1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Ее производная равна, очевидно, ну- лю в каждой точке любого смежного интервала, т.с. почти всюду. Следовательно, для этой функции имеем О = ( У'(1) й < У(х) — У(О) = У(*) о при любом х из полуинтервала О < х < 1. Отметим попутно, что в случае монотонной 1(х) равенство ь Х / «'(1) <Й = 1(Ь) — 1(а) влечет равенство / (и(г) <И = 1(х) — 1(а) при а а любом х из полуинтервала а < х < Ь. Чтобы описать класс функций, для которых имеет место равен- ство ь / 1'(1) ььь' = 1(Ь) — 1(п), а введем следующее определение. Определение 1.
Функпия ь", заданная на некотором отрезке [а, Ь1 называется абсолютно неиреръьвноп на нем, если для любого е > О найдется такое Ь > О, что, какова бы ни была конечная система попарно непересекающихся интервалов (аь, Ьь), Ь = 1,..., и,, с суммой длин, меньшей д: и ~(Ьь — аь) < Ь, ь=ь выполнено неравевство [ 1(Ьь) — Д(аь)[ < е. 362 1л. на !!еоиределеннмй интеграл е!ебега Ясно, что всякая абсолютно непрерывная функция равномерно непрерывна. Обратное, вообще говоря, неверно, например: описанная выше «канторова лестница» непрерывна [а значит, и равномерно непрерывна) на отрезке [О, 1], однако она не абсолютно непрерывна. Дейспьительно, канторово множество можно покрыть конечной системой интервалов [айн Ьй) [Ь = 1,..., н), сумма длин которых сколь угодно мала.
Вместе с тем для каждой такой системы интервалов выполнено, очевидно, равенство и ~ [У[61) — У(ай)[ = 1. й=1 Укажем основные свойства абсолютно непрерывных функций. 1. Заметим щьежде всего, что в определении 1 можно вместо любой конечной системы интервалов с суммой длин < б рассматривать любую конечную или счетную систему интервалов, сумма длин которых < д. Действительно, пусть дпя данного е > О мы выбрали б > О так, что [У(Ьй) — У[ай)[ < е й=1 для любой конечной системы интервалов [ай, 61), удовлетворяющей условию и [Ьь,. — ай) < д, й=ь и пусть [ай,!)й) — счетная система интервалов с суммой длин, не превосходящей б.
Тогда при любом и имеем и ~ [УИй) — У(ой)[ < е; йи1 переходя здесь к пределу. при и — ь оо, получаем ~~, [У(дй) — У(ай) [ < е. й=1 2. Всякая абсолютно ненрерывнан функьйия имеет ограниченное изменение. Действительно, абсолютная непрерывность функции У на отрезке [а, 6) означает, в частности, что для каждого е > О можно б > О выбрать так, что полное изменение функции У на отрезке длины < д будет не больше, чем е.
Поскольку отрезок [а, 6) можно разбить на конечное число отрезков длины < д, то и полное изменение функции У на [а, 6) конечно. Г 4. Восстановление функции по ее производной звз 3. Сумма абсолютно непрерывных функций и произведение такой функции на число суть абсолютно непрерывные функции. Это сразу. вытекает из определения абсолютной непрерывности и свойств модуля суммы и произведения. Свойства 2 и 3 олгачают, что абсолютно непрерывееые функции в пространстве всех') функций с ограниченным изменением образуют линейное многообразие.
4. Всякая ибсолютмо непрерывная функце я мо:нсвт бьииь представлена как разность двух ибсолютно непрерывных пеубывинпцих функций. Действительно, абсолютно непрерывная функция, как всякая функция с ограниченным изменением, может быть представлена в виде где и(х) = Ъ'~(Г) и д(х) = о(х) — )(х) неубывающие функции. Г!окажем, что каждая из этих двух функций абсолютно непрерывна. Достаточно проверить это для о. Пусть е > О задано. Выберем б > О для этого е так, как это диктуется абсолютной непрерывностью функции Г. Возьмем систему и интервалов (аь, Ьь) с суммарной длиной меньше, чем б, и рассмотрим сумму и ~(о(Ь,) - и(ау)).
(5) у=1 Эта сумма представляет собой точную верхнюю грань чисел п те ~Г(хуз) — Г(хьз — 1) ~ (6) Ьт1 Ст1 по всевозможным конечным разбиениям а~ =хдо <хсл <х1д < - <хг,„, — — Ьы аз=хко <хгл <хгд « . хг, =Ьг, ип — хп,и < хил < хпд « ' ' ' хп,т„— Ьп интервалов (аы Ь1),..., (ап, Ьп). Так как сумма длин всех интервалов (ху р ы хь р), по которым берется сумма (6), не превосходит б > О, то каждая из сумм (6) не болыпе, чем -. Следовательно, и сумма (5),-- их точная верхняя грань, не больше, чем е. С,чедующие две теоремы устанавливают тесную связь между понятием абсолютной непрерывности и неопределенным интегралом Лебега. ~) См.
упражнение а Г 2. 4л. р!. ь!еонределеннма ннглегрел Лебеге 364 Теорема 2. Функция представляющая собой' неопределенный интеграл суммируемой функции, абсолютно непрерывна. Доказательство. Если ((аь.,Ь!)) какая-либо система непересекающихся интервалов, то н ь„ ь, ]Е(Ьь) — Е(аь)] = ~ / У(!)еКь/ < ~~~ / ]У(!)]а!! = ь=ь а, ь=! а, ]у(Ь)] !4; Ы . ьг! в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега последнее выражение стремится к нулю, когда суммарная длина интервалов (аь, Ьь) стремится к нулю. Теорема 3 (Лебег). Производная у" = Г' абсолютно непрерывной функции, заданной на отрезке (а, Ь], суммируема на этом отрезке и для каждого т (а < т < Ь) ( ((!) е!! = г'(т) — Е(а).
