1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 86
Текст из файла (страница 86)
2. Функции Эрмита. Теорема Плаяшереля, изложенная в предыдущем пункте, означает, что преобразование Фурье можно рассматривать как ограниченный линейный оператор Е, отображающий пространство Т,з( — со, со) на себя. Если в этом пространстве выбрать какую-либо полную ортогональную нормированную систему, то оператор г (как и любой другой линейный оператор) можно записать с помощью бесконечной ыатрицы. Вид этой матрицы зависит, конечно, от выбора базиса. Проще всего матрица, отвечающая тому или иному оператору, выглядит в том случае, когда соответствующий базис состоит из собственных функций данного оператора: в этом случае матрица имеет диагональную форму.
Посмотрим, 1 5. Лргобра.юеашге Фурье е Ьт( — сю, оо) существует ли такой базис для преобразования Фурье Еу Иначе го- воря, посмотрим, какие функции из Е ( — сю, оо) являются собствен- ными для преобразования Фурье Г? Для этой цели заметим, что уравненио 42 У вЂ”., -х'1=И г1х (3) переводится преобразованием Фурье в такоо же уравпепиог) (поскольку операция г(2(г4хг переходит в умножение на — Л2, а умножение на — хт в операцию гг~ггдЛ~). Поэтому естественно искать собственные функции оператора г' как решения уравнения (3). Будем искать решения этого уравнения, имеющие вид г=ше где ш — — многочлен. Подставив это выражение в (3), получим для ш уравнение шо — 2хш' = (р + 1)ш.
Полагая (4) ш = ао + аг х + . + а„х"', получаем равенство (2ат + 3. 2. пах + . + гг(гг — 1)ггих" 2)— — 2х(аг + 2атх+. + на„х" = (р+ 1)(ао + агх+ .. + а„хл). Сравнивая в нем коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа, находим,что — 2па„ = (р + 1)а„, — 2(п — 1)а„ 2 = (р + 1)а„ и т.д., вообще, 'и('к — 1)аь — 2(12 — 2)аь 2 — †(р + 1)аь (5) т. е. р должно быть нечетным целым отрицательным числом. Все коэффициенты многочлена ш определяются соотнопгением (5) с точностью до постоянного множителя. При этом те коэффициенты, четность индекса которых отлична от четности числа и, т.е. степени ') Прелг1олагается, коночио, что неизвестная функггия 1 уловлетворяег соответствующиь~ условиям гладкости и убывания на бесконечности.
Поскольку мы считаем старший коэффициент а„отличнылг от нуля, должно быть Р = — (йп+1) и а„г = О, 460 Гл. П!П. Рады. Преобравоваььл Фурье многочлена ю, равны нулю. Наоборот, все коэффициенты с индексами, имеющими ту же четностзв что и и, отличны от нуля. Они находятся по рекуррентной формуле а.(а. — 1) 2й — 2п — 4 (если значение аа задано). Таким образом, мы получаем формулу для ьл п(п — 1) а з п(п — Ц(п — 2)(п — 3) ~пл(х) — на'1х 4 х + 4 о х Итак, мы построили систему функций вида д„,(х) = юп(х)е * ~з, и = 0,1,.2, Ясно, что каждая из этих функций принадлежит Ьз ( — оо, оо) (благов даря наличию множителя е в ~е).
Вдобавок, эти функции попарно ортогональны. Действительно, согласно (3) имеем Р'„'(х) -х'р„(х) = -(г +1) р.(х), уо'„', (х) — х уот(х) = — (2т+ 1)~рт(х). Умножив первое из этих равенств на Р„„а второе на:Р„и вычитая из одного равенства другое, получаем ~Р" .Рт — Рд,~Рп — — реп — п)Ра Рт или [Р'„Р„, — ~а'„,Р„]' = 21т — п)Р„во Если п ~ т, то, интегрируя это равенство, получаем 1 .'1х) -1х)йх — < и) 1 ~д.д- Р -) 1х— ) ~ФаФт 'Рт'Ра> — ое Таким образом, ортогонапьность доказана.
