1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 73

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 73)

Разложение мояотонной функции на три составляющие определяется с точностью до постоянных слагаемых. Поэтому разложение каждой меры Лебега — Стилтьеса па дискретную, абсолютно непрерывную и сингулярную компоненты о д н о з н а ч н о. Сказанное выше относится к мерам Лебога — Стилтьеса на отрезке. Если теперь à — .

ограниченная (сверху и снизу) монотонно неубывающая функция на всей прямой, то, определив меру любого отрезка, интервала и полуинтервала на прямой с помощью формул, аналогичных (1), мы получим конечную меру на всей прямой, которую мы тоже будем называть мерой Лебега — Стилтьесш В частности, мера всой прямой при этом будет равна ! л. р П г!ейнределеннмй интеграл Лебега Рассмотрим некоторые частные случщг. 1. Если Е . — функция скачков (т. е. если р р †. дискретная мера), то интеграл / !' (х) е!Р (х) сводится, очевидно, к сумме 2, 7(х,) !!о где й х, точки разрыва функции Р, а 6, скачки Г в точках хг, 2. Если Г абсолютно непрерывная функция, то интеграл ь Ь Лебега Стилтьеса / !"(х)е1Е(х) равняется / !"(х)гй(х)е!х, т.е.

ива й тегралу от 7"(х)гн(х), взятому по обычной лебеговой мере. Действительно, если 7(х) = сонат на некотором измеримом множестве А С [а.77] и Дх) = О вне А,то равенство ) )(х) Йг'(х) = ~ )(х)г'(х) е!х й й (4) следует из (3). В силу и-аддитивности интегралов равенство (4) распространяется и на простые функции, суммируемые по мере рр. Пусть теперь (7н) -- последовательность простых функций, равномерно сходящаяся к !.

Можно при этом считать, что последовательность (у„) неубывающая. Тогда (7"„(х)Г'(х)) неубывающая последовательность, почти всюду сходящаяся к 7(х) рй(х), и в силу теоремы Б. Леви, в равенстве / 1„(х) г7Г(х) = / 7н(х)г' (х) е!х й й где и полное изменение функции Ф на отрезке [п,х[.

Введем теперь интеграл Лебега Стилтьеса по Ф, положив, по определению, ~ йх) !Ф(х) = ~ 1(х) !п(х) — ~ Ьх)!д(х) можно перейти к пределу при и -> оо. Из сказанного ясно., что если Г есть сумма функции скачков и абсолютно непрерывной функции, то интеграл Лебега — Стилтьеса по мере рр сводится к ряду (или конечной сумме) и интегралу по обычной мере Лебега. Если жс Е содержит и сингулярную компоненту, то такое сведение невозможно. Понятие интеграла Лебега .Стилтьеса можно естественным образом расширить, перейдя от монотонных функций к произвольным функциям с ограниченным изменением.

Пусть Ф -- такая функция. Представим ее в виде разности двух монотонных функций 'Е а Интеграл Стилогьееа 379 Нетрудно проверить, что если Ф представлена каким-либо иным способом как разность двух монотонных функций, скажем, Ф=ш — 6, то а а а а т, е, для вычисления интеграла Лебега. Стилтьеса по данной функции Ф можно пользоваться любым представлением этой функции в виде разности двух монотонных. 3. Некоторые применения интеграла Лебега — Стилтьеса в теории вероятностей. Интеграл Лебега-Стилтьеса находит применение как в анализе, так и во многих прикладных вопросах. В частности, это понятие широко используется в теории вероятностей. Напомним, что функцией распределен я случайной величины б называется функция Е, определяемая д,пя каждого я равенством г'(т) = Р(~ < я), т, е, Е(я) есть вероятность того, что случайная величина С примет значение, меньшее я.

Очевидно, каждая функция распределения монотонно не убывает, непрерывна слева и удовлетворяет условиям Г( — оо) = О, Г(+ос) = В Обратно, каждую такую функцию можно считать функцией распределения некоторой случайной величины. Существенными характеристиками случайной величины являются ее математическое ожидание (5) и дисперсия (б) Среди случайных величин выделяют обычно так называемые дискретные и непрерывныс случайные величины. Случайная величина называется дискретной, если она может принимать лишь некоторое конечное или счетное число значений (например, число вызовов на телефонной станции за некоторый про- межуток времени есть дискретная случайная величина).

!л. Рб т!еанределеннмй интеграл дтебега 380 Если рт,..., ра, .., - вероятностя, с которыми величина С принимает значения хт,... т хн,..., то функцией распределения ~ служит, очевидно, функция скачков. Для нее интегралы (5) и (6) сводятся соответственно к суммам Мс = ~ херт, т, 0( = ~ ~(х, — о)зр„ а = Мс. Случайная величина ~ называется непрерывной, если ее функция распределения г' абсолютно непрерывна.

