1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 77
Текст из файла (страница 77)
г=! Легко видеть, что при достаточно малом е мера даат: У(х) И Х"(')) сколь угодно мала и, следовательно, интеграл / !Дх) — ~'(х)! йр < (2пгах~гуь!)р4я: уг'и) у': ~*(к)) сколь угодно мал при достаточно малом е. В силу сделанных нами предположений относительно базиса меры р, функция у* есть функция вида (5). Теорема доказана. г 2. ттроснтронсп~во йг 399 Для того частного случая, когда Х есть отрезок числовой прямой, а у мера Лебега, счетное всюду плотное множество в Ет можно получить и проще, например, взяв множество всех многочлепов с рациональными коэффициентами.
Оцо всюду плотно (даже в смысле равномерной сходимости) в множестве непрерывных функций, а эти последние образуют всюду плотное множество в Ь! (Х, у). 2. Пространство Аг 1. Определение н основные свойства. Пространств Вт представляет собой, как мы видели, полное нормированное (т.е. банахово) линейное пространство. Однако оно не является евклидовым: определенную в нем норму нельзя задать с помощью какого-либо скалярного произведения. Это вытекает из «теоремы о параллелограмме», установленной в п. 8 9 4 гл.
П1. На!|ример, для интегрируемых на отрезке [О, 2к] функций !' = 1, д = гйп х соотношение ))1+ д9~+ !)! — д(! = 2ЯДг+ ()д)(г) в Ьт не выполняется. Функциональное пространство, не то.тько нормированное, по и евклидова. можно построить, взяв совокупность функций с интегрируемым квадратом. Введем соответствующие определения. Будем сперва рассматривать действительные функции 1, определенные на некотором пространстве Х, с заданной на нем мерой у. Все функции предполагаются измеримыми и определенными на Х почти всюду.
Эквивалентные между собой функции не различаются. Определение 1. Функция ! называется функцией с интегрируемым квадратом иа Х, если интеграл существует (конечен). Совокупность всех таких функций мы обо- значим Ьг(Х,р) или, короче, Ьг. Установикт основные свойства функций с интегрируемым квадратом. 1. Произведение двух функций с интегрируемым квадратом есть 'ант и грарусман функция. Это непосредственно вытекает из неравенства - 2с' ~х) и свойств интеграла Лебега.
400 рл. И1. Престранетеа суммируемых функций Следствие. Всякая функция 1 с интегрируемым квадратом на пространстве с конечной мерой ннтсгрирусма. В самом деле, достаточно, положив д(х):— 1, воспользоваться свойствол4 1. 2. Сумма двух функций из Ег также принадлежит Ьг. Действительно, (1(х) + д(хн' < ~~(х) + 2~Дх)д(х) ~ + д" (х); в силу свойства 1 каждая из трех функций, стоящих справа, инте- грируема. 3. Если з" с Аг и о произвольное число, тпо от" и Лг.
Действительно, если З с Лг,то Р~(*))'д = 'Г~'( )д Свойства 2 и 3 означают, что линейные комбинации функций из Ьг снова принадлежат Аз, .при этом, очевидно, сложение функций из Аг и умножение их на числа удовлетворяют всем условиям, перечисленным в определении линейного пространства (0 1 гл. 111). Таким образом, совокупность Ьг функций с иятегрируемым, квадратом есть линейное прострваство. Определим теперь в Ьг скалярное произведение, положив У, д) = / У(х)д(х) дд Ясно, что все требования, входящие в определение скалярного произведения (см.
0' 4 гл. 111), а именно: 1) Уд)=(дУ) 2) (Л + Б: д) = (Л д) ч- И. д) 3) (оз,д) = о(у,д), 4) (У, У) > О, если 1 ~ О, при этом выполнены. В частности, выполнение условия 4) обеспечи- вается тем, что мы условились но различать эквивалентные между собой функции (за нулевой элемент, таким образом, принимается совокупность всех функций на Х, эквивалентных у = О). Итак, введя для функций с интегрируемым квадратом операции сложения и умножения на число, а также скалярное произведение, мы приходим к следующему окончательному определению. 1 2.
