1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Тогда из (23) и (24) окончательно получаем представление (21). Теорема 5. Всякий линейный функционал в пространстве С [а, 6] гюжно представить одним и только одним способокг в виде ГЛАВА УП ПРОСТРАНСТВА СУММИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ Один из важнейших классов нормированных пространств составляют пространства суммируемгях функций, в первую очередь пространство всех суммируемых функций Ь1 и пространство Ьз функций с суммируемым квадратом.
Сейчас мы рассмотрим основнью свойства этих пространств. Содержание этой шгавы опирается, с одной стороны, на обшие свойства метрических и линейных нормированных пространств, изложенные в гл. П -1У, а с другой, - на введенное в гл. У понятие интеграла Лебега. З 1. Пространство Бт 1. Определение и основные свойства пространства Ьы Пусть Х --- некоторое пространство с мерой гг; при этом мера самого Х может быть конечной или бесконечной.
Будем считать меру д полной (т.е. любое подмножество любого множества меры нуль измеримо). Рассмотрим совокупность всех фу.нкций 1, суммируемых на Х. Поскольку линейная комбинация суммируемых функций суммируема, эта совокупность, с обычными операциями сложения функпий и умножения их на числа, образует линейное пространство. Это пространство мы обозначим Аг(Х, гг) или, короче, просто 1,ы Введем в 1г норму, положив ) Ясно, что при этом !1оЛ = М 1~П, ~!Л + Уг!~ ~ 1~Л1~+ ~~Ь1~. Однако для того чтобы выполнялось и последнее свойство нормы,. а именно, )(Д)0, если ~~0, ') Здесь и далее символ / будет означать интегрирование по всему пространству Х. 1л.
И1. Пресюранстеа суммируеммх функций 394 нужно считать, что функции, эквивалентные друг другу на Х, не различаются, а считаются за один и тот же элемент пространства Тч. В частности, нулевой элемент в Т | —. это совокупность всех функций, равных нулю почти всюду. При этом выражение (1) будет обладап всеми свойствами нормы. Итак, мы приходим к следующему определению. Определение 1. Простпранспгвом Т,з называется нормированное пространство, элементами которого служат классы эквивалентных между собой суммируемых функций; сложение элементов в Т | и умножение их на числа определяются как обычное сложение и умножение функций г), а норма задается формулой В Т ы как и во всяком нормированном пространстве, с помощью фор- аУ у) = !!У вЂ” у1~ вводится расстояние.
Сходимость последовательности суммируемых функций в смысле этого расстояния называют стодимостью в среднем. Пространство Т т можно считать состоящим из комплексных функций (комплексное Тч) или из одних только действительных (действительное Т,, ) . Содержание данного параграфа относится к обоим этике случаям. Весьма важен для многих вопросов анализа следующий факт. Творе.ма 1. Пространство Аг полно. Доказательство. Пусть 11„) фундаментальная последовательность в Т ы т. е.
((~„— ~,„(! -4 0 при и, т -Э со. Тогда можно найти такую возрастающую последовательность ин- дексов 1па), что Упь — Увьэ,М~ = / ~У ь(т) — ~„,„(х)~д44 (1!2". Из этого неравенства и теоремы Ь. Леви вытекает, что ряд !Х,1+ ~У, — У,!+ ". ') Точнее: каждый элемент в йз — это класс эквивалентных между собой суммируемых фуикний; чтобы сложить два таких класса, надо взять в них по представителю и объявить суммой класс, содержащий сумму выбранных представителей, Ясно, что результат не зависит от произвола в выборе представителей.диалогично и для умножения элемента из бз на число.
1 К !гроптрапгшво Ь1 сходится почти всюду на Х. Но тогда и ряд Уп, + Упп — Уп,) + " сходится почти всюду на Л" к некоторой функции !(х) = 1пп !,а(х). Таким образом, фундаментальная последовательность в А1 содержит подпоследовательностгч сходящуюся почти всюду. Покажем теперь, что подпослсдовательность 1 !„и ) сходится к той же функции ! и в среднем. В силу фундаментальности последовательности ~ !и) при любом фиксированном в > О для всех достаточно больших й и! имеем / ~ !„,,(х) — !,п(х)( дд < в. Согласно теореме Фату в этом неравенстве можно перейти к пределу под знаком интеграла при ! -э со. Получаем откуда следует, что ~ Е Е1 и что !,а -+ !.
Но из того, что фундаментальная последовательность содержит подпоследовательносттп сходящуюся к некоторому пределу, следует, что и сама она сходится к тому же пределу. Теорема доказана. 2. Всюду плотные множества в Еы Для всякой функции !, суммируемой на Л, и любого в > О существует такая простая суммируемая функция ~р(х), что ~ ~У(х) — у (х) ~ !р < .
Далее, поскольку для простой суммируемой функции, принимающей значения уы уш... на множествах Еы Ез,..., интеграл определяется как сумма ряда ~у д(Е ) п=1 (при условии его абсолютной сходимости), ясно, что всякую простуюю суммиру емую функцию можно представить как предел (в среднем) последовательности простых функций, принимающих лишь конечное число значений. Итак, в пространстве Ь1 всюду плотны Рл. УН.
