1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Взяв в нем систему функций х"е х, в=0,1,2,..., и применив к ним процесс ортогонализации, мы получим систему ункпий ф А„(к)е *, называемых узункцилми Лагеррга Соответствующие многочлены Еа называются многочленамп Лагерра. Многочлены Лагерра можно рассматривать как ортогональный базис в пространстве функций, квадрат которых интегрируем на полупрямой (О, оо) по мере В п. 3 2 4 гл. 1гП1 мы докажем, что система функций Лагерра полна в Ез(О,со). 8. Ортогональные многочлены с дискретным весом.
Пусть и + 1 различным точкам хе, х1....., ка действительной прямой приписаны в качество «весов» положительные числа рв, ры..., р„, а мера д определена формулой 4 (Е) = ~ ры т. е. 4д(Е) равна сумме весов, содержащихся в Е точек хы Измеримыми по этой «вырожденной» мере являются здесь любые множества и функции на прямой, причем любое множество Е, не содержащее точек хь (й = О, 1,..., и), имеет меру О. Тех4 самым интеграл по всей действительной прямой от функции 1 равен 1 3. Ортвганаиьнне еиепгемм функций в Ьг 421 а скалярное произведение дается формулой И,Ю =Я Р Яхь)1(хг.) 1=О Очевидно, что функции т" и у будут эквивалентны по мере р, если 11 '1) = й(х ) ВО ВСЕХ тОЧКаХ та, Х1, ..., Хп, И ТОЛЬКО В ЭТОМ СЛУЧаЕ.
Для этого вырожденного случая задача наилучшей аппроксимации в смысле расстояния в А2 сводится к определению сумм ,2 ~Р хп 'ЕР ! " ХР Е Р1 Е Рг ха Ярьхь ,,Рьхгь ~ Ргхг" 11ьх"„' ~ Рьхг~ ~ Рг,.х"'1 ,/Рп ;/РпХи тггРо зггр1 /Рвах о ,~Лохе ,~ргх1 " , Р хи 1 1 ... 1 0 1 ''' Хп ФО = РОР1 '''Ри Хи и .и '0 '1 ''' и се'Ро + с11Р1 + . + сги,д обращающих в минимум выражение п т 2 рь(11хь) — ~ ~с11Р1(хь) ~, 1=О г=1 т. е. к задаче «интерполирования по методу наименьших квадратов».
В связи с задачей интерполирования по методу наименьших квадратов многочленамн заданной степени П. Л. Чебышев развил теорию ортогонвльнык многочленов. Чтобы изложить относящиеся сюда результаты Чебышева, заметим, что система 1, х, х,...,хп (13) при нашей мере Р линейно независима, так как скалярное произведение (х', х') выражается формулой (х,х) =~ .*,." 1=О и детерминант Грама системы (13) есть (суммы по 1е от 0 до и) 422 Гм итй пространен!ее еуммируеме1х функций Наоборот, функции х' при г ) п линейно зависят от функций системы (13) ! так как в нашем случае пространство Ез имеет размерность п+ 1. Поэтому процесс ортогонализации приводит к конечной системс многочленов Ро, 1'„ ..., Р,, ортонормальных в том смысле, что п руР„(хь)Р (ху) = д„ у=о и каждая функция 1 разлагается в конечный ряд и сиР„! ! — — о где и с, = Х~ руР,(хь)11хь). ь=-о В точках хь выполняются равенства 1 (хь) = ~ с,Р,.(ху), к = О, 1,..., и, !=О т.е.
полная сумма ряда есть просто интерполяционный многочлен Лагранжа. Неполные суммы т Яи4 = ~ с,Р„, гп < п, ! — — о являются многочленами пмй степени, приближающими 1 в точ- ках хь наилучшим способом в том смысле, что выражение ~,рут124(ХЬ) — Ч (ХЬ)) 1=-О для Я„, меньше, чем для любого другого многочлсна той же степе- ПИ 1П. 9. Системы Хаара и Радемахера — Уолша. Хааром был построен следующий пример полной системы функций на отрезке !О, Ц.
Система эта состоит из функции !ра =1 н серий !ЕО1, У!!1, 4212 !!221, У!22, У!22, У!24! 22 1 У! 2! ° - ° 22 2 1 3. Ортогональнме еиепгемы функций е Ьз 423 (и-я серия содержит 2" функций), где -Е1, О < х < 1/2, угег = — 1, 1/2<х<1, ьГ2, 0<х<1/4, О, 0<а<1/2, ~ем = ьг2, 1/4 < х < 1/2, лагг = ь'2, 1/2 < х < 3/4, О, 1/2<х<1, -ьг2, 3/4 < х < 1. Вообще, положим (в точках разрыва значения функций можно брать про- извольными) г — 1 г. — 1 2н г — 1 1 <х< 2" 1 2 ты 2-1 г 2" ' — 2"ге в=0,1,...; г=1,2,...,2". 1+~ 2 =2~ л=о то функция |ро и функции ьгл, серий й = О, 1,..., и образуют в ЛХты полную систему линейно независимых векторов.
