1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Получаем л 2 Функция 2л называется ядром Дирихле. Из равенства (5) сразу видно., что при любом и 17„(с) ьЬ = 1. Используя это равенство, запишем разность 5„(х) — 71х) в виде з1в а"'хт ~ ( ) — й*) = 2' ~ [У( + ) — У(*)]' ' 1 (7) Таким образом, мы свели вопрос о сходимости 5„(х) к 7" 1х) к вопросу о стремлении к нулю интеграла (7). Исследование этого интеграла опирается на следующую лемму. Лемма 1. Если функция уо суммируема на отрезке ~а,Ь], то ь бш / уо(х) выл рх с)х = О. р — а ао Доказательство. Если уо — непрерывно дифференцируемая функция, то с помощью интегрирования по частям получаем, что при р -ь оо ь ь ь У Р]х) ' Р «х= — Фх) р + 1У (х) р"х 1х-+о (8) а а Пусгь теперь уа -- произвольная суммируемэл на Ьи, Ь] функция. Поскольку непрерывно дифференцируемые функции всюду плотны в А1~о, Ь], для любого е > О найдется такая непрерывно дифференцируемая функция Ф„что ь )' Фх) — Ф.< )Их < 2 (О) а Далее, имеем ь ь ь / Уа(х) зшРхйх ( /]Ус(х) — Уо,(х)]мпРхскх + ]/ Уос(х) зшРхскх .
Гл. Ътп. Рады. Г!реобравоваьил Фурье 428 Первое слагаемое справа меньше, чем е/2, в силу (9), а второе стремится к нулю при р + со согласно (8). Лемма доказана. Теперь мы легко можем доказать следующий достаточный признак сходимости ряда Фурье. Теорема 1. Еслид суммируемал функция и при фиксированном х и некотором б ) 0 интеграл (10) — 4 существует, то частичные суммы Я„ряда Фурье, функции Г сходятся в этой точке х к 1(х). До к а з а т е л ь с т в о. Перепишем интеграл (7) в виде 1 ~ Пх-Ье) — Йх) е 2п+1 —, 8|П вЂ” л (П) Если функция Пх+е) — 2'( ) интегрируема (по г) в пределах от — б до б, то она интегрируема и на всем отрезке ( — я, я) (поскольку ( Е ь1 ( — я, я)).
Но тогда интегрируема и функция Пх+ е) — йх) 2 84п (е/2) ' поэтому к интегралу (11) можно применить лемму 1, и мы г4о44учаем, что этот интеграл стремится к нули>, когда и -э оо. Замечания. 1. Сходит4ость интеграла (10) называется услоеиезе Дйнц. Ошо, в частносги, выполнено, если в данной точке х функция г" непрорывна и имеет конечную производную, или хотя бы правую и левую производные. Рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 1, останутся в силе, если вместо условия Дйни потребовать сходимости следующих двух интегралов: у )(х 4- ) — Х(х — О) Ях Ч- е) — Х(х '- О) — о о где )(х — 0) и 7(х+ О) суть левый и правый пределы функции ) в точке х (предполагается, что х есть точка разрыва первого рода для 1).
Действительно, разность 7(х+ О) + Г(х — О) 5„(х)— 2 1 1. Условия сходомоспю ряда Фурье 429 можно представить в виде о г 41 о при условии существования ип"гегралов (12) эти выражения стремятся к нулю, когда тг -о оо. Отсюда вытекают достаточные условия «глобальной» сходимости ряда Фурье, обычно приводимые в курсах анализа. Пусгггь ! ограниченная функция с периодом 2к, имеющол разрывы лишь первого рода, и пусть д" имеет в каждои гпочке левую и правую производные' ). 'Тогда ее ряд Фурье сходится всюду, а его сумма равна !(х) в точках непрерывно- 1 0 сти и равна -(д (хч-0)-)-д (х — 0)) в точках разрыва.