Производная Г' этой функции распределения называется плотностью распределения вероящностпей случайной величины (. В соответствии со сказанным в предыдущем пункте, .для непрерывной случайной величины стилтьесовские интегралы, выражающие ее математическое ожидание и дисперсию, сводятся к интегралам по обычной лебеговой мере: МС = 1 хр(х)т!х, О( = ! (х — а)~р(х) дх, — х х дФ(х), где Ф .— функция распределения для т!. Существенно, однако, если ат сум- мируема по мере, порождаелтой на прямой функцией и, то математиче- ское ожидание величины т! можно записать и через фуикдию распределе- ния и величины 8, а иътеино: Мт! = Мр(б) = / Зт(х) дртх). где р = Рн — плотность распределения вероятностей для с и а = М(.

В элементарных ку.рсах теории вероятностей ограничиваются обычно рассмотрением дискретных и непрерывных случайных величин, которые в основном только и встречаются в прикладных вопросах. Однако, вообще говоря, функция распределения случайной величины люжет содержать и сингулярную компоненту, так что не всякую случайную величину можно представить как комбинацию дискретной и непрерывной.

Пусть б — случайная величина, и — ее функция распределения и т! = Щ) другая случайная велвчииа, представляющая собой боролевскую функцию от 8. Математическое ожидание Мт! величины и можно, по определению, записать как 'з 6. Интеграл Стилнсьеса 381 Действительно, функция у = ьг(х) определяет отображение прямой ( — сю < т < оо) с заданной на ной мерой рг (порожденной Г) в прямую ( — со < у < ью) с мерой ре, в которую рг переводится отображением у = са(х). Но из результатов ьл.

Р следует, что если (Х, р) и (1; ы) два прострлнства с мерой., р сохранякнцее мору (т. е. такое, что р(А) = р(р '(А))) отображение, переводящее (Х,д) в (г', р), а 7'— суммируемая функция па (1; и), то / Ь(у) сй = / ((фх)) сьр (замена перел!сивых в интеграле Дебета). Положив здесь Г" (у) = у и р = рг, и = р, мы и получим требуемое равенство. Таким образом, для вычисления математического ожидания (а также, конечно, и дисперсии) функции от величины 8 достаточно знать лиьиь функцию распредюьения самой величины с. 4. Интеграл Римана — Стилтьеса. Наряду с интегралом Небога-Стилтьеса, рассмотренным выше и представляюьцим собой фактически разность лебеговых интегралов от данной функции 7' по двум мерам, заданным на прямой, можно определить еще и так называемый интеграл Рильана--Стилтьеса.

Он вводится как предел интегральных сумм, аналогичных обычныьь интегральным суммам Римана. Пусть снова Ф вЂ . некоторая непрерывная слева функция с ограниченным изменением, заданная на полуннтервале [а, Ь) и 7 произвольная функция на этом же полуинтервапе. Рассмотрим некоторое разбиение' а = хо < хь « . х„ = Ь полуинтервала [а,Ь) па элементы [хь ь,хь) н, выбрав в каждом из них произвольную точку ~ь, составим сумму а ~~', ~(6)[Ф(х,) — Ф(х, 1)) (7) 1=1 (под Ф(х„) прн этом понимается Ф(Ь вЂ” О)).

Если прн !пах(х, — х, 1) -+ — ь П чти суммы гтремяатя к некоторому пределу (не зявигящеьсу. ни от способа дробления промежутка [а, Ь), ни от выбора точек сс в каждом нз элемеьпон разбиения), то этот предел называется интегралом Римана — Стилтьеса от функции 7' по функции Ф по [а, Ь) и обозначается символом (8) / 7" (х) с)Ф(х).

ь) 1!оскольку в интеграле Стилтьеса вклад отдельных точек может быть отличен ог нуля, элементы разбиения ке должны иметь обьких точек. Поэтому мы везде берем здесь полуннтервааы. рл. ПК Ь!еанредеаеннмй интеграл ггебега 382 Теорема 1. Если функция 2' непрерывна на отрезке [а, Ь), то ее интеграл Римана — Стилтьеса (8) существует и совпадает с соответствующим интегралом Лебега — Стилтьсса. Доказательство.

Сумму (7) можно рассматривать как интеграл Лебега — Стилтьеса от ступенчатой функции 7н(к) = 7(() при т, ь < т < т,. ь ~ Х(т) е(ф( ) ( < ' [У( Ж.'[ф) и (9) ($аь[ф) полное изменение фрикции Ф на [п,Ь)). Действительно, при любом разбиении промежутка [о, Ь) выполнено неравенство н и адыги (*г)-ф(.ь ))/.Е[яь)[ [ (*,)-Ф(., )[< ь=.ь < щах[2(т)[. ~ [Ф(тг) — Ф(ть ь)[ < них [7(т)[1', [Ф). г=1 Переходя в этом неравенстве к пределу, мы и получим оценку (9).

Характеристики

Список файлов книги