1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Как мы видели выше, для обеспечения этого равенства на ( надо наложить, помилю интегрируемости, еще дополнительные условия, скажем, условие Дйни. За ив ч ание. Мы определили преобразование Фурье д для всякой функции ( из Х1( — со, оо) и показали, что функция 4, удовлетворяющая условию Дйни в каждой точке, выражается с помощью 442 Гл. ИП.
Рлдн. Превбраввваиьл Фурье формулы обращения через свое преобразование Фурье д. Это положение вещей в точности аналогично тому, которое имеется для рядов Фурье. Действительно, коэффициенты Фурье л са еа — ~ д(х)е '"*дт определены для всякой д Е Ь|[ — у, т), однако сходимость ряда Фурье с„е'в* (играющего здесь роль формулы обращения) можно гарантировать лишь при определенных дополнительных условиях (условие Дйни). Вместе с тем для преобразования Фурье (как и для ряда; см. конец з 2) имеет место следующее: если длл функции ф Е Аг( — оо, оо) ф(х)е вн дх = О, то д'(х) = О почти всюду.
Действительно, из написанного вьппе равенства вытекает, вопервых, что для всех действительных 4 и Л ф(х + 1)е '~* дх = О. Положим теперь р( ) = ~~( + )д~. о где с —. произвольное фиксированное действительное число. Применяя теорему Фубини и используя условие, наложенное на функцию р, легко усмотреть, что функция ув (которая, как и д, принадлежит Е1( — сю, оо)) удовлетворяет тому же условию, т.е. () при всех действительных Л. Но, как легко видеть, функция ув абсолютно непрерывна на каждом конечном отрезке и, следовательно, почти всюду обладает конечной производной.
В частности, эта функция почти всюду удовлетворяет условию Дйни. Поэтому в силу теоремы 1 2 3 она почти всюду обращается в О, так как ее преобразование Фурье есть тождественный О. Но:р непрерывна, так что р(х) = О. Из этого вьпекает, в частности, что при всех действительных С (' У(4) д2 = О о и, следовательно, т(х) = О почти всюду. 1 4. Преобразование Фурье, еаокетаа и применение 443 Рассмотрим теперь некоторые примеры. 1. Пусть ф(х) = е д" (т > 0).
Найдем преобразование Фурье этой функции. Имеем д(Л) = ( с "~е~~е ' а дх = / е '4е~(сов Лх — 4гйпЛх) дх = = 2 / е те сов Лх дх. о С помощью двукратного интегрирования по частям находим д(Л) = , ~7 Ла+ т" 2. Пусть 1 при ~х(<а, У(х) = 0 при )х( > а. з Тогда ое о ы д(Л) ~ ф(х)е — ле дх /' е — гле дх е' — е ' ' 2гйв Ло. зЛ Л (Следует обратить внимание на то, что функция д здесь не принадлежит Ь1( — оо, со).) 3. Пусть ф(х) = ., з. Тогда х Ч-а д(Л) = / е х 4-а (3) д(Л) ее — 2к4 2 . — — ке о при Л > О. Этот интеграл проще всего вычислить с помощью теории вычетов.
Пусть сначала Л > О. Дополнив действительную ось, по которой берется интеграл (3), полуокружностью бесконечно большого радиуса, лежащей в нижней полуплоскости (т. с. в той, где экспонента е 'ла стремится к нулю), получим, что интеграл (3) равен сумме вычетов подынтегральной функции в нижней полуплоскости, умно-зте женной пв ( — 2к4), В нижней полуплоскости функция е, имеет хе+ аз один полюс первого порядка в точке х = — аз. Вычет в этой точке находится по известной форлиулс; если 1(г) = — и дз(а) ф О, а зр(г) р(з) лб(з) имеет в точке г = а нуль первого порядки, то вычет функции ф в точке а равен, .
Поэтому в нашем случае получаем И(а) ф (а) 444 Гл. у!П. Рхдьг. Г!реобравоваьил Фурье При Л < О аналогично (рассматривая только верхнюю полуплоскость вместо нижней) получаем д(Л) = †'„'еа . Таким образом, окончателыго д(Л) = ~~е 'оь, — оо < Л < оо. Впрочем, этот результат люжно получить сразу по формуле обращения, используя пример 1 и теорему 1 2 3. 4. Положили г"(х) = е "' . Имеем д(Л) = ( е " е г~*дх. (4) Здесь под интегралом стоит аналитическая функция, не имеющая особенностей в конечной части плоскости и стремящаяся к нулю вдоль каждой прямой., параллельной действительной оси.
Поэтому в силу. теоремы Коши интеграл (4) не изменит своего значения, если его взять не по действительной оси, а вдоль любой прямой 2 = х-~-гу (у = сопвг), параллельной этой оси. Таким образом, г д(Л) = / е '~'ьлуг .е '~~ад'Угйх= г Еау хЛу (' Е ах — 2агху — гЛх Г4Х Еау хЛу ( Š— ах — гхГ2аухЛГ Г4Х Выберем теперь постоянное значение у так, чтобы в показателе подынтегральной экспоненты исчезла мнимая часть., т.е.
положим у = — Лгг(2и). Тогда д(Л) =е 4- -". 1 е ' гхх=с жг/а, поскольку е а г4хгх ~/ — „. В частности, если положить о = 1Г2, то мы получим Г"(х) = е "' 22, д(Л) = лГ2~ге т. е. функция е * 22 переводится преобразованием Фурье сама в себя (с точностью до постоянного множителя). 2.
