1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 64

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 64)

ЕСЛИ 17и(Х)~ < 34 = СОПВ1 И ~„— > Г", тО 7 ти( ) 7 т'(х)й Теорема 7 (Б. Леви). Пусть на множестве А Л(х) « . ~' (х) < причем функпии )и интегрируемы и их интегралы ограничены в со- вокупности )' (и(х) агр < К. Тогда почти всюду на .4 сутцествует (конечный) предел 7"(х) = 1пп уа(х), функция т" интегрируема на А и (23) ) ( ( ~)е1 — 7 ((*)е1 А А При этом на множестве, на котором предел (23) не существует, функцию ( можно задать произвольно, например, положив на этом множестве 2(х) = О. Доказательство.

Будем предполагать гз(х) ) О, так как общий случай легко сводится к этому путем перехода к функциям 2' = Л* — Л. Замечание. Поскольку значения, принимаемые функцией на множестве меры О, не влияют на величину интеграла, в теореме 6 достаточно предположить, что ((„) сходится к ( почти всюду и что кажДое из неРавенств ~уи(х) ~ < гР(х) также выполнлетсЯ лишь почти всюду.

1 5. Ингпеграп Лебега 323 Рассмотрим множество й = (х: х е Л, лп(х) э оо). Легко видеть, что й = П () йп, где М и йг,"~ = (х: х й А Хп(х) > е). В силу неравенства Чебышева (21) д(йЮ) < К!г, Так как й~'2 с . с йЛ"1 с ..., то р(Цй„' ) < К1г; ио при любом г й с ()й~,'1, п поэтому д(й) < Куг. Ввиду произвольности г отсюда следует, .что д(й) = б. Тем самым доказаног что монотонная последовательность (1„(х)) почти всюду на А имеет конечный предел 1(х).

Обозначим через А„множество тех точек х Е А, лллля которых г — 1 < л" (х) < г, г = 1, 2,..., и положим уг(х) = г на А„. Если будет доказана интегрируемость уг(х) на А, то утверждение нашей теоремы сделается непосредственным следствием теоремы 6. Положим В,= () А„. е=г Так как па В, фУнкции уп и Г" огРаничены и всегда Уг(х) < 1(х) + 1, то ) у(х) 41л < 1',((х) дд+д(А) = 11ш )' лгг(х) л11л+р(Л) < К+В(Л). Но / |р(х) лил = ~~ гд(Ае). в. е — — 1 Ограниченность же этих сумм означает сходимость ряда гд(Ле) = 1 у(х) Йр.

Таким образом, интегрируемость уг па А доказана. Условлие монотонного неУбыв анна фУнкций уп(х) можно, очевидно, заменить в доказанной теореме условием их монотонного не возрастания. Рл. 1Д Мера, измеримые фунниии, интеграл С л е Д с т в и е. Если грп(х) > О и ~ (' Уз.( )й п=1 Л то почти всюду на А ряд ~ 6„(х) сходится и / (~ ф„(х)) г!!1 = ~п / 1(зп(х) 41!1. А ппг п=1 Л Теорема 8 (Фату). Если послщ1овательносгь измеримых неотрицательных функций ( („) сходится почти всюду на А к ! и 1.( ( )й А то г" ив гегрируема на А н /' Дх) 41!г < К. Л Доказательство.

Положим уеп(Х) = Ш! !1(Х); Ь>п уг„измерима, так как (х: ~.( ) < ') = (.) Сх: ~ (х) < -) ь)п Далее, О < узп(х) < 1„(х), поэтому уе„иитегрируемы, и / узп(х)41!г < ( (з,(х)11р < К; А А наконец, ~ (х) « " . у -(х) < " ". 11ш узп(х) = !(х) почти всюду. Поэтому, применяя предыдущую теорему к (уз„), получаем требуемый результат. 6.

Интеграл Лебега но множеству бесконечной меры. До сих пор, говоря об интеграле и его свойствах, мы считали, что рассматриваются функции, заданные на том или ином измеримом множестве конечной меры. Однако часто приходится иметь доло с функциями, заданными на множестве, мера которого бесконечна, например, на прямой с лебеговой мерой на ней. Поэтому важно распространить понятие интеграла и на этот случай. Мы ограничимся при 1 б. Ннпмграл Дсбега 325 этом тем практически наиболее существенным случаем, когда рас- сматриваемое множество Х может быть представлено как сумма счетного числа множеств конечной меры: Х = () Х„, р(лп) ( оо. и (24) Определение 4. Измеримая функция у, определенная на множестве Х с и-конечной мерой р, называется сумжируемой на Х, если она суммируема на каждом измеримом подмножестве А с Х конечной меры и если для каждой исчерпывающей последовательности (Х„) предел 11ш (' у (я) др (25) к существует и не зависит от выбора этой последовательности.

Этот предел называется интегрбтом от у' по мнозюеспту Х и обозначается символом / 2(я) дд. к Ясно также, что если функция 1 равна нулю вне некоторого множества конечной меры, то для нее только что сформулированное определение интеграла равносильно тому, которое было дано в и. 3. Замечание. Определение интеграла от простой функции, данное в п.

2, можно дословно перенести на случай бесконечной меры. Ясно при этом, что для суммируемости простой функции необходимо, чтобы каждое отличное от нуля значение она принимала только на множестве конечной меры. Определение суммируемости, данное в и. 3, существенно связано с предположением конечности меры множества Х. Действительно, если д(Х) = со, то нз равномерной сходимости последовательности простых суммируемых функций (у~„) Если пространство Л, в котором задана мера д, представимо как сумма счетного числа множеств конечной меры, то мера р на Х называется и-конечной (см. п. 3 2 3). Примерами и-конечных мер служат меры Лебега на прямой, плоскости, в и-мерном пространстве. Меру, не удовлетворяющую условию а-конечности, можно получить, например, приписав каждой точке на прямой вес 1. Тогда все подмножества прямой можно считать измеримыми, причем конечные множества будут иметь конечную меру, а остальные бесконечную.