Каждый из элементов Ра полУченной оРтогональной системы представляет собой многочлен степени и, умноженный на е Следовательно, ее элементы должны, с точностью до числовых мзюжителей, совпадать с функциями Эрмита, которые мы построили в 2 3 гл. УП ортогонвлизацией последовательности — е~/2 е — е~/2 и — ав/2 ) в пространстве Аз(-оо, оо). 1 В. Преобразование Палласа 4б1 Покажем теперь, что функции 1узп) являются собственныгии функциями преобразоваяия Фурье: 16) Р~Рп — споря. Это вытекает из следующих фактов. 1.
Уравнение (3) инвариантно относительно преобразования Р. 2. Уравнение (3) при каждом п имеет, с точностью до постояцзуч ного множителя, лишь одно решение вида Р„(х)е " Уг, где Р„ многочлен степени и. 3. ПроабраЗОВИ1ИЕ ФурЬЕ ПЕрЕВОдИт Хос ' Уг В )т' а ) Е ' Уг = '1 дх) = цп(х)е т 'з, где ц - - многочлен степени и (последнее утверждение легко проверяется по индукции). Из равенства (6) следует, что при каждом целом й ь е Р со = с„ьзп.
Но преобразование Фурье, примененное четырежды, переводит каждую функцию в себя, умноженную на 4кз. Поэтому с = 4кз, т. е. с„ может принимать лишь значения х кг2к и хтьУ2к. Итак, преобразование Фурье Р в просгараистве Ьг( — со,со) есть линейный оператор, который' в базисе, состоящем из функций Эрмита, записывается как диагональная матрица с элементами вида ~кг2н и ~т'кг2тг ). 2 6. Преобразование Лапласа 1.
Определение и основные свойства преобразования Лапласа. Применимость преобразования Фурье к дифференциальным уравнениям существенно ограничивается тем, что это преобразование определено лишь для функций, суммирусмых на всей прямой. В частности, преобразование Фурье не существует для ) Если преобразование Фурье определить формулой (т.е.
формулой (1') з 4, а не формулой (1)), то его четвертая степень будет единичным оператором, и в базисе, состоящем из функций Эрмита. мм получасы для и диагональную матрипу' с элементами х! и хк Гл. езда Рлдн. Преобравованил Фурье 462 функций, растущих при у -э — оо или у — > +ос, а такие функции нередко возникают при решении дифференциальных уравнений. Эту трудность можно преодолеть, распространив преобразование Фурье на обобщенные функции; об этом пути мы скажем кратко в З 8 этой главы.
Другой возможный подход, не выводящий за рамки классического понятия функции и классических методов анализа, состоит в замене преобразования Фурье так называемым преобразованием Лапласа. Пусть функция у (вообще говоря, не интегрируемая на всей прямой) становится интегрируемой, если ее умножить на е т', где у— некоторое действительное число. Тогда интеграл д4в) ) У(у)е — вв«е4у (" ) 1у)е — вле ела 44у оказывается сходящимся для некоторых комплексных в = Л + ьд, в частности., он сходится на прямой д = — у.
На этой прямой он служит преобразованием Фурье функции д1у)е Наиболее важный для приложений случай, в котором наши предположения об интегрируемости функции Д~у)е ьа выполнены, это тот, когда у удовлетворяет следующим условиям: )Ду)/ < Се"* при у 3 О, У(у)=0 приу<0 (06 и С постоянные). Интеграл д(в) = / )'(у)е "* Йу = / у(у)е ™44у — ео о (2) существует при всех в = Л+ 1д, таких, что д < — 46, т.е. в полу- плоскости, ограниченной прямой 1шв = -Тв, и представляет собой преобразование Фурье функции 1'(у)ел". Эта последняя может быть получена из д с помощью формулы обращения (мы считаем, что у удовлетворяет условиям, при которых эта формула пригаенима) у(у)ела = —,,' ~ д~в)""а дЛ, откуда Чв-~-Оо У(у) = — / дЯем'сЬ, л = Л+ цл. (3) Нф — оо Поскольку функция Ду)евл при д < — ув убывает как экспонента (в силу (1)), ее преобразование Фурье д, а значит, и д(л)евва, есть функция, аналитическая в полуплоскости 1ш ь < — то.