а Теоремы 2 и 3 показывают, что абсолютно непрерывные функции, и только они, восстанавливаются с точностью до постоянного слагаемого по своей производной с помощью операции интегрирования. Для доказательства теоремы 3 нам понадобится следующая лемма. Л ем ма. Если производная абсолютно непрерывной монотонно неубывающей функции г" равна О почти всюду, то эта функция постояяная.
Доказательство леммы. Пусть ( задана на (а, Ь]. Так как !' —.- непрерывная монотонная функпия, то ее область значений есть отрезок ]у(а), у(Ь)]. Покажем, что длина этого отрезка равна нулю, если ~'(т) = О почти всюду. Тем самым лемма будет доказана. Разобьем множество точек отрезка [а, Ь] на два класса; множество Б тех точек, в которых !'(т) = О, и У -" его дополнение.
По условию леммы р(Л) = О. Выберем некоторое е > О, найдем то д ) О, Л 4. Воеатановление функции по ее производной 365 которое отвечает этому 5 в силу абсолютной непрерывности функции Г, и заключим У в открытое множество, мера которого меньше Ь (это возможно., поскольку Лл(Я) = О). Иначе говоря, Я покрывается конечной или счетной системой интервалов (ал, Ьл), сумма длин которых меньше б. В соответствии с выбором д получаем ~ [,г(Ьл) — л(ау)[ < ш Следовательно, вся система интервалов (ал, Ьл) (а тем более, и заключенное в их сумме множество У) переводится функцией Л в множество, мера которого меныпе ш Таким образом, д(7(У)) = О.
Рассмотрим теперь множество Е = [а, Ь[ лл Я. Пусть хо б Е. Тогда, поскольку л"'(хо) = О, дпя всех х, достаточно близких к хо, выполнено не авенство Р 7(х) — Д(хо) <к, х — хо т. с, (мы считаелл для определенности, что х > хо) У(х) — У(хо) < 5(х — хо) еК - 1(Ол) > яа, — 1(о,), 7"(ЛЗь) — 7'(ол) < 5(бв — ол), (Я(дл) — )(оь)) < е ~ (ол — ол) < 5(Ь вЂ” а).
т.е. откуда л. Иначе говоря, множество Е переводится функпией 7 в множество, покрывающееся системой интервалов, сумма длин которых меньше е(Ь вЂ” и). Ввиду произвольности к отсюда следует, что д(г" (Е)) = О. Итак, и 7'(Е), и 7" (У) имеют меру нуль. Но в сумме эти два множества составляют отрезок [Г (а), 7 (Ь)) . Тем самым доказано, что длина этого отрезка есть нуль, т.
е. что 7'(х) = сопзл. Теперь уже легко доказывается и сама теорема 3. Достаточно ограничиться случаем, когда функция Е(х) не убывает. В этом случае а Ф(х) = Г(х) — / 7" (Ь) ей а (7) или ехо —,л'(хо) < сх — л'(х); таким образом, хо есть точка, невидимая справа для функции д(х) = ех — Л"(х). Следовательно, по лемме Ф. Рисса, множество Е содержится в конечной или счетной системе непересекающихся интервалов (оы Лол), в концах которых выполняются условия рл. ГП Неопределенный интеграл Левела 366 представляет собой функцию, тоже монотонно неубывающую. Дей- ствительно, если хи > х', то по теореме 1 Ф(*о)-Ф(.) =Г(*о)- (*)- 1 т О Кроме того, Ф абсолютно непрерывна (как разность двух абсолютно непрерывных функций) и Ф'(х) = О почти всюду (согласно теореме 1 6 3).
Поэтому в силу леммы Ф есть константа. Положив в (7) х = а, получаем, что эта константа равна г'(а). Теорема доказана. Мы виде.ли выше, что всякую функцию 7 с ограниченным изменением можно представить как сумму функции скачков Н и непрерывной функции ез с ограниченным изменением (6 2), Рассмотрим теперь непрерывную, но не абсолютно непрерывную функцию с ограниченным изменением ер и положим ф(х) = 144)д е Разность Х = 'гг — ф представляет собой непрерывную функцию с ограниченным изменением. При этом х(х) = у'(х) — д )г зз'(1) д1 = О почти всюду. Назовем непрерывную функцию с ограниченным изменением сингулярной, если ее производная равна нулю почти всюду. Мы можем теперь сформулировать следующий результат: всякая функция с ограниченным изменением мозюет бьппь представ.
лена в виде суммы трех компонент (8) У = Н+ф+Х функции скачков, абсолютно неирерыввой функции и сингулярной функции. Нетрудно показать, что каждое из слагаемых в разложении (8) определяется самой функцией 7 однозначно с точностью до константы. Если функции, входящие в равенство (8), нормировать, потребовав обращения двух из них в нуль в точке х = а, то разложение (8) 1 Л. Восстановление функции по ее производной 367 будет уже в точности единственным. Проднфференцировав равенство (8)., мы получим, что почти всюду У'(х) = ~" (х) (поскольку Н' и у' равны нулю почти всюду).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