2. Ядро Дирихле Р„(г), игравшее основну ю роль в наших рассуждениях, Рис. 22 представляет собой функцию, принимаю2п -1- 1 щую в точке г = 0 значение и при больших значениях и бы2л стро колеблющуюся (рис. 22). Н силу этого обстоятельства основной вклад в интеграл л 1 ~(х+ ) о()д при больших и дает лишь сколь угодно малая окрестность точки х. Для функций, удовлетворяющих условию Дйни, этот вклад стремится к !(х) при п -о оо. !о!ажно сказать, что ядра Дирихле Р„ образуют последовательность функционалов, сходящукюя, в некотором смысле, к д-функции на множестве функций 7, разложимых в сходящийся ряд Фурье.
Ясно, что в смысле обычной сходимости последовательность (Ро) не стремится ни к какому пределу, поэтому, исследуя интеграл (7), мы не могли применить какие-либо стандартные теоремы о предельном переходе под знаком интеграла. ) В точке разрыва первого рода левая и правая производные понимаются как 1пп !(х — Ь) — !(х — О) в -вот — й г" (х + Ь) — !(х+ 0) к-чое Ь соответственно. Го. Н!П. Радес. Г!реобравоваьил Фурье 430 3.
Условие Дйни, обеспечивающее сходимость ряда Фурье, можно заменить другими условиями, но просто отбросить его в теореме 1 нельзя. Действительно, даже среди непрерывных существуют функции с рядом Фурье, расходящимся в некоторых точках. Среди суммируемых функций существуют такие, ряд Фурье которых расходится всюду (А.Н. Колмогоров). Еще в 1915г. Н.Н. Лузин поставил следующую проблему; существуют ли в Рв функции, для которых ряд Фурье расходится на множестве положительной меры? Как показал Л, Карлесон (1966 г.), таких функций пе существует. Тот факт, что существукгт непрерывные функции, для которых ряд Фурье сходится не во всех точках, легко вытекает из общих теорем о слабой сходимости функционалов (и.
3 3 3 гл. 1Ъ'). Заметим прежде всего, что ~Ра(с)г<1с — г со при п — г со. (13) Действительно, числитель дроби 1~ ( )! —, )„„а( обращается в 1 в точках, где 2 з=(ге+2)я, ге=0,1 ... п. (14) Поэтому интеграл от ~Ра(з)(, взятый только по промежуткам, определяемым условием (15), больше, чем сумма 1'С 1 14я1~ 1 2я ~ в 2 в~г ыя 3(2п + 1) Згг ~в 1с -~- 1 Л вЂ” 0 Ь=е Эта сумма стремится к оо при и — > оо. Отсюда вытекает соотношение (13). Оно означает, что норъгы функционалов Р, в пространстве Окружим каждую из точек, определяемых условием (14), интерва2п 1 25-1-1 ( < й (15) Длина любого из них равна, очевидно, .
В каждом из этих 47г ' 3(2п+ Ц ' интервалов зш с~ не меньше чем 1г2. Оценим величину зш 2п+1 на 1-м интервала (й = О, 1,... г и). Имеем с < и < 1(2/с+1 +й)(2в+1) < /с+1 1 1. Усяооия сходимослеа ряда Фурье 431 непрерывных функций не ограничены в совокупности. Но тогда в силу теоремы о слабой сходимости функционалов эта последовательность не может быть слабо сходящейся на пространстве непрерывных функций, т.
е, имеются непрерывные функции 1, для которых 11п1 / Р„(х)~1х) е1х не существует. 2. 'Условия равномерной сходимости ряда Фурье. Мы установили условия, достаточные для сходимости ряда Фурье некоторой функции 1 в каждой точке. Класс функций, удовлетворяющих этим условиям, весьма широк, и даже непрерывность вовсе не необходима для представимости функции суммой всюду сходящегося тригонометрического ряда. Положение несколько изменится, если мы будем интересоваться условиями равномерной сходимости ряда Фурье.
Ясно, что если функция у(х) имеет хотя бы один разрыв, то ее ряд Фурье не может сходиться к ней равномерно, поскольку сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций всегда непрерывна. Таким образом, непрерывность функции есть необходимое (но, конечно, не достаточное) условие равномерной сходимости ее ряда Фурье. Простое достаточное условие дает следующая теорема. Доказательство. Обозначим через а' и Ь'„, коэффициенты Фурье функции 1"'.
