1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 67
Текст из файла (страница 67)
1(х„, + О) — ) (х„, — О) = Ь,„,. Наконец, если х не совпадает ни с одной из точек хп, то в ней функция скачков непрерывна (проведите доказательство!). Простейший тип функций скачков ступенчатые функции, у которых точки разрыва можно расположить в монотонную последовательность х! « . х„ < В общем случае функция скачков может иметь и более сложную структуру, например, если (х„) множество всех рациональных точек на отрезке ]а,б], а Ь„= 1/2", то формула (3) определяет функцию скачков, разрывную в рациональных точках и непрерывную в иррациональных.
~) Если бы л1ы определили ! формулой Пх)= 2 ьо, то получили бы функпию, непрерывную справа. )Если ни одна из точек х„не совпадает с 6, поскольку и„= 6 не участвует в сумме (3), Чтобы учесть скачок в точке 6, надо нместо (о,61 рассматривать полуинтервал (о. 6 ч е), с ) О. 3 Ь Монотонные функции 343 Другой тип монотонных функций, в некотором смысле противоположный функциям скачков, непрерывные монотонные функции.
Имеет место следующее утверждение. 4. Всякую монотонную функцию, непрерывную слева, можно представить как сумму непрерывной монотонной функции и функции скачков (непрерывной слева) и ирипеом единственным образом. Действительно, пусть 1" -. неубывающая непрерывная слева функция и хы ха, ... все се точки разрыва, а 6ы 63,...
ее скачки в этих точках. Положим Н(х) = ~ 6н, о,.<е Разность оо = 1 — Н есть неубывающая непрерывная функция. Для доказательства рассмотрим разность оо(хо) — уо(х') = [1(хо) — 1(х')) — [Н(хо) — Н(х')], где х' < х". Здесь справа стоит разность между полным приращением функции 1 на отрезке [х',хо) и суммой ее скачков на этом огре:зке. Ясно, что эта величина неотрицательна, т.е.
уо неубывающая функция. Далее, для произвольной точки х' имеем оо(х* — 0) = Х(х' — 0) — Н(х* — 0) = 1(х' — 0) — ~ 6„, е <е' оо(х* + 0) = 1(х' + 0) — Н(х* + О) = 1(х* + 0) — ~ 6„, е <е* откуда уо(х* + 0) — уо(х" — 0) = 1(х* + 0) — 1(х* — 0) — 6* = 0 (где 6* скачок функции Н в точке х*). Отсюда и из непрерывности 1 и Н слева вытекает, что уо действительно непрерывна. 2. Диффереипируемость монотонной функпии. Перейдем теперь к вопросу о существовании производной у монотонной функции. Теорема 1 (Побег). Монотонная функция 1", определенная на отрезке [а, Ь), имеет почти всюду на этом отрезке конечную производную. Прежде всего введем некоторые понятия, которые будут нужны для доказательства этой теоремы. Как известно, производной функции т в точке хо называется предел отношения 1(х) — 4(хо) (4) Гл.
И. Неапределеппыа интеграл Лебега при х -+ хо. Этот предел может, конечно, и пс существовать, однако всегда имеют смысл следующие четыре величины (которые могут принимать и бесконечные значения): Ап„- верхний предел отношения (4) при х, стремящемся к хо справа (т.е. так, что х — хо ) О). Эта величина называется верхним тгравгялг производнвгм числим. Лпр (нижпее правое производное число) нижний предел отношения (4) при х -+ хо справа.
Л,в (верхнее левое производное число) верхний предел отношения (4) при х — т хо слева. Лле, (нижнее левое производное число) --. нижний предел отношения (4) при х -+ хо слева. Рнс. 19 На рис. 19 показаны прямые с угловыми коэффициентами Апр, Лпр, А „, Л,в соответственно. Ясво, что всегда Лпр ее Апр н Ллев ег Алев Если Апр и Л,р конечны и равны между собой, то это общее их значение есть правая производная функции Д(х) в точке хо. Аналогично, если А„, = Л „, то их общее значение есть левая производная.
