1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Способ восстановления непрерывной функции по ее ряду Фурье. дает излагаемая ниже теорема, доказанная в 1905 и Фейером. Пусть ь Бь с х) = "2 + ~~ и . сов с'х + 6 ясс 4 х (2) с=1 Гл. Н!бь Ряды. Преобразовавпл Фурье 434 -. частичная сумма ряда Фурье функции 1. Положим лс(х) -'; ят(х) -!- . -'; я тстх) ц„(х)— Выражения н„средние арифметические сумм Яь суммами Фейеро функции д". (3) называются Теорема 1 (Фейер). Если д" .. непрерывная функция с неРиодом 2п, то последовательность (но ) ее с Умм ФейеРа сходитсЯ к 1' равномерно на всей числовой оси.
и-Ю = — 2„'„~ (~~ ' '",',. ', ')У(х+ ) й», — »=о которое с помощью формулы ) и — ! Е ! зщ(2к+ 1)» = ь'". вш »=о может быть представлено в виде так называемого интеграла Фейерп: -.(.) = „',„~ ( ",„".') И.+ ) ' (4) Выражение называется ядроле Фейера. Формулу (4) можно переписать в виде н„(х) = / ~(х+»)Ф„(») е1». (б) — л Нам нужно доказать, что при п -т оо зто выражение равномерно стремится к 1(х).
Отътетим предварительно следующие свойства ядра Фейера: 1) фт(») > О, ) Эту формулу легко получить, суммируя по Й равенства 2ип (2Ь -т !)» Мп» .= сов2໠— со»2(Ь -~-!)». Доказательство. Воспользуемся полученным в предыдущем параграфе интегральным представлением частичных сумм ряда Фурье: чш »!.хт 2 ' втп й Подставив зти интегралы в равенство (3), получим для на(х) следующее выражение: 1 2. т'еорема Фенепа 2) ~ Ф„(з)бх=1, — к 3) при любом фиксированном б > О и и -э оо имеем — 6 к / Фв(х) бз = / ФпЫба = Чп(б) э О а Первое из этих свойств очевидно, второе получается из равен- ства (6), если положить 1(х) = 1 и учесть, что для такой функ- ции о„(х) = 1 при всех и; наконец, третье свойство сразу вытекает из того, что если б < з < я, то вш — > — и, следовательно, а 2б ('.",.",') в = (й)" Учитывая эти свойства ядра Фойера, нетрудно доказать теорему.
Так как функция 1 непрерывная и периодическая, то она огра- ничена и равномерно непрерывна на всей прямой. Иначе говоря, существует такая постоянная ЛХ, что для всех х ]Дх)] < Ы (7) и для каждого а > О найдется такое б > О, что ]1(х") — 1(х )] < е/2, (8) как только ]х" — х'] < б. Для доказательства теоремы нам нужно оценить разность л 11х) — а„1х) = ~ Ц(х) — 7"1х+ х)]Ф„(х) с1х, которую можно представить в виде суммы следующих трех интегралов: 7- = ~ ~~(х) — 11х+з))Ф.(з)г1з, Уо = )' 11(х) — У(х+х))фп(з) пх, — б "=Ь~*)-~~*+»Ф-~)' а Из (7) и (8) непосредственно вытекают следующие оценки: ],7 ] <2ЛЬ1„(б), ],7 ] <2ЛЬ~„(б), 7о] < 2 ~ Фв1г) дх < 2.
-б !'о. Н!П. Рады. Преобразован в Фурье 436 Выберем теперь пв настолько большим, чтобы при п ) пв и данном 3 выполнялось неравенство 2ЛХ>!„(б) < 6/4. ]~(Х) — Оа(Х)] < 6>>2+ 6>>4+ 6/4 = 6, Тогда откуда в силу произвольности 6 и следует утверждение теоремы.
Отметим, что при доказательстве мы использовали только свойства 1)-.3) ядра Фейера. Это позволяет получать различные обобщения теоремы 1 (см., в частности, .п. 3 этого параграфа). Тогда ]в>(!) — Р (!)] < 6 при О < ! < >г. 2. Полнота тригонометрической системы. Теорема Вейер> птрасса. Из теоремы Фейера следует полнота тригонометрической системы в пространстве 1 в [ — х, х]. Действительно, в силу этой теоремы любая нопрерывная функция есть предел равномерно (а значит, и в среднем) сходящейся последовательности тригонометрических многочлецов еен, Остается заметить, что непрерывные функции всюду плотны в Ту. Теорему Фейера можно рассматривать как усиление теоремы Вейерштрасса об аппроксимации непрерывных функций тригонометрическими многочленами: эта последняя устанавливает, что всякая непрерывная функция есть равномерный предел к а к о й — т о последовательности тригонометрических многочленов, а теорема Фойера ука:>ывает вполне определенную последовательност>ч обладающую этим свойством, — — последовательность сумм Фейера (3).