Отсюда., принимал во внимание, что любая непрерывная функция может быть сколь угодно точно аппроксимирована функцией из гуХты (при достаточно болыпом и), мы убеждаемся в полноге нашей системы, Рассмотрим оше один пример ортонорыапыгой системы функций на отрезке ]О, 1], принадлежащий Радемахеру. Положим Иными словами, функция ег„, получается сведующим образом: сегмент [О, 1] делится на 2 равных частей гл,, причелг на интервалах (г = 1,...,2 ) функция ег принимает попеременно значения +1 н — 1.
Ортонормальность системы (14) уе, ум, ум .Легко видеть, что построенная система ортонормальна. Докажем ее полноту. Разобьем отрезок ]О, Ц на 2тю равных интервалов Ь, и рассмотрим множество йХьтг всех функций, сохраняющих постоянное значение на каждом из интервалов Ь,. Очевидно, Мты есть линейное подпространство размерности 2н~'. Кроме того, все функции нашей систелгы до функций и-й серии включительно войдут в ХьХ„ть Так как зги функции в силу ортонормальности нагпей системы линейно независимы и так как их число равно 424 !ус р!!. !!раетраиеп~еа еуммируеммх фуикнав очевидна.
Эта система не полна. Это следует хотя бы из того, что, напри- мер, Функция 1, если 0<х<1/4 или 3!4<х<1, гггг = угг~7г = — 1, если 1/4 < т < Зг!4., =( ортогопвльна ко всем функциям системы (14). Однако последнюю можно расширить до полной ортонормальной системы, добавив к ней функции вида Ф е.,е ='гг, ...1еаю 0 < нц <тг « тоь. (15) Очевидно, что расширенная таким образом система, называемая системой Радемахера- Уолша, останется ортонормвльной. Кроме того, она уже будет полной. Доказательство этого проводится аналогично доказательству полноты системы Хаара.
ГЛАВА 1гШ ТРИГОНОМЕТРИт1ЕСКИЕ РЯДЫ. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ 3 1. Условия сходимости ряда Фурье 1. Достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке. Рассмотрим снова пространство 1т] — и, г] функций с суммируемым квадратом на отрезке ~ — х,к]. Это, как было показано в гл. Ъ'11, полное бесконечномерное евклидова пространство, т.
е. гильбертово пространство. Функции 1, .совах, зги пх, и = 1,2,..., "2 + ~ а„сов пх+ 6нзгппх, (2) п=г где т т ан = ~~ / у(х) сов пхагх, 6„= ~~ / у(х) згппхг1х, (3) сходится к 1 в среднем квадратичном, т.е. в метрике пространства 1игг — и, тг]. Однако в связи с применением рядов Фурье к задачам математической физики и другим вопросам будет существенно установить условия, гарантирующие сходимость ряда Фурье к 1 не только в среднем, но и в данной точке, всюду, или даже равномерно. Мы установим сейчас условия, достаточные для сходимости тригонометрического ряда в данной точке. Сделаем некоторые предварительные замечания.
Вместо функций, .заданных на отрезке [ — к,к], .мы можем говорить о периодических функциях с периодом 2н на всей прямой, поскольку каждую функцию, заданную на отрезке, можно периодически продолжить' ). Далее, функции, образующие тригонометрическую систему, ограничены, поэтому формулы (3), определяющие коэффициенты Фурье по этой системе, имеют съгысл для любой ) Заменин, осли нужно, 1]х) экннннлентной функцией, мм можем считать, чтО Д вЂ” и) = Дт). образуют в нем полную ортогональную систему, поэтому для каж- дой функции 1 б 1т~ — и, и] ряд Фурье Гл.
Ц!П. Рлдн. Преобразованьл Фурье 426 суммируемой функции ) 1а не только для функций с сумми- руемым квадратом). таким образом, каждой функции д' е л1[ — х, х) отвечают совокупность ее коэффициентов Фурье и ее ряд Фурье Г1х) 2 + ~ о» соя нх + )2» 61п 'пх. » 5„1х) = — о+ ~а1„. соя ах+ Ов 61пйх. 1=1 14) Преобразуем сначала Я»1х), подставив в 14) вместо коэффициентов аь и дь их интегральные выражения 13). Обозначив переменную ин- тегрирования через 1, мы получим я » Яо1х) = — / 111)(-+ ~созйхсоЯИ+61пйхзтпИ) ~Й = 1=1 к » — / У11)(1+ ~ ~соя1к12 — х))) М.
Воспользовавшись хорошо известной формулой 2) яш йпвх1и -+сояи+соя2и+ . +сояпи = 2ьш 2 будем видеть 2 1 — л 2 16) Это представление Я»1х) и различные его модификации называются интегралом Дирихле. ) При этом, конечно, для произвольной суммируемой функнии никаких утверждений о сходимости ряда 12) мы не делаем.
) Для получения этой формулы достаточно просуммировать равенства Мп — "=1 2яп —, 2 2 2' Мп — — вш — = соя и 2яш Зи с и и 2 2 2' Мп 2и-~-1 . 2и — 1 ... и 2 ' 2 '' 2' и — в1п и =- сов»и 2в!п —. Перейдем теперь к вопросу о сходимости этого ряда в данной точке х к значению функции 1 в этой точке. Положим 1 П Условия сходимослаи ряда Фурье 427 Сделаем замену, положив ь — х = -. Поскольку под интегралом (6) стоит периодическая функция с периодом 2х, интеграл от нее по любому отрезку длины 2х имеет одну и ту же величину. Поэтому и при интегрировании по г мы можем сохранить прежние пределы — я и х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