Существование у ) в точке хо конечной производной равносильно тому, что в этой точке все производные числа функции ) конечны н равны между собой. Поэтому утверждение теоремы Лебега можно сформулировать следующим образом: для монотонноа на (а, Ь) функции соотношения — оо < Ллев = Лпр = Алев — Лпр < со выполнены почти всюду иа (а,(г]. 'З К Монотонные функции 34 в Упражнение. Пусть ?*(х) = — ?(х). Как связаны производные числа для З с производными числами З? Ответьте па такой же вопрос при переходе от ?(х) к З ( — х). Доказательство теоремы .Лебега опирается на приводимую ниже лемму, которой мы будем пользоваться и в дальнейшем.
Введем следующее определение. Пусть д(х) . — непрерывная функция, заданная на отрезке а < х < Ь. Точку хв этого отрезка мы назовем гпочкой, невидимой' справа для функции д, если существуот такая точка с(хв < с < Ь), что д(хв) < д(с) (рис. 20). х?к) ~ т и Рис. 20 Лемма (Ф. Р и с с). Для любой непрерывной функции д множество точек, невидимых справа, открыто на отрезке (а, Ь) и, следовательно, представляется в виде суммы конечного или счетного ЧИСЛа ПОПарНО НЕПВрЕСЕКазвщИХСя ИитсрнаЛОВ (а?о ЬЬ) (И, ВОЗМОжиа, полуинтервалао содержагцего точку а). В концевых точках этих интервалов выполнены неравенства (5) д(аь) < д(Ьь).
Доказательство леммы. Если хв точка, невидимая справа для д, то тем же свойством будет обладать, в силу непрерывности д, и любая точка, достаточно близкая к хв. Следовательно, множество таких точек открыто на [а, Ь). Пусть (аы Ьь) один из составляющих его интервалов. Предположим, что (б) д(аь) > д(Ьи); тогда в интервале (аы Ьь) найдется внутренняя точка хв, в которой д(то) > д(Ьь), Пусть т' " самая правая из всех точек х на (аы Ьь), в которых д(х) = д(хв). Поскольку х' Е (амЬь), существует такая точка с > х*, что д® > д(х*).
Точка г не может лежать на интервале (аы Ьь), так как х* самая прав я точка на этом интервале, в которой д(х) = д(хв), тогда как д(Ьь) < д(хв). С другой стороны, неравенство с > Ьь так- же невозможно, так как мы имели бы д(Ьь) < д(хо) < д(6 а Ьь 4л. Ва г!еопребеленнмй интеграл Лебега 346 не лвляетсл точкой, невидимой справа. Полученное противоречие показывает, что неравенство (6) не имеет места, т.е. д(аь) < д(Ьь), и лемма доказана.
Читатель без труда проверит, что фактически д(аь) = д(Ьй), если только аь ф а. Замечание. Назовем точку хо невидимой' слева для непрерывной функции д(х), если существует такое с < хо, что д(с) > д(хо). Такие же рассуждения показывают, что множество невидимых слева точек есть сумма конечного или счетного числа попарно неперекрывающихся интервалов (ай, Ьь) (и, возможно, полуинтерввла, включающего точку Ь), причем д(ав) < д(Ьь). Перейдем теперь к доказательству самой' теоремы Пебега. Докажем ее сначала в предположении, что ! --- непрерывная монотонно неубывающая функция. Для доказательства теоремы достаточно установитгч что почти всюду 1) Л р < оо 2) Лл > Л р Действительно, если мы положим 7'(х) = — 7( — х), то 7* будет тоже монотонно неубывающей непрерывной функцией, определенной на отрезке ( — Ь, — а1 Если Л,*,р и Л,*„, верхнее правое и нижнее левое производные числа для 7*, то, как легко проверить (см.