Из теоремы Вейерштрасса о равномерной аппроксимации непрерывной периодической ц>ункции тригонометрическими мпогочленами легко следует и вторая теорема Вейерштрасса об аппроксимации алгебраическими многочленами любой функции, непрерывной па некотором отрезке [а., Ь]. Действительно, если г(х) .- такая функция, то, положив ! = >г, т.
е. х = + а, х — а 4(Ь вЂ” а) мы получим функции> у>(!) от Ь, заданную на [О,к]. Продолжим ее вначале на полусегмент [ — у, О), положив >Р( — !) = у>(!), а потом, по периодичности, на всю прямую. Построим теперь тригонометрический многочлен Т„, удовлетворякиций условию [Та(!) — ер(!)] < 6>>2 пРи всех й Далее, всякий тригонометрический многочлен разлагается в ряд Тейлора, сходящийся равномерно на л>обом конечном интервале. Пусть Р— — частичная сумма ряда Тейлора для Т„, такая, что ]Т (!) — Рн(!)] < 6/2 при О < ! < зг. З 3.
Интегр л Фурье 437 Сделав в Рт1!) обРатнУю заменУ1 = Ь "Я, мы полУчим многочлен Ь вЂ” а 1,)т !Ф), УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЙ УСЛОВИЮ (Д~Я) — Яю1гт)~ ( В пРи а ( ж ( Ь. 3. Теорема Фейера для пространства Аю В теореме Фейера достигнута определенная симметрия между условием и утверждением теоремы.
Из того, что функция ! принадлежит пространству С~ — к, к) непрерывных функций, с чецует, что отвечающие ей суммы Фейсра сходятся к 1 в метрике того же самого пространства С1 — к, к!. Аналогичные теоремы можно получить и для других функциональных пространств, в частности, для пространства Ег) — к, к]. Точнее говоря, имеет место следующая теорема, которую естественно назвать теоремой Фейера для суммирувмых функций: Если ! суммируемая на отрезке ) — к, к) функция, то ее суммы Фейера сходятся к ней по норме пространства Лг~ — к, к).
Доказательство этого утверждения может быть получено с помощью рассуждений, близких к изложенным в п. 1. й!ы не будем здесь их проводить, однако отметим следующий важный факт, вытекающий из теоремы Фейера для суммируемых функций. Всякая суммируемая функц я однозначно гс точностью до эквивалентности) определяегпся своими козффнциенпгамн Фурье. Действительно, пусть ! и д две суммируемые функции, имеющие одинаковые коэффициенты Фурье. Тогда все коэффициенты Фурье функции ! — д равны О.
Следовательно, тождественно равны О и все суммы Фейера пля ! — д. Но тогда и их нредел в Ем т.е. функция ! — д, есть О почти всюду. 'З 3. Интеграл Фурье 1. Основная теорема. В з ! были установлены условия, при которых периодическая функция может быть разложена в сходящийся ряд Фурье, т, е, представлена как суперпозипия гармонических колебаний.
Попытаемся сейчас перенести этот результат па функции непериодические. Мы увидим, что при довольно обпгих дополнительных условиях такое представление возможно, но только уже с помощью не ряда, а интеграла, так назынаемого интеграла Фурье. Начнем с наводящих соображений. Пусть функция ф на кажном конечном интервале удовлетворяет условиям, обеспечивающим разложимость ее в ряд Фурье. Иначе говоря, предположим, что 1 суммируема на любом конечном интервале и в каждой точке удовлетворяет условию Дйни. Рассматривая 1, скажем, на отрезке ~ — 1, !), 438 Гя. Ъ"|И. Рядн.
ПСоеобравованоя Фарое мы можем написать разложение этой функции в ряд Фурье: ) СХ) = — + ~ей Пй СО8 — '' Х + Ьй 8Ш вЂ” Х. ао т йя Ьг 2 е'я й=1 Подставим сюда вместо ай и бй их выражения; ай = — / )сг) сов+ой, ~(й) вш ягй. Получим 1 с )Сх) = 2С / д(С)й+ ~ ~ / ~(4)сов йС хсоэ~~йй+ й=с + — 1 ~(4) всп ~~хвссс — й "бй = — с с с 2С / д СС) й+ С ~ / с с,й) ~сов — хсов — г+вш — хспп — й)'й, й=с — ! т.
е. 1 4Сх) = — С )' д'СС)ей+ —,„~ с / Дй)сов — С(й — х)й. (2) Дополним предположения о функции у еще одним; пусть эта функ- ция абсолютно интегрируема на всей прямой, т.е. (3) ~~(й)~й < со. Перейдем теперь (пока чисто формально) в равенстве (2) к пределу при 1 -о со. В силу (3) первое слагаемое в правой части равенства (2) при 1 -с со стремится к нулю. Второе слагаемое можно рассматривать как интегральную сумму Сссо только распространенную ва бесконечный промежуток) для интеграла от функции Е(Л) = — / ~(С)совЛсС вЂ” х)й, 1 К Интегр е Фурье если положить Ль = Ьгг1 и елЛ = кгг1.
