммируемым квадратом суммируемо, то интеграл, стоящий в (3) справа, существует для почти всех гп т. е.
функция г77 определена почти всюду. Покажем, что гр Е Т,у[о, Ь). В силу неравенства Коши — Буняковского для почти всех в имеем ь з ь ь ( К(в,Ь) (Ь) 11 < ~ [К(. 7)(г,Ц / [„(1)~[7717 а а а ь = М[т 1 [К(, )['4 а Интегрируя по г и заменяя повторный интеграл от [К(гчь)[т двойным, получим неравенство ь ь ь [[Ар[[ = У ["('Н "'- [[р[[ 1 РК(' ')[ "'"' а а а которое дает и интегрируемость [гр(в)[з, и оценку (4) для нормы оператора А.
Остается показать,что оператор 4 компактен. Пусть (грн) — полная ортогональная система в Ту[о, Ь]. Тогда всевозможные попаРные пРоизведениЯ еу (в)УЬн(Ь) обРазУют полнУю системУ 478 Гл. 1Х. Линейные интегральные уравненил в пространстве Аз[[а, Ь) х [п,б[) [см, теорему 1 и. 5 8 3 гл. УП) и, следовательно, 11 [З>1) = ~ Пгппгипг[З)уп[1) ° Положим теперь Км[в;1) = ~' опигуУпг[з)Фп[1) гп,и=1 и пусть А1у оператор, определяемый ядром Кы[8,1). Этот оператор компактен, поскольку он переводит все Аз[а,б) в конечно- мерное подпространство [в гл.
117 мы назвали такие операторы конечпомерными). Действительно, если уг Е 1,8[а, 6[, то А.~ т У Км[8,1) [1) Ф т Е -...Ф,.[з),) ~[1) .[1) ут пил=1 'гвпг[з) ~~' птггбпг п=1 т,=1 где ь Ьп ьа )' у [1)~„[1) А1, а т. е. каждый элемент д б Аз[а, 6] переводится оператором А1у в элемент конечномерного подпространства, порожденного векторами 871,..., 871у.
Далее Кж[8,1) представляет собой частичную сумму ряда Фурье функции К[8, 1), поэтому ~ /[К[8,1) — Кы[8,1))~еЬе[1 — 1 0 при йг — > оо. а а Отсюда, применив оценку (4) к оператору А — Аж, имеем [[А — А [[ — э О при К вЂ” + Воспользовавшись теоремой о том, что предел сходящейся последовательности компактных операторов компактен [п.
2 8 6 гл. 111), получаем компактность оператора А. Замечания. 1. В процессо доказательства теоремы 1 мы установили, что всякий оператор Гильберта- Шмидта может быть представлен как предел [в смысле сходимости по норме) последовательности конечномерных интегральных операторов. г 2. Интегральные ураененнл Фреогальма 479 2. Пусть Ас и.49 .. дваоператоравида (3) и Кг(з,1), Ка(з,1) — отвечающие им ядра. Если операторы Ас и Ат равны, т. е. Аг 97 = Азср длЯ всех 97 Е Тз[а, Ь), то Кс(з,1) = Ка(зг1) почти всюдУ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