упражнение выше), производные числа функций 7 и 7* в соответствующих точках связаны равенствами Л„* = Лл,в, Л*,в = Лпр. Поэтому, применив неравенство 2) к 7'(х), получим (7) Лпр > Лл,„. Соединив полученные неравенства в одну цепочку и используя опре- деление производных чисел, будем иметь Лпр ~ ~Ллев ~ ~Ллев < Лпр ~ ~Л р~ а это и означает, что Ллев Лпр Ллвв Лпр Покажем вначале, что Лпр < со почти всюду. Если Лпр — — оо в некоторой точке хо, то для любого постоянного С > 0 справа от точки хо найдется такая точка 4,что ~(О - ~(хо) > С ьг — хо т. е.
б К Монотонные функции 347 или У(б) — Сб > у" (хв) — Схв. Иначе говоря, точка хв оказывается точкой, невидимой справа для функции д(х) = 7'(х) — Сх. В силу леммы Ф. Рисса множество таких точек открыто, и на концах составляющих его интервалов (айч бй) выполнены неравенства ((ай ) — Сай < ((Ьй ) — Сбй, т. е. 7'(Ьй) — 7'(ай) > С(Ьй — ай). Деля на С н суммируя полученные перавонства по всем интервалам (ай, Ьй), получим 7(бй) — 7'(ай) у(Ь) — 7'(а) ~~(бй — ай) < 7 С < й й Здесь С можно было взять как угодно большим.
Таким образом, множество тех точек, в которых Л„р — — оо, можно покрыть интервалами. сумма длин которых сколь угодно мала. Следовательно, мера этого множества равна О. Тот же прием, связанный с леммой Ф. Рисса, позволяет доказать, что почти всюду Л,„„> Л„р, но теперь этот прием придется применить дважды. Рассмотрим пару рациональных чисел с и С, для которых О < с < С < оо и положим р = с7'С.
Обозначим через Е,п совокушюсть тех х, для которых Л„р > С, а Ло„< с. Если мы докажем, что РЕос = О, то отсюда будет следовать, что почти всюду Л„.„, > Лир, так как множество тех точек, где Л„„, < Л„р, очевидно, представимо в виде суммы не более чем счетного числа множеств вида Еос. Установим теперь основное неравенство. Для любого интпврвала (о, 77) С [а, Ь) имеем р(Е,с 7У (а.,(4)) < р(,3 — о). Действительно, прежде рассмотрим множество тех х б (ге, (4), для которых Л „< с. Для всякой такой точки х найдется такое б < х, что < с, т.е. 7'(С) — сб > 7(х) — сх. Поэтому х невидима слева для функции 7" (х) — сх и по лемме Ф.
Рисса (см. замечание выше) множество таких х представимо в виде су.ммы не более чем счетного числа непересекающихся интервалов (ой, рй) С (о, )4), причем ((ой) — сей > Я~~й) — сЯ,, т.е. 7'(Зй) — 7'(ой) < с(Ц вЂ” ой). 1л. р!. т!еанределеннмй интеграл !!ебега 348 На каждом из интервалов (ныл„.) рассмотрим множество Сь тех т, для которых Л„р > С. Снова применяя лемму Ф. Рисса (теперь, как и при доказательстве неравенства А,ш < оо, для точек, невидимых справа), мы получим, что Сь представимо в виде суммы не более чем счетного числа непересекающихся интервалов (оь1, уь ) и !зь, — оь! < — [((!3ь,) — 1(од,)).
Ясно, что множество Еес П (о,,д) покрывается системой интервалов (оь, ~34!), причем в силу (8) и (9) имеем и основное неравенство доказано, Теперь легко доказать, что !4Е,с = О. При этом достаточно использовать только то свойство множества Е,с, которое описывается основным неравенством. Лемма. Пусть измеримое множество А на отрезке [п, 6) таково, что для любого иптсрвача (о, ~3) с [а,6) выполняется неравенство !г(А П (о, о)) < р(!4 — о), где. 0 < д < 1. Тогда рА = О. Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