Поэтому формальный предельный переход в (2) при 1 — л ос приводит к равенству 7'(х) = 1 / дЛ / 1(1)совЛ(1 — х)й. (4) о — со Это и есть искомое представление. Введя обозначения: вл = 1 /' 7(1)созЛ1й, Ьл = 1 /' ((1)япЛ1й, равенство (4) можно переписать в следующем виде, аналогичном ряду Фурье: У(х) = / (пл сов Лх + йл яп Лх) г1Л (5) о Мы получили равенство (4), называемое формулой Фурье, с помощью формального предельного перехода. Можно было бы обосновать справедливость этого перехода (при сделанных выше предположениях о функции 1), однако проще доказать равенство (4) непосредствонно.
Итак, докажем следующую теорему. оо А оо У(А) = — „ / е1Л ( ((1)совЛ(1 — х)е1Л = — / ~(1)в „, ' сН. — оо о — оо Заменой переменных 1 — х = х приведем этот интеграл к виду 1( ц) 1 г г( + )япАг Хорошо известное равенство — 1 "", 'й=1, А>6, (7) Теорема 1. Если функция Г" абсолютно иитсгрирусма на всей прямой и в точке х удовлетворяет условию Дйни, то имеет место равенство ,((х) оо 1 У АЛ,( 1(1) сов Л(1 - .) а.
о — оо Доказательство. Введем обозначение А оо ,У(А) = Х У е1Л 1 тсовЛ(1 — ° )е1. (6) о — оо Нам нужно доказать, что 11пл з(А) существует и равен 7(х). Так А — гго как 1 абсолютно интегрируема, то внутренний интеграл в (6) сходится, а двойной интеграл сходится абсолютно. Используя теорему Фубини, изменим в повторном интеграле (6) порядок интегрирования: Гл. утйп Рады. Преобравоваььл Фурье 440 позволяет записать разность д(А) — д"(т) в виде (8) Представим стоящий справа интеграл в виде суммы трех слагаемых: у( 1) е( ) 1 е У(Я Ье) 1(т)з А о + к / рй>х (е(>Х Второй и третий члены справа представляют собой сходящиеся интегралы, и каждый из них может быть сделан меньше, чем е/3, если число Х взято достаточно большим. Первое слагаемое справа (при фиксированном Х) стремится к нулю, когда А — у сю (в силу леммы 1 0 1 и условия Дйни).
Таким образом, получаем 1пп (д(А) — 1(я)) = О, что и требовалось доказать. 2. Интеграл Фурье в комплексной форме. В интегральной формуле Фурье (4) внутренний интеграл представляет собой четную функцию от Л, что позволяет переписать эту формулу в виде (9) — в1Л ~ д'(1) ыпЛ(1 — т) е11 — 0 (10) (евши интеграл по Л понимать в смысле главного значения,.
т. е. как Х 1пп / ). Прибавив к (9) равенство (10), умноженное на — г, полу- чим Х(я)=2'. / 1Л 3 те-"0-"а Это равенство мы будем называть комплексной ерорлеулой Фурье. Далее, из абсолютной интегрируемости функции 1 следует, что интеграл ) д"(1) гйпЛ(1 — я) в1в существует и представляет собой не— оо четную функцию от Л.
Поэтому 1 4. Преобразование Фурье, евойеьава и применение 441 з 4. Преобразование Фурье, свойства и применения 1. Преобразования Фурье и формула обращения. Интегральную формулу Фурье можно расчленить на два равенства. Положим ое д(Л) = ! У(1)г-1"'114. (1) Тогда з" (х) 2 1 д(Л)е'"* еЕЛ. (2) Заметим, что формула (1) имеет смысл для любой абсолютно интегрируемой функции 1. таким образом, каждой р е ьг( — со, ос) мы с помощью формулы (1) сопоставляем определенную функцию д, заданнукл на всей числовой прямой. Функция д называется преобразованием Фурье исходной функции 4". Формула (2), выражающая )' через ее преобразование Фурье, называется формулой обраи4енил для преобразования Фурье. Следует обратить внимание на сходство между формулами (1) и (2).
Вторая из них отличается от первой лишь знаком в показателе и множителем 11(2к) перед интегралом. Можно было бы достигнуть здесь еще большей симметрии, определив д формулой .(Л) = ' 7 ~(х) -" 4х (1') Тогда формула обращения приняла бы вид 4 (х) = / д(Л)ез~' 14Л, (2') т, е, различие осталось бы только в знаке показателя экспоненты. Однако при всем их внешнем сходстве формулы (1) и (2), по существу, различны; в первой из них интеграл существует в обычном смысле (посколькУ 1 Е Тг( — оо, оо)), а во втоРой, вообще говоРЯ, лишь в смысле главного значения. Кроме з ого, равенство (1) это определение функции д, а в равенстве (2), представляющем собой иную запись интегральной формулы Фурье, содержится утверждение, что стоящий там справа интеграл равен исходной функции 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