Пространство П| 401 Определение 2. Ееклидооым пространством Ат называется линейное пространство, состоящее из классов эквивалентных между собой функций с интегрируемым квадратом, в котором скалярное произведение определено формулой У,9) =~У(х)9( )д . В Ьз, как и во всяком евклидовом пространстве, выполнены неравенство Коши Буняковского и неравенство треугольника, которые в данном случае имеют вид и//х) '" ) /Х ) /9 /(/(*)дд()) ддв))/Р(*)дд д)//д'(*)дд з В частности., при /(1Х) < оо и 9(х) = 1 неравенство Коши-Буняков- ского превращается в следующую |юлезную оценку: (~ Ях) д/() < /в/Х) ) / '/х) д/(. Норма в Ьз определяется формулой ))л = в(ьд) = ))/)'(*)дд, а расстояние между элементами / и 9 формулой Величину И(*) — ('))зд = ~~./ — 4~з называют также средяим квадратичным уклонением функций / и 9 друг от друга.
Сходимость функциональной последовательности в смысле метрики пространства Уз называется сходимостью е среднем квадро|личном. Бели нет опасности спутат| эту сходимость со сходимостью в Ь1, определенной в предыдущем параграфе, мы и здесь будем пользоваться более коротким термином «сходимость в среднем». тл. И1. Просп~панства ауммируемнх функций 402 Теорема 1. Пространство Ьз(Х,В) при д(Х) < со полно. Доказательство. Пусть 1)„) фундаментальная последовательность в Ьз, т.с. ((~„— 1„,(! -~ О прп п, пу -у оо.
Тогда в силу оценки (1) получаем ~ У Ф - 1,.(х)~ 1д < МХ))'1'(ГУ„(. ) -1 1х))'1р) < < к[д( Х))" (2) т.е. последовательность 11„) фундаментальна и в метрике пространства Еп Повторяя рассуждения, которые были проведены при доказательстве полноты пространства Ьы выберем из 1та1 подпоследовательность 11„л), сходЯщУюсЯ почти всюдУ к некотоРой функции ).
В неравенстве / (Уа„(Х) — ЛИ)21Р < Е, справедливом для членов этой подпоследовательпости при всех достаточно больших й и 1, можно, .используя теорему Фату, перейти к пределу при 1 -4 оо. Получим откуда следует, что 1 Е Х,у и что 1„, -4 1. Для завершения доказательства остается,как и в теореме 1 у 1, воспользоваться тем, что если фундаментальная последовательность содержит сходящуюся, то и сама она сходится к тому же пределу. 2.
Случай бесконечной меры. Мы рассматривали только что функции с интегрируемым квадратом, определенные на некотором пространствеХ конечной меры. Приэтомусловиед(Х) < ос использовалось довольно существенно. Именно, сначала мы прибегли к нему, доказывая, что всякая функция с суммируемым квадратом суммируема и в первой степени, а затем при выводе неравенства (2), на которое опиралось доказательство полноты пространства Ьу. Если рассматривать функции на множестве бесконечной меры (например, на всей прямой с лебеговой мерой на ней), то не всякая функция из Ьу будет содержаться в Ьп Например, функпия 1/ууГ+ хз це интегрируема на всей прямой, а ее квадрат интегрируем. Далее, в случае д(Х) < оо имеет место неравенство (1), означающее, что из сходимости последовательности функций в Ау следует 1 2.
Пространство Ьт 403 их сходимость в Е1. При р(Х) = оо это тоже неверно: например, последовательность функций на прямой 11п при <х~ < и, 'Рн(Х) = О при <х)>п сходится к О в пространстве Аа( — оо,со) функций с суммируемым квадратом на прямой, но не сходится ни к какому пределу в Еь( — оо, оо). Однако теорема о полнопсе пространства Та остпается справедливой и при р(Л) = оо').
Докажем это утверждение. 1ьак и в и. б з 5 гл. Лс, где мы ввели понятие интеграла по множеству бесконечной меры, будем предполагать, что все пространство Х можно представить как счетную сумму множеств конечной меры. Пусть Х= О Хп, р(Хн)<оо, Х„ПХт=И при п~т п=1 --- такое представление и пусть (1в) -- фундаментальная последовательность в Та(Х,р). Таким образом, для каждого е > О существьет такое Лс. что ~<(Ь(Х) — Цх)<адр < Е для вСЕх Й,1 > Л1. Введем обозначение д (х) при х б Л„, ~р" (х) = О при остальных х.