Назовем исчерпывающей последовательностью всякую монотонно возрастающую последовательность (Х„) измеримых подмножеств множества Л, удовлетворяющую условию (24). Введем теперь следующее определение. Гл. и. Мера, измеримые функции, интеграл 326 не следует, вообще говоря, сходимость последовательности их интегралов (приведите пример!). Результаты, изложенные в пп. 3 и 4 для случая конечной меры, в основном переносятся на интегралы по множеству бесконечной меры.

Существенное отличие состоит в том, что в случае р(Х) = оо ограниченная измеримая функция на Х не обязана быть суммнруемой. В частности, если р(Х) = оо, то никакая отличная от нуля константа не интегрируема на Х. Читатель без труда проверит, что теоремы .Лебега, Б.,Леви и Фату остаются справедливыми в случае бесконечной меры. Т. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана. Выясним связь можду интегралами Лебега и Римана. При этом мы ограничимся простейшим случаем линейной меры Лебега на прямой. Теорема 9. Еслгг существует интеграл Римана ь 1= <11) ~ 1<х)ах, то 1" интегрируема на ~а, Ь] по Лебегу и / 1]х) г1Ьг = 1. 'га, ь1 Доказательство.

Рассмотрим разбиение отрезка ]а, Ь] на 2" частей точками хь = а+ 4(Ь вЂ” и) 2" и соответствующие этому разбиению суммы Дарбу; Ь вЂ” ах и'и, = ~пель 2 гдо М„ь — верхняя грань 1 на отрезке ху ь <х <хм а т„ь нижняя грань 1 на том же отрезке. По определениго интеграла Римана, 1 = йш йи зз 1цп иг„.

и — еж и-зее Положим ,гг„(х) = 1Ь1иь пРи ху — ь < х < хы 1и(х) = зп„ь при хь ь < х < хы З 5. Интеграл Лебега 327 В точке х = Ь функции 1а н 1а можно доопределить произвольно. Легко вычислить. что / 1н(х) е77ь = П„, 1а,Ь1 Угг(х) 1р = ш' 1а,Ь1 Так как последовательность (7„) не возрастает, а последователь- ность (г„) пе убывает, то почти всюду Уа( ) Ь й ) > У(х) 1.( ) -+ У(х) < У(х) По теореме Б.

Леви / Дх) Йа = !пп Й„= 1 = 1пп ш„= ( 1(х) йр. 1а, Ь1 1а,Ь1 Понтону (а, Ь) (а, Ь) и, следовательно, почти всюду 1(х) — 1(х) = О, т.е. 1'(х) = У(х) = Пх), 1а, Ь1 Теорема доказана. 1 ~(х)« = ', 1 ~(х) (а, Ь) а-~-е Легко указать примеры ограниченных функций на некотором отрезке, интегрируемых по Лебегу, но не интегрируемых по Риману (например, ужо упоминавшаяся функция Дирихле на отрезке [О, Цг равная 1 для рациональных и О для иррациональных х). Неограниченные функции вообще не могут быть интегрируемы по Риману, но многие из них интегрируемы по Лебегу. В частности, любая функция Дх) > О, для которой интеграл Римана ь / 1(х) е)х а г существует при каждом б > О и имеет конечный предел 1 при б — Ь О, интегрируема по Лебегу на [а, 6], причем Гл.

Ъ'. Мера, измеримые г1грнниии, инеаеграл 328 Несобствеяный интеграл в случае, когда ь 1~(*)И = аее не существует в лебеговом смысле., поскольку, согласно свойству ьПП п. Зг из суммируемости функции Дх) следует, что и функция ~ )(х) ~ тоже суммируема. Например, интеграл г — 81п — агх 1 . 1 х' х о существует как (условно сходящийся) несобственный интеграл Римана, но не существует как интеграл Лебега. Если рассматривается функция на всей прямой (или полупрямой), то интеграл Римана для такой функции может существовать липгь в несобственном смысле.

Опять-таки, если такой интеграл схоцится абсолютно, то соответствующий лебегов интеграл существует и имеет то же самое значение. Если же этот интеграл сходится лишь условно, то в лебеговом смысле функция не интегрируема. Например, функция гйпхгьх не интегрируема по Лебегу на всей прямой, поскольку Однако несобственный интеграл как известно, существует, и равен х.

'8 6. Прямые произведения систем множеств и мер. Теорема Фубини В анализе важную роль играют теоремы о сведении двойного (или вообще многократного) интеграла к повторному. В теории кратных интегралов Лебега основным результатом является так называемая теорема Фубини, которая будет доказана в конце этого параграфа. Предварительно мы установим некоторые вспомогательные понятия и факты, имеющие, впрочем, и самостоятельный интерес. 1 6. Ирнмме произведении систем мнооесеств и мер 329 1. Произведение систем множеств. Множество Я упорядоченных пар (х,у), где х Е Х, у Е У, называетгя прямым произведением множеств Х и Е и обозначается Х х У.

Аналогично, множество Я упорядоченных конечных последовательностей (я>,...,ян), где яь е Хю называется прямым произведением множеств Л!,..., .Х„н обозначается Я сс Х! х . х Х„= Я Хю В частном случае, когда Х,= . =Х„=Х, множество 2; есть и-я степень множества Х: Например, координатное и-мерное пространство И" есть и-я степень числовой прямой К. Единичный куб 1", т.

Характеристики

Список файлов книги