1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Следовательно, при интегрировании производной от функции с ограниченным изменением восстанавливается не сама эта функция, а только ее абсолютно непрерывная компонента. Две другие компоненты (функция скачков и сингулярная) при этом «бесследлло исчезают». Поучительно сравнить результаты этого параграфа с тем, что дает теория обобщенных функций. Как и в гл. П7, будем понимать под обобщенной функцией линейный непрерывный функционал над пространством К финитных бесконечно дифференцируеьлых функций.
При этом обычной локально суммнрусмой функции 7 сопоставляется функционал, действующий на элементы у Е К по форос муле (7' уо) = / У(х)р(х) дх. Обобщенной производной от этого функционала служит функционал, ставящий в соответствие элементу ул Е К число (7",уо) = — / .7(х) р'(х) дх. Так как в классе обобщенных функций уравнение у' = 0 имеет только обычные решения (константы), то всякая обобщенная функция с точностью до константы восстанавливается по своей производной.
В частности, всякая локально суммнруемая функция 7 с точностью до константы почти всюду восстанавливается по своей обобщенной производной ~'. Предположим теперь, что функция 1 почти всюду. имеет производную, например, 7 -- монотонная функция. Обозначим через (л = е(1,7дх обычную производную функции 7. (Мы уже видели, что ду',7дх может равняться 0 почти всюду, хотя 7(х) ф сопел!) Функция д7,7ах является локально суммируемой (мы предполагаем, что 1 монотонна) и, следовательно, злы можем сопоставить этой функции функционал (обобщенную функцию) (77, ул) = / д„уо(х) дх. Существенный факт состоит в том, что об- 41 общеннвл функция ул, вообще говоря, не совпадает с обобщенной функцией,7~.
Например, если л 1 при х)0, й:) = 0 прлл х(0, тО Л'Л = О, а (и = Б (СМ. ПрИМЕр 1 В И. 3 З 4 ГЛ. П7). Теорема 3, собственно говоря, и означает, что среди всех функций с ограниченным изменением для абсолютно непрерывных функций Рл. Рб Неопределенный интеграл Лебега 368 (и только для них!) производная, понимаемая в обычном смысле, совпадает с обобщенной производной той же функции. Здесь мы снова сталкиваемся с тем положением, о котором уже говорилось в з 4 гл. 11': для выполнимости основных операций анализа (в данном случае речь идет о восстановлении функции по ее производной) нужно или, оставаясь в рамках классических определений, ограничиться достаточно узким запасом функций (абсолютно непрерывными), или же, наоборот, существенно расширить понятие функции (расшнрив при этом и определение производной).
Упражнения. 1. Показать, что определение абсолютной непрерывности, сформулированное вьппе, равносильно следующему: Г' абсолютно непрерывна на (а, Ь], если она каждое подмножество меры нуль этого етрЕзка пЕревОдит снова в мнежество меры нуль. 2. Найти обобщенную производную «каптеровой лестницы». 3. Пусть 1 — функция с ограниченным изменением, Т' — ее обобщенная производная и 11 — — функционал (ебебщенная функция), определяемый «обычной» производной е(1/4х функции г".
Доказать, что а) если 1 абсолютно непрерывна, то 1' = 1м б) если з"' = л, те з" (х) эквивалентна абсолютно непрерывной функции, т.е. совпадает с такой функцией почти всюду. В частности, если 1' = гг и г" непрерывна, то и г" абсолютно непрерывна. з 5. Интеграл Лебега как функция множества. Теорема Радона — Никодима 1. Заряды. Разложение Хана и разложение Жордана.
Понятия и факты, изложенные в прецыдущих параграфах для функций на прямой, распространяются в значительной степени и на функции, заданные на произвольном црострапстве с мерой. Пусть Х некоторое пространство с (конечной) мерой р и 1 суммируемая по д функция на Х.
При этом у' будет суммируема на каждом измеримом подмножестве А множества Х и, следовательно, интеграл Ф(А) = / 1(х)г1д А (с фиксированной 1) представляет собой функцию множества, определенную и и-аддитивную на и-алгебре бр всех измеримых множеств пространства Х. Таким образом, для любого разложения А =ЦАь 1 б. ггнкгеграа Пебега как фяккцак многа:емаеа измеримого множества А в конечную или счетную сумму попарно непересекающихся измеримых множеств выполнено равенство Иггачс говоря, функция Ф, определенная равенством 11), обладает всеми свойствами и-адцитивной меры, за исключением, быть может, неотрицательности.
(При неотрицательной З" неотрнцательна и Ф.) О п р е д е л е н и е 1. Произвольная 1конечная) о-аддитивная функция множества Ф, определенная на некоторой о-алгебре подмножеств данного пространства Х, называется знакопеременной мерой, или, короче, зарядом. Понятие заряда служит естественныгв обобщением понятия о-аддитивной меры и, как мы увидим ниже, сводится в определенном смысле к этому понятию. Упражнение. Доказать, что для любого (конечного) заряда Ф, заданного на о-алгебре множеств б, существует такая константа с, что ~Ф1А)~ ( с прн всех А б б. Если рассматривается реальный электрический заряд, расположенный, скажем, на некоторой поверхности, то эту поверхность можно разделить на две области: несущую положительный заряд 1т.
