1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 74
Текст из файла (страница 74)
При Ф(к) = т она переходит в известную оценку ь / 2(т) сЕс < (Ь вЂ” а) шах[2(з:)[ для интеграла Римана. 2. Если Ф = Фь + Ф2, пьо ь ь ь Г г: (х)е ф(т) — ( Х( ) е1Ф1(к) + [ Х(х) е)фт(. ). Действительно, при всяком разбиении промежу.тка [а, Ь) соответствующее равенство выполнено для интегральных сумм, следовательно, оно сохраняется и в пределе, т. е. для интегралов.
При измельчении разбиения промежутка [о, Ь) последовательность таких функций равномерно сходится к 7. Поэтому предел этих сумм существует и представляет собой интеграл Лебега-Стилтьеса от предельной функции ( (теорема о предельном переходе под знаком интеграла).
Вместе с тем именно этот предел мы и назвали интегралом Римана- Стилтьеса (8). Установим некоторые элементарные свойства интеграла Римана— Стилтьеса. 1. Справедлива оценка (теорема о среднем) 1 В. Интеграл Стнлпгьеса 383 Замечание 1.
Мы определили интегралРимана-Стилтьеса(8), считая, что функция Ф(х) непрерывна слева. Однако определение этого интеграла как предела сумм (7) сохраняет, очевидно, смысл и для любой функции Ф(х) с ограниченным изменением. Замечание 2. Все сказанное об интеграле Римана — Стилтьеса по конечному промежутку легко переносится на случай, когда интеграл берется по всей прямой или по полупрямой. Кроме того, мы определили интеграл Стилтьеса по полуинтервалу [а, Ь). Аналогично можно определить интеграл по (а, Ь], а также интегралы по [а, .Ь] и (а, Ь).
В случае интеграла Стилтьеса, в отличие от обычного риманова интеграла, значения интеграла по интервалу (а, Ь), отрезку. [а, Ь] и полуинтервалам (а, Ь] и [а, Ь), вообще говоря, не совпадают между собой. Например, если а -- точка разрыва функции Ф, то интеграл по [а, Ь] равен интегралу, взятому по (а, Ь] плюс член вида Г(а)6, где й = Ф(а + О) — Ф(а). Приведенные свойства 1 и 2 выполнены для любой функции з',. для которой входящие в их формулировки выражения имеют смысл. Если предположить, что 7'(х) непрерывна на отрезке [а,Ь], то соответствующий интеграл обладает еще следующими существенными свойствами (при этом интеграл можно понимать как интеграл по отрезку [а, Ь] или по любому из полуинтервалов (а, Ь] и [а, Ь)).
3. Если Фь и Фг две функции с ог1юниченным изменением на [а, Ь), совпадающие всюду, кроме конечного или счетного числа внутренних тпо чек этого промеэюутка, то ь ь Г ~(*) "Ф ( ) = У ((х) дФт( ) а а для любой нетьрерывной на [а, Ь] функции з'. Для доказательства рассмотрим сперва случай, когда Фз = О, т, е. установим справедливость следующего утверждения. 3'. Если ф функция с огранльченным изменением, отличная от нуля лишь в конечном или с"ьетном числе точек, лезюащих внутри (а, Ь), то ь )' ((х) е1ф(х) = О а для любой непрерывной на [а, Ь] функции 7".
Действительно, это очевидно для функции, отличной от нуля в одной точке хо (если брать сколь угодно мелкие разбиения промежутка [а, Ь), не включая хо в число точек деления, то будут получаться интегральные суммы, равные нулю), .следовательно, по аддитивности это верно и для любой функции, отличной от нуля в конечном числе точек. Пусть теперь ф отлична от нуля в точках г,,..., !а. Ра ьзеапределенный интеграл д!ебега 384 г„,...
и уз, ... у„,....- ее значения в этих точках. Поскольку Ф имеет ограниченное изменение, то 2 ~у„~ < оо. Выберем номер Х так, что 2 ~у„~ < е, и представим уз в виде суммы ее> Ьу ьд = Фн+Ф, ,/ ./(х) ~Ф(х) = ~ ~(х!) о а функция скачков,и ь ь если Ф (10) а а если Ф -- абсолютно непрерывная функция. Если при этом Ф' интегрируема по Риману, то интеграл в (10) справа можно понимать в римановом смысле. где узы принимает значения уз,..., уп в точках т,,..., гк и равна 0 во всех остальных, а Ф отлична от 0 только в точках гнз.ы гкз г,.... В силу свойства 2 ь ь ь / ! (х) еКФ(х) = / ! (х) еьзр,у(х) + / ! (х) сЬр(х). а а и Первый из этих интегралов по уже доказаньюму равен нулю, а второй, по свойству 1, допускает оценку ь / йх~)газ(х) < щ ~У(х)~2е а (посколькУ, очевидно, 1~~(Ф) = 2 2 ~Уп~ < 2е).
В силУ пРоизвольноп>М сти е отсюда вытекает наше утверждение. Теперь для доказательства свойства 3 рассмотрим разность зр = = Фь — Фг. Она отлична от нуля лишь в конечном или счетном числе точек, принадлежащих (а, 6). Остается применять 2 и 3'.
В частности, поскольку функция с ограниченным изменением имеет не более чем счетное число точек разрыва, получаеъз следующее свойство. 4. Если функц я / непрерывна, пзо интеграл Римана. Стилтьеса / /(х) с!Ф(х! не зависит от значений, принимаемых функцией Ф а в се точках разрыва, лелсащие внутри (а, Ь). Поскольку интеграл Римана-Стилтьеса от непрерывной функции совпадает с соответствукзщим интегралом Лебега Стилтьеса, для интеграла Римана Стилтьеса от непрерывной функции ! (х) справедливы равенства 1 и Интеграл Стилагьеса 5.
Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса. В гл. У мы доказали ряд теорем о предельном переходе под знаком интеграла Лебега. При этом вопрос ставился следующим образом; ланы последовательность функций ((а) и интегралы от них по некоторой фиксированной мере; нас интересует возможность предельного перехода под знаком интеграла. Однако применительно к интегралу Стилтьеса интересна и другая постановка вопроса; дана последовательность функций с ограниченным изменением (Фа). При каких условиях для фиксированной функции г под знаком интеграла ь [ У(я) г!Ф„(я) а возможен предельный переход? Здесь имеет место следующая теорема.
Теорема 2 (п е р в а я теорема Х е л л и) . Пусть ф упкции Ф „ г ограниченным изменением на отрезке [а, Ь] сходятся в каждой точке этого отрезка к некоторой функции Ф, причем полные изменения функций Фа ограничены в совокупности: 1г'[Ф„] < С, о=1.2,... Тогда прсдслызая функция Ф тоже имеет ограниченное изменение и для любой непрерывной функции У' справедливо равенство (11) Доказательство. Покажега прежде всего, что полное изменение предельной функции Ф не превосходит той же константы С, которой ограничены все 1гь[Ф„]. Действительно, при любом разбиении отрезка [и, Ь] точками а = тв < кг « . я = Ь имеем т т ]Ф(хь) — Ф(ть г)] = !рн ~ ]Ф„(ть) — Фа(яь г)] < С, ь=ь ь=1 еле оватгльно Г,"[Ф] < С.
Покажем теперь, что соотнощение (11) выполнено в том случае, если ступенчатая функция. Пусть у принимает значения Ьь на полуинтервалах [ть ыть). Тогда ь ~ ьг(х) аьФ„(т) = ~ Ьь[Фа(хь) — Ф (ть — ь)], ь [ Х(т)г?Ф(я) = ~,йь[Ф( ь) — Ф( — )] рл. Ь7. неопределенный интеграл дебела 386 Ясно, что первое из этих выражений при и -э оо переходит во второе. Пусть теперь 1 -- непрерывная функция и е . — произвольное положительное число. Выберем ступенчатую функцию зе так, что ]Дх) — з",(х)] < сДЗС). Тогда ('Я(х)йФ(х) — ~ах) 1Ф„( ) < а а ь ь (' 1( ) е1Ф(х) — ~ з",(х) е1Ф( )]+ а а ь ь + 1 ~а( )йФ( ) — 1Хе(*)пФ.( ) + а а ь ь + / / У.(х)сйФа(х) — / ~(х)г1Фн(х) . а а В силу теоремы о среднем для интеграла Стилтьеса первое и третье слагаемые здесь меньше, чем еьь3, а второе меньше е/3 при всех достаточно больших и.
Поскольку е ) 0 произвольно, отсюда вытекает утверждение теоремы. Замечание. Эта теорема переносится и на тот случай, когда в интегралах ь а один или оба предела бесконечны. При этом, однако, функция з" должна на бесконечности стремиться к некоторому конечному пределу (это позволяет равномерно аппроксимировать ее на всем бесконечном прогиежутке ступенчатыми функциями, принимающими лишь конечное число значений). Если первая теорема Холли устанавливает условия, при которых в интеграле Римана-Стилтьеса можно переходить к пределу по некоторой последовательности 1Фн) функций с ограниченным изменением, то вторая выясняет, когда можно гарантировать само существование последовательности, удовлетворяющей условиям первой.
Теорема 3 (вторая теорема Хелли). Из всякого бесконс*шого множества ЛХ функций Ф, заданных ца некотором отрезке [а, Ц и удонлетноряюгцих условиям шах]Ф(х)] < С, г;~[Ф] < Л (12) 1 6. Интеграл Стилагьеаа 387 (С и К . постоянные., одни и тежедля всехФ Е ЛХ), можно выбрать последовагельпостть сходящуюся в каждой точке отрезка [а, Б]. Доказательство. Достаточно доказать эту теорему для мо- нотонных функций. Действительно, пусть Ф=е — д, где е(я) .
- полное изменение функции Ф на отрезке [а,х]. Тогда функции и, отвечающие всем Ф Е ЛгХ, удовлетворяют неравенствам шах]е(я)] < К, 178[с] = 1'ь[Ф] < К, т.е. удовлетворяют условиям теоремы, и монотонны. Считая, что для монотонных функций теорема доказана, выберем последова- тельность (Ф„) из ЛХ так, чтобы для нее в„сходились к некоторому пределу ш Далее, функции дн = пн — Ф„ тоже монотонны и удовлетворяют условиям теоремы. Поэтому из (Ф„) можно выбрать подпоследовательность (Ф„„) так, что дгм схо- дятся к некоторому пределу д.
Но тогда Ф„,(я) э Ф(и) = е(к) — д(х). Итак, приведем доказательство теоремы для семейства ЛХ монотон- ных функций. Пусть гы..., г„,... все рациональные точки от- резка [а, Ь]. В силу (12) числа Ф(гг) (где Ф пробегает все ЛХ) образу- ют ограниченное множество, поэтому найдется последовательность (Ф„), сходящаяся в точке гы Далее, из цее можно выбрать подпо- О) следовательность (Ф„), сходящуюся в точке гз (и, конечно, в гг). ОО Из (Ф„) выберем подпоследовательность, сходящуюся в точке гз, (3) и т.д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