Тогда в силу снойсгва о-аддитивности интеграла Пебега, имеем ~Цк(х) — Ых)) Йр = ~~ ( <(~~"1(х) — 11'О(х)< г1р < е. п=1 Х„ Для каждого конечного ЛХ и подавно Совокупность функций с интегрируемым квадратом на каждом Х„ представляет собой полное пространство. Положив 1ОО(х) = 1пп 11' 1(х) 1 — ьоо ') Доказательство полноты пространства Е1, пронеденное в 1 1, пе зависит, очевидно, от предположения конечноств меры пространства Х. 404 Пл. УП. Преетранее~еа еуммируемнх функций (где сходимость понимается как сходимость в пространстве 1 з(Х, р)), мы можем перейти к пределу при ) -э ос в неравенстве (3). Пол чаем у и / ](ь ~(х) — ) ~(х)] 444 < е. н=1 Х Так как это неравенство выполнено для всех Л1, то в нем можно перейти к пределу при ЛХ -+ оо.
Таким образом, имеем / ]зь (х) — з ~ )(х)] гз/4 < е. а=л Х„ Положив 1(х) = у~"~(х) при х Е Х„, мы можем последнее неравенство переписать в виде ~д„(х) — ~(х)]зад < е. Отсюда вытекает как принадлежность у к Ьз(Х, р), так и сходи- мость последовательности ()а) к у. Упражнение.
Определим Е„(Х, и) как совокупность классов эквивалентных между собой фуикпий, для которых / ]т(х)]"е4р < оо, где 1 < р < со. Доказать, что Ар(Х, и) является баиаховым пространством относительно нормы ]]1]] = (/ ]1(х)]"ср) '". 3. Всюду плотные множества в Аз.
Теорема об изоморфизме. Итак, пространство Ах(Х,П) функций с интегрируемым квадратом есть полное евклидово простра.нство. За исключением вырожденных случаев, размерность этого пространства бесконечна. С точки зрения различных применений в анализе важно выяснить, когда пространство Т,а(Х, д) сепарабельно, т.е. содержит счетное всюду плотное множество. В з 1 мы установили., что для пространства Ь1(Х,. р) сепарабельность вытекает из существования у меры д счетного базиса. Нетрудно убедиться, что это условие гарантирует и сепарабельность Тз(Х,р). Действительно, каждую функцию из Аз(Х, д) можно приблизить с любой то*пюстью функциями, каждая из которых равна 0 вне некоторого множества конечной меры ).
Далее, те же рассуждения, которые были проведены при доказательстве теоремы 3 0 1, показывают, что в совокупности таких функций можно выбрать счетное всюду плотное множество. 1) Если р(Х) < эи, то этот шаг отпадает. 2. !тгьстьгьнсптВО ьт 405 Итак, если мера д имеет счетный базис, .то пространство Ьг(Х, д) есть полное сепарабельное евклидово пространство. Иначе говоря, оставляя в стороне тот случай, когда 1,г(Х, р) имеет конечную размерность, мы получаем следующий результат: если мера д имеет счетптттяй базис, ттто Аг(Х,д) есть сгпарабельное гильбертово пространство. В силу теоремы об изоморфизме гильбертовых пространств, это означает, что все такие Аг(Х, д) изоморфны между собой.
В частности, каждое такое 1г(Х, д) изоморфно пространству 1т числовых последовательностей со сходящейся суммой квадратов. Последнее можно рассматривать как Аз1Х,д), когда Х счетно, а д определена на всех его подмножествах и равна 1 для каждой точки. Ниже мы, будем рассматривать только Ьг(Х, 4!), оптвечаюицие мерам со счетным базисом. В случаях, когда это не может вызвать недоразумений,каждое такое пространство мы будем обозначать просто Лз. Поскольку пространство 1,г представляет собой, как мы выяснили, реализацию гильбертова пространства, на Ьз можно перенести все те понятия и факты, которые были установлены в з 4 гл. П1 для абстрактного гильбертова пространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