е. такую, что любая ее часть заряжена положительпо) н несущую отрицательный заряд. Математическим эквивалентом этого факта слу.жит приводимая ниже теорема 1. Введем предварительно следующую терминологию. Пусть Ф заряд, определенный на и-алгебре 15 подмножеств пространства Х. Множество Е е б называется опгрицатпельным опюсительно Ф, если Ф1Е П Е) ( О для любого Е б б; аналогично Е называется положительным, если Ф1Е ГУ Е) > О для всех Е б Ь. Теорема 1. Если Ф заряд, определенный на Х, то сушествует такое измеримое множество А С Х, что Л отрицательно и А г = Х ~ А положительно г1относительно Ф).
Доказательство. Положим а = 1пГФ(А), где нижняя грань берется по всем отрицательным множествам А. Пусть 1Аа) - - такая последовательность отрицательных множеств, что 11пг Ф1Л„) = а. и — гю 7л. Рб Неопределенный интеграл Лебега 370 Тогда А = Ц А„ представляет собой, как легко видеть, такое отрицательное множество, что Ф(А )=а. Покажем, что А и есть искомое множество, т. е.
покажем, что Аэ =Х'1А положительно. Пусть это не так, т. с. пусть А" содержит такое измеримое подмножество Св, что Ф(С0) < О. При этом множество Се не может быть отрицательным, так как иначе мы присоединили бы его к А и получили бы отрицательное множество А, для которого Ф(А) < а, что невозможно. Поэтому существует такое наименьшее целое число йы для которого в Се найдется подмножество Сы удовлетворяющее 'словию Ф(Сг) > 17'йп Разумеется, Сг ф Се. Для множества Се '1 Сг можно повторить рассуждение, проведенное для Се, мы получим множество Сг, удовлетворяющее условию Ф(Сг) > 1г7йг, йг > йы и т.д.
Наконец, положим Множество Ге не пусто, так как Ф(С0) < О, а Ф(С,) > О при г > 1. Из построения следует, что Ее отрицательно. Поэтому, присоединив его к А, мы снова приходим к противоречию с опрецелением о. Следовательно., для всех измеримых Е С Х 1 А имеем Ф(Е) > О, т. е. Х 1 А' положительно. Теорема доказана. Разбиение пространства Х на отрицательную часть А н положительную Аэ называется разложением Хана.
Разложение Хана, вообще говоря, не единственно, однако если Х=А, ггА~ и Х = Аг 17 А~~ — два таких разложения, то для всякого Е Е 8 Ф(ЕПА ) =Ф(ЕбгА~) и Ф(ЕбгАо) =Ф(ЕПАгь). (2) 'Е б. Инкгеграл Пебега кгк фиккцал мкогкеегкеа зт1 Действительно, Е бУ (А ~ А, ) с Е гу А,, откуда следует, что Ф(Е й (А, У, Аз')) < О. В то же время (й) ЕП (А, 'у А. ) с ЕПАз, откуда Ф(ЕС (А( 'у Аа )) > О. Таким образом, Ф(ЕС (А, уАв )) = О. Аналогично получаем Ф(Е ГУ (Аз У, А )) ( О.
Отсюда следует, что Ф(ЕС А, ) = Ф(ЕС А. ). Точно так же доказывается и второе из равенств (2). Таким образом, на б заряд Ф однозначно определяет две неотрицательные функции множества, а именно: Ф+(Е) = Ф(Е бу Ат), Ф (Е) = — Ф(ЕОА ), называемые соответственно верхней вариацией и нижней вариацией заряда Ф. При этом, очевидно, Ц Ф=Ф+ — Ф 2) Фэ и Ф представляют собой неотрицательные в-аддитнвные функции множества, т.
е. меры. Мерой будет, очевидно, и функция ~Ф~ = Ф+ + Ф; она называется полной вариацией заряда Ф, а представление Ф в виде разности верхней и нижней вариаций называется разложением УЕордана этого заряда Ф. Замечание. Мы рассматривали сейчас конечные заряды, т.е. такие функции Ф, значения которых ограничены как сверху, так и снизу (см. упражнение в начале этого пункта). При этом Ф+ и Ф конечные меры. Сказанное выше можно обобщить на заряды, ограниченные лишь с одной стороны, т.
е. такие, для которых хотя бы одна из величин зпр Ф(А) и шг'Ф(А) конечна. 2. Основные типы зарядов. Пусть р -- некоторая о-аддитивная мера, определенная в пространстве Х на некоторой о-алгебре Я. Множества, входящие в б, мы будем называть измеримыми. Введем следукнцие понятия. Мы скажем,что заряд Ф, определенный на множествах Е Е Я, сосредоточен на измери иом лгножестве Ао, если Ф(Е) = О для каждого Е с Х у Ао. Множество Ав называется при этом носигггелем заряда Ф. Заряд Ф называется непрерывнъгм, если Ф(Е) = О для любого одноточечного множества Е. Заряд Ф называется дискретным, если 372 7л. Га 7!еааргдглгннми анпггграл дтгбгга он сосредоточен на некотором конечном или счетном множестве. Иными словами, дискретность заряда означает существование такого конечного или счетного множества точек сг,..., са,..., что для каждого Е с Х Ф(Е) = ~~~ Ф(сь).
'ген Заряд Ф называется абсолютно непрерывным (отцосительно данной меры р), если Ф(А) = 0 для всякого измеримого А, для которого !л(А) = б. Заряд Ф называется сингулярным (относительно меры р), если оц сосредоточен на некотором множестве нулевой р-меры. Ясно, что если заряд одновременно абсолютно непрерывен и сингулярен относительно р, то он нулевой. 3. Абсолютно непрерывные заряды. Теорема Радона — Никодима.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
