1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Пусть !!А = й Для любого е > 0 существует такое открытое множество С, равное сумме счетного числа непересекающихся интервалов (а, 6 ), что А С С и ~ (Ь вЂ” и ) < !+ е гн (см. упражнение в п. 7, 8 4, гл. Ч). Положим 1,„= у[А П (ан„Ь )). Ясно, что ! = ~ ! . По условию леммы, !т < р(Ьт — и„,). Следовательно, ! < р ~" (6„, — а„е) < р(1+ е), и так как е > 0 произвольно, то ! < рй Но 0 < р < 1 и поэтому ! = О. Лемма доказана, и чем самым завершено доказагельство теоремы 1 в предположении непрерывности функции !.
Те же рассуждения переносятся и на случай разрывной монотонной функции, если воспользоваться обобщением леммы Ф. Рисса на функции с разрывами первого рода. Пусть д функция на отрезке [а,6[, имеющая разрывы только первого рода. Назовем точку то Е [и, Ь[ невидимой справа для д(т), если сУществУет такое 4 > то, что шах [д(яо — 0),у(то),у(во + 0)] < дф. 1 1.
Монотонные функции 349 Тогда, как и в случае непрерывной д, множество точек, невидимых справа для д, оптрыто, и в концах составляющих его интервалов (аь, Ьь) выполняются неравенства д(ат) < д(Ьл(). Хотя доказательство теоремы 1 довольно длинно, сама она имеот простой наглядный смысл. Поясним, например, почему Ан„(и Л,„) обязано быть конечным почти всюду. Отношение (х г',(1хх это «коэффициент растяжения» отрезка [а, Ь] в данной точке х при отображении 1".
Так как при этом отображении конечный отрезок [а, Ь] превращается в конечный отрезок [((а), ((Ь)], то «растяжение» не может быть бесконечным на множестве положительной меры. Иногда бывает полезна следующая теорема о почленном дифференцировании ряда из монотонных функций, называемая иногда «малой теоремой (рубини». Теорема 2. Всюду сходящийся ряд (10) н=( где Е„-" монотонно неубывающие функции на [а(Ь], почти всюду допускает по членное дифференцирование: Доказательство.
Заменив Е„(х) на Е (х) — Е„(а)( можно считать, что все Г„(х) неотрицательны и обращаются в нуль при х = а. В силу теоремы 1 существует множество полной меры Е С [а, Ь]. на котором существуют все Г„'(х) и Г'(х). Пусть х Е Е, а С Е [а, Ь] произвольно. Имеем Х"=,(ек.((( — е ( (( б '(9 — е(*~ с — х б — х Так как с — х и х'„(С) — Р'„(х) имеют одинаковый знак (монотонность!), то при любом 1к Е =((р-(6 — р.(х)) < р(6 — р(х) е — х Переходя к пределу при с — 1 х, получаем Г„'(х) < Е'(х).
и=( 350 1л. Н!. т!еапределепамя пппгеграл Лебега Поскольку все х,(п) > О., отсюда следует, что ~ ~„'(х) < Ь'(х). (11) п=! Итак, ряд из производных Ь'„'(х) сходится всюду на Е. Покажем, что при почти всех х в (11) имеет место знак равенства.
Дпя каждого Й найдется такая частичная суп!ма Яп„(х) ряда (10), что О < Е(Ь) — Я„„(Ь) < 1/2". Так как функция Г(х) — Яп, (х) = 2 Е (х) . неубывающая, пг)п,а то и при любом х О < Г(х) — Яп„(х) < 1г!2ь, откуда следует, что ряд ~] (.) - ~..(.)] (12) ь=.! состоящий из неубывающих функций, .сходится (даже равномерно) на всем отрезке ~а., Ь]. Тогда, по уже доказанному, ряд ~]' (х) — К,(х)], (13) геп! полученный нз (12) почленным дифференцированием, сходится по- чти всюду. Следовательно, общий член ряда (13) почти всюду стре- мится к нулю,.
т.е. Я„'а(х) — Е'(х) -+ О почти всюду.. Но если бы в неравенстве (11) стоял знак <, то никакая последовательность частичных сумм не могла бы сходиться к Е'(х). Следовательно, Г„(х) = Г (х) и=! почти всюду. Теорема доказана. С л еде т в ив. Функция скачков имеет почти всюду производную, равную нулю.
Действительно, такая функция есть сумма сходящегося ряда не- убывающих «ступеней»: О при х<хп, К()= и Ь„при х > хп, каждая из которых имеет почти всюду равную нулю производную. 3. Производная интеграла по верхнему пределу. Поскольку интеграл 1 (!) !! а от любой суммируемой функции можно представить в виде разности двух монотонных функций, из теоремы 1 сразу вытекает следующий результат. 1 2. Функции с аграничениим изменением зв1 Теорема 3. Дхзя каждой суммируемой функции сс производная ~ ( Р(1) е11 (14) существует при почти всех х Необходимо подчеркнуть, что хотя мы и установили сущесзвование производной (14) почти всюду, вопрос о равенстве 4х 1 а пока не обсуждался.