Хрроетренетаее еуммеруемых функций 396 функции, каждая из которых принимает лишь конечное число значений (т. е. представляет собой конечную линейную комбинацию индикаторов). Пусть Л --. метрическое пространство с введенной в нем мерой, удовлетворяющей такому условию (выполненному для меры Дебета в евклидовом пространстве и во многих других практически интересных случаях); все вткрьзтые и все замкнутые мивжестпва в Л измерилпе, и для любого измеримого мнвзкестпва М С Л и любпго 6 > О найдется') такое взпкрытве С З ЛХ., чгпо (2) д(С(йХ) <г, Тогда верна следующая теорема. Теорема 2.
Множество всех непрерывных функпий всюду плотно в Хз(Л, р) Доказательство. В силу сказанного вылив достаточно доказать, что всякая простая функция, .принимающая конечное число значений, является пределом, в смысле сходимости в среднем, последовательности непрерывных функций. Далее, так как всякая суммируемая простая функция, .принимающая конечное число значений, есть линейная комбинация индикаторов угг(х) измеримых множеств конечной меры, то достаточно провести доказательство для этих последних. Пусть М -- измеримое множество в метрическом пространстве Л и 7з(зеХ) < ею.
Тогда из условия (2) сразу следует, что для любого г > О найдутся замкнутое множество Кгг и открытое множество См такие, что Гм С ЛХ С См и Р(Си) — Р(Гм) < г Определим теперь функцию уз,(х), положив-) р(х, Л '1 См) Р(х Л 1См) ч Р(з: гм) Эта функция равна О при х Е Л з, См и равна 1 при х е Егг. Она непрерывна, так как каждая из функций р(х, Ем) и р(х, Л 1 См) непрерывна и их сумма нигде не обращается в О. Функция ~угг — уо,-~ не превосходит 1 на См з, Ем и равна О вне этого множества. Следовательно, откуда и вытекает утверждение теоремы.
') Ср. упражнение е и. 7, 1 4, ел. У. г) р(х, А) означает от точки х до множастаа .4. 1 1. !1раатранатава !ь Ззт Ясно, что пространство Х 1 (Х, р) зависит и от выбора пространства Х, и от выбора меры р в нем. Например, если мера р сосредоточена в конечном числе то.ьек, то Ьь(Х,!1) будет просто конечномерным пространством. В анализе основную роль играют пространства Ьь бесконечной размерности, по содержащие счетное всюду плотное подмножество. Для того чтобы охарактеризовать такие пространства Еь, введем еще одно понятие, относящееся, собственно, к общей теории меры. Определенно 2.
Мера р называется мерой со счетным базисом, если существует такая счетная система А = 1А„) (и = 1, 2,... ) измеримых подмножеств пространства Х (счетный базис меры р), что для всякого измеримого 1ь1 С Х и всякого е > 0 найдется такое Аь Е А, что ьт(Ы й Аь) с е. В частности, мера р имеет счетный базис, если ее можно представить как лебегово продолжение меры т, определенной на некотором счетном полукольце б. В самом деле, в этом случае кольцо рь1(б) (очевидно, счетное) и представляет собой искомый базис.
Отсюда видно, например, что счетный базис имеет мера Лебега на отрезке, поскольку для нее за исходное полукольцо можно принять совокупность полуннтервалов с рациональными концами. Произведение р = рь З рт двух мер со счетными базисами также обладает счетным базисом, ибо конечные суммы произведений элементов из базиса меры ьзь на элементы из базиса меры рт образуют, как легко проверить, базис меры !ь = рь З рт. Поэтому мера Лебега на плоскости (а также н в и-мерном пространстве) имеет счетный базис. П сть 1а (3) есть счетный базис меры р. Легко видеть, что, расширяя систему множеств (3), можно образовать новый счетный базис этой меры А„...,Аа,..., (4) замкнутый по отношению к операциям вычитания и взятия конечных сумм и пересечений, т.
е. являющийся кольцом. Теорема 3. Если мера р имеет счетный' базис, го в Еь(Х,р) существует счетное всюду плотное множество функций. Доказательство. Покажем, что счетное всюв,у плотноо множество в Ьь(Х, р) образуют конечные суммы П (5) сь~ь(т), ь=ь Гл. Иг. Нрветраневгва еуммируемвгх фунниин где сь -. рациональные числа, а уь . - индикаторы элементов счетного базиса меры р. Счетность такого множсстна очевидна; покажем, что оно всюду плотно в Ьг (Л, р). Как мы уже показали, множество ступенчатых функций, принимающих лишь конечное число значений, вскгду плотно в Еы Так как любую такую функцию можно сколь угодно точно аппроксимировать функцией того же вида, но принимающей лишь рациональные значения, достаточно показать, что любую ступенчатую функцию Г, принимающую значения Уы.,,, у„(все д; рациональны) на множествах таких что Ц Ег = Хг Е; й Е; = О при г ~ уг г=г можно сколь угодно точно аппроксимировать в смысле метрики Ег функциями вида (5).
Согласно сделанному замечанию можно без ограничения общности предполагать, что базис меры д является кольцом. По определению счетного базиса меры д, при любом е > О в нем существуют такие множества Аы..., Ан, что р(Еь гт Аь) < е. Положим А'„=Ауг~ )) Аи й=1г...,п, г<ь и определим у*, положив У*(х) = уь при к е Аю н О пРи кбЛгг ОА',.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