Так квк 1" абсолютно непрерывна, то к интегралу л в„= — / 1(х) соз пх етх можно применить формулу интегрирования по частям. Получаем и„=— 1 л 1'1х) соз пх ах = гйппх~ 1 е Ь, = —.У1х)л"„"*~ — — „' / ТТх) зшпхйх = — „', — л аналогично, л Ьа = Х ~ У(~) ~шп е1х лс — „" Теорема 2. Если функция 1" с периодом 2х абсолютно непрерывной а ее производная 1"' принадлежит 'Е41,— я, х], то ряд Фурье функции у сходится к ней равномерно на всей прямой. Га. ЪЧП.
Радьг. Г!реобравоваьил Фурье 432 Следовательно, — + ~ )о„,)+ )Ьа! = — + ~ — + —. (16) Этот ряд сходится, поскольку а 2 (г'„+ о'„< сю в силу неравенства Бесселя. Числовой ряд (16) ~2 ~2 а=1 служит, очевидно, мажорантой для ряда Фурье функции г. Но тогда, по признаку Вейерцгграсса, ряд Фурье функции г равномерно (и абсолютно) сходится. Остается показать, что сумма этого ряда есть г. Пусть уо сумма ряда Фурье функции г.
Тогда 1р имеет те же самые коэффициенты Фурье, что и г. Отсюда в силу непрерывности обеих функций получаем, что д =:р. Можно дать другое условие равномерной сходимости ряда Фурье, аналогичное условию Дйни, именно: Теорема 3. Если на некотором множествеЕ С ( — к,к) суммнруемая функция г ограничена, а условие Дйни выполняется на Е равномерно, и е. для всякого е > О существует такое о > О, что ('((яч- е) — Г(т)~ гЬ < е — б одновременно для всех х 6 Е, то ряд Фурье функц т у" сходится к этой функции равномерно на Е.
Доказательство этой теоремы основано на лемме, служащей усилением леммы 1 (см. и. 1). (), 1тьгпЛ а <е а дрн Л > Х(е) для всех г е В одновременно. Для доказательства леммы возьмем в В конечную еб12-сеть уог,..., уог и выберем Х так, чтобы /уог(г)згплгпг < 2, .1=1,...,й, при л>х. Лемма 2. Если  — предкомпактное в метрике бг( — к,к) множество суммируемых функцггй, то для всяхого с > О найдатся такое Х=Х е что 1 2. Т'еорема Фенера 433 Если теперь 1 . произвольная функция из В, то при некотором с ()~ — ьес)! < е/2 и, следовательно, ь ь ь )с З'(ь) яп Ль с)ь < ( / се,'Гь) яп Ль с)г + / ()' — се,) яп Лс сИ < е.
а а а Тем самым лемма доказана. Применение этой леммы основано па том легко проверяемом факте, что в условиях теоремы 3 множество функций )с,х -ь Ь) — Дх) предкомпактно. Дальнейшие подробности доказательства предоставляем читателю. До сих пор мы говорили о функциях, заданных на отрезке ~ — я, я). Ясно, что все сказанное может быть автоматически перенесено на функции, определенные на отрезке произвольной длины 2Е Для случая нескольких независимых переменных тоже можно сформулировать как условия, достаточные для сходимости ряда Фурье в каждой точке, так и условия равномерной сходимости ряда Фурье. Мы не будем на этом останавливаться.
3 2. Теорема Фейера 1. Теорема Фейера. Пусть 1 .— непрерывная на прямой функция с периодом 2х. Эта функция определяется своим рядом Фурье — + ~ ~а„сов гсх+ ссе зспп,х (1) п=с однозначно. Действительно, если 14 и 13 две непрерывные функции, имеющие одни и те же коэффициенты Фурье, то )с — 13 непрерывная функция., равная нулю почти всюду и, следовательно, тождественный пуль. Однако поскольку ряд Фурье непрерывной функции, вообще говоря, не обязан сходиться., мы не можем такую функцию 1 получить непосредственным суммированием ее ряда Фурье.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