В действительности (см. 2 3) это равенство оказывается верным почти всюду для любой суммируемой функции у. 2. Функции с ограниченным изменением Вопрос о дифференцируемости интеграла Небога по верхнему пределу привел нас к рассмотрению класса функций, представимых в виде разностей монотонных функций. В этом параграфе мы дадим для этих фу.нкций другое описание, не опирающееся на понятие монотонности, и рассмотрим основные их свойства. Начнем с необходимых определений.
Определение 1. Функция 2, заданная на отрезке [а,б], называется функцией с ограниченным изменением, если существует такая постоянная С, что, каково бы ни было разбиение отрезка [а,б] точками а=хо <х1« . х„=б, выполнено неравенство а Е [~(х ) — ~(хь И < С ь=! Всякая монотонная функция имеет ограниченное изменение, так как для нее сумма, стоящая в (1) слева, не зависит от выбора разбиения и всегда равна [Д(б) — 1(а) [. Определение 2.
Пусть 1 функция с ограниченным изменением. Точная верхняя грань сумм (1) по всевозможным конечным разбиениям отрезка [а, б] называется полным изменением (или полной вариацией) функции 1 на отрезке [а,б] и обозначается 1" [Д. Таким образом,. Рл. ин Вееаределенныа интеграл Лебеге зз2 Замечание. Функция З, заданная на всей прямой, называется функцией с ограниченным изменением, если величины 1~~[1] ограничены в совокупности. При этом !йт 1,ьй[)'] называется полным изменением функции З' на прямой — оо < х < оо и обозначается Ъ' [у]. Установим основные свойства полного изменения функции.
1. Если о . постоянное число, гпо 1".И] =]о]Р й Это сразу следует из определения 1~~[(]. 2. Если у и д функции с ограниченным изменением, то у + д тоже имеет ограниченное изменение и 1'.йУ ч- д] < 1".Х+ ~".[д] (2) Действительно, для каждого разбиения отрезка [а, Ь] имеем ~ У(хй) + д(хй) — йхй- ) — д(хй- )] < < ~ [1(хй) — )(хй !)[+ ~ [д(хй) — д(хй !)[, й й откуда, поскольку всегда зпр(А + В) < зпр А + зпр В, получаем требуемое неравенство. Свойства 1 и 2 означают, что линейная комбинация функций с ограниченным изменением (определенных на данном отрезке [а, Ь]) есть снова функция с ограниченным изменением. Иными словами, функции с ограниченным изменением образуют линейное простран- ство (в отличие от множества монотонных функций, которые ли- нейного пространства не образуют). 3.
Еслиа<Ь<с, пьо ч т+ чь'[й = Ь7Х. (3) Действительно, рассмотрим сначала такое разбиение отрезка [а,с], в котором Ь служит одной из точек деления, скажем,х„ = Ь. Тогда о Е [Х(хй) — У(! й-!)] = Е [У(хй) — У(хй- )]+ й=! й=! + 2~' ],~(хй) г(хй — !)] < 1 [Л + 1д [Л (4) й=ь е! З "2. Функции с ограниченным изменением 353 Возьмем теперь произвольное разбиение отрезка [а,с]. Ясно, что если к его точкам деления добавить еще одну, именно точку 5, то сумма и ]У(: ь) — У( ь- )! от такого добавления не уменьшится.
Следовательно, неравенство (4) выполнено для лкзбого разбиения отрезка [а, с], поэтому Ге[л < Ьйй+ Ъжй. (4') С другой стороны, для всякого е > О найдутся такие разбиения отрезков [а,й] и [5, с], что Соединив эти два разбиения, мы получим разбиение отрезка [а, с], для которого ~~',]У(хл) — У(хе в )! = ]з (х ) — з (х )! + ~ ]з (х ) — з (х 1)! > р [з] + 15 [з] — е. В силу произвольности е > О отсюда следует, что у'е[Г] > 1 [д+ 1~и[д (5) Из (4') и (5) следует (3).
Так как по;шое изменение любой функции на любом отрезке нсотрицательно, то из свойства 3 сразу следует свойство 4. 4. Функция о(х) = г [Г] .монотонно неубывающая. 5. Если 2' непрерывна в точке х* слева, то и о непрерывна в этой точке слева. Действительно, пусть е > О задано. Выберем б > О так, что ! г(х*) — г(х)! < е/2, как только х* — б < х < х*. Далее, выберем разбиение а = хв < хз « . х„ = х' так, что (6) рл. ЬВ неопределенный интеграл Лебггл Прн этом мы можем считать, что х' — х„1 < о (иначе мы добавили бы еше одну точку разбиения, отчего разность, стоящая в (6) слева, могла бы только уменьшиться), поэтому ]у(х*) — ((хо г)] < е/2 и, следовательно, и — г Иг [7] ~~~ [Т(хь) — б(хь 1)] < е Но тогда, тем более, 'г; [Д 1, [7] < , .т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