Основные свойства преобразования Фурье. Из формулы (1), определяющей преобразование Фурье, вытекает ряд свойств этого преобразования. Рассмотрим эти свойства. Для сокращения записи будем преобразование Фурье функции г" обозначать символом 1 4. Преобразование Фурье, свойства и применения 445 Е[4"]. Иначе говоря, мы обозначим через Е линейный оператор, определенный на пространстве Ь1[ — оо, сю) и ставящий в соответствие каждой функции из этого пространства ее преобразование Фурье ').
1. Если последовательность 11о) функций из Е с ( — сю, оо) сходится в метрззке пространства Ег [ — оо, оо), то последовательносгаь их преобразований' Фурье дн аа Е[Я сходится равномерно на всей прямой. Это утверждение сразу вытекает из очевидной оценки: [д-[Л) - д-[Л) [ < )' [У-[х) — У- [х) [ дс 2. Преобразование Фурье д абсолютно интегрируемой функции 4" представляет собой ограниченную непрерывную функцию, когпорая стрелгится к нулю при [Л[ -+ со. Действительно, ограниченность функции д = г [Г] сразу видна из оценки [д[Л)[< )' [У[х)[«х Далее, если 1 - . характеристическая функция интервала [а, Ь), то ля нее д —,— хь д[Л)за~с ' д о Эта функция, очевидно, непрерывна и стремится к нулю при [Л[ -+ со. Так как операция Р перехода от 1 к д линейна, то отсюда следует, что преобразование Фурье любой ступенчатой функции [т.е.линейной комбинации индикаторов интервалов) есть тоже непрерывная функция, стремящаяся к нулю при Л 4 жсо.
Наконец, ступенчатые функции всюду плотны в Ьг[ †,оо),поэтому если 4 б Ьг, то сУществУет последовательность 11н) стУпенчатых функций, сходящаяся к 1 в Ас [ — со, со). Тогда в силу свойства 1 последовательность функций до — У[Я сходится равномерно на всей прямой к функции д = г'[1]. Но тогда предельная функция д тоже непрерывна и стремится к нулю при Л 4 оо. У и р аж н е н и я. 1.
Доказать, что преобразование Фурье д абсолютно интегрируемой функции 1 равномерно непрерывно на всей прямой. 2. Пусть  — пространство равномерно непрерывных на [ — сю, оо) функций, стремящихся к нулю на бесконечности. Показать, что преобразование Фурье Г есть опоратор из Ьс [ — сю, со) в В с нормой 1, удовлетворяющий условию Кег Е = О.
') Вообще говоря, не принадлежащее ьь 446 Гл. Ътбк Рады. Г!ревбраввванвл Фурье 3. Если д' абсолютно непрерывна на каждом конечном интервале и Г' Е А«( — оо, оо), то имеет место равенство ГМ $ЛЕ[г ) Таким образом, дифференцированию функции (при указанных выше условиях) отвечает умножение ее преобразования Фурье на 1Л, Действительно, абсолютно непрерывная на кажном конечном интервале функция может быть записана в виде ~(х) = ~(0) + ~ ('(1) дб о Из абсолютной интегрируемости ~' следует, что стоящее здесь справа выражение при х — ~ со и при х — « — со имеет предел.
Этот предел может быть только нулем, так как иначе функция д" не была бы интегрируема на всей прямой. Учитывая зто, получаем с помощью интегрирования частям Е[Г)(Л) еа 7 Х'(х) -'"' '= = Х(х)е '«"! +«Л 1 Х(х)е '«'дх = гЛГ[Х)(Л), что и требовалось доказать. Если функция (' такова, что ~~" "~ абсолютно непрерывна на каждом интервале и д,..., ~~ ~ Е Х,1( — оо, оо), то с помощью таких же рассуждений получим Г[~~ "~) = (4Л)на.
(5) 4. Связь между степенью гладкости функции и скоростью убывания на бесконечности ее преобразовании Фурье. Разделив равенство (5) на (4Л)ь и нспомнив, что преобразование Фурье всегда стремится к нулю на бесконечности (свойство 2), получим, что если )Ц"~ абсолютно интегрируема, то [е [ е)[ [Е (« )( [Л[" не. в зтих условиях Е[д) убывает на бесконечности быстрое, чем 1ДЛ[".
Итак, чем больше производных в А«имеет 1, тем быстрее убывает на бесконечности ее преобразование Фурье. 5. Если д"в существует и принадлежит Ь«( — оо, оо), то Е[д) абсолютно интегрируема. Действительно, при указанных условиях Е[1) ограничена и убывает на бесконечности быстрее, чем 1/Лг.
Отсюда следует интегрируемость. г 4. Преобразование Фурье, евоаетва и иримененил 447 Вьппе (свойство 4) мы показали, что чем больше производных имеет функция 7', тем быстрее убывает на бесконечности ее преобра- зование Фурье. Справедливо и двойственное утверждение, а именно, чем быстрее убывает 7", тем глаже ее преобразование Фурье. Точнее говоря, верно следующее утверждение. 6. Пусть как функция 7" (х), так и хг'(х) абсолютно иптегрируе- мы.
Тогди функция д = Е[(] дифференцируема и де(Л) = Е[ — ехг(х)). (6) Действительно, продифференцировав интеграл / е(, ) — гтзд, определяющий д, по параметру Л, мы получим интеграл -' 1 *.7( ) который (в силу интегрируемости функции хг(х)) сходится равномерно по Л. Следовательно, производная функция д существует и имеет место (6). Если 7' такова, что абсолютно интегрируемы функции 7"(х), х7(х),...,хр((х), то, как показывают аналогичные рассуждения, функция д имеет производные до р-го порядка включительно, при- 4ЕМ д~ь~(Л) = Е[( — зх)~7(х)), й = 0,1,...,р. 7. Если потребовать, чтобы функция 7" убывала на бесконечности егце быстрее, то д будет еще более гладкой функцией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