1 6. Препбразоеание Лапласа 463 Сделаем теперь в форлзулах (2) и (3) замену переменных, положив р = гн и обозначив д(н) через Ф(р). Получим Ф( ) = 1 ~( ) (2') о — И.~-е се — ит 2 ./ Ф(Р)е 2 ' / Ф(Р)е сер. (3') — И вЂ” 4еп — — ! ес Функция Ф определена и аналитична в полуплоскости Кер ) ун, она называется преобразованием Лапласа функции 1 (удовлетворяющей условиям (1) ) . Преобразование Лапласа по своим свойствам мало отличается от преобразования Фурье. Однако класс функций, для которых определено преобразование !анласа, существенно отличея от класса з з( — со, со) функций, для которых существует преобразование Фурье.
2. Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений (операторный метод). Преобразование Лапласа можно применить для отыскания решений дифференциальных уравнений. Пусть дано л~инойное дифференциальное уравнение с постоянными козффициентами урб+а уп' ~+ . +а у = 5(х) (4) и пусть ищется его решение, удовлетворяющее начальным условиям у(0) = уе; у (О) = уы ., у1п 0(0) = у -з (5) Применим к уравнению (4) преобразование Лапласа' ), т.е.
умножим его на е Ре и проинтегрируем от 0 до оо. Пусть 1'(р) = / у(х)е "'с1х о ". преобразование Лапласа функции у. Интегрируя по частям, мы найдем преобразование Лапласа производной у'. (' у (х)е Рейх = у(х)е ~'~ +р ( у(х)е "" дх = р1'(р) — уе.
о о Применяя зту формулу последовательно., найдем ~ убй(х)е-Р* 1х = о =Р(Р т(Р) У вЂ” — 4нз —. — ''' — Р Уе) — У = Р 1'(Р) — Уп-1 — РУп — и — — Р Ун = Р 1 (1з) — ~~' Р а=о 1) Нетрудно показать законаость его применения к ураниеиию (4), если 6(х) растет не слишком быстро. Го. Отйб Роды. Вреобрввовоььл Фурье 464 Пусть, наконец, где В преобразование Лапласа функций Ь, ьд многочлен от р степени п — 1, зависящий от коэффипиентов уравнения и от начальных данных.
Наконец, в В=~по ьр', ао=1, ь=о характеристический многочлен уравнения (4). Из полученного уравнения находим в~р) — д(р) В(р) Решение у получается отсюда по формуле обращения рэ' В(р) — Фр) „,„ 2~г / 4ЦР) — р — в оо Этот интеграл обычно вычисляется с помощью вычетов.
Для решения линойных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами известен так называемый операторный м е год. Он состоит в том, что в таком уравнении у~~~+а~ур ~+...+а у =Ь(х) левая часть рассматривается как результат применения к неизвест- ной функции у оператора А(~д) = „~„+а4 а„, +. +а„, (6) а решение уравнения как применение к его правой части уравнения оператора, обратного к оператору (6). Результат применения такого оператора к некоторым простейшим функциям тригонометрическим, показательным, степенным и их комбинациям нетрудно найти с помощью цеоюсредственных вычислений.
Это дает возможность автоматически выписывать решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами, если его правая часть представляет собой комбинации таких функций. В(р) = ) Ь(л)е "' Нх. о В итоге преобразование Лапласа переводит дифференциальное уравнение (4) (с учетом начальных условий (5)) в алгебраическое уравнение в,)(р) + В(р)1'(р) = В(р), 1 7. 11реобравованае Фурье — Стьлтьееа Ясно, что операторный метод можно истолковать как применение в неявной форме преобразования Лапласа (устанавливающего определенное соответствие между алгеброй дифференциальных операгоров вида (6) и аль еброй многочленов), что как раз и можно рассматривать как обоснование этого метода, часто фигурирун>щего в технической литературе в виде некоторого «рецепта». 7.
Преобразование Фурье — Стилтьеса 1. Определение преобразования Фурье — Стилтьеса. Вернемся снова к преобразованию Фурье в пространстве А1(-оо,оо): *'ай )1- Эту формулу можно переписать в виде интеграла Римана-Стилтьеса оо д(Л) = / е ' аде'(х), где р(х) = /*- ~(1),11 (2) абсолютно непрерывная функция с ограниченным изменением на всей числовой оси (равным / ~Дх)~дх). Однако равенство (1) имеет смысл не только для функций вида (2), но и для любых фу акций с ограниченным изменением на всей прямой. Интеграл д(Л) = У е вла е1Р'(х) ~д(л,) - д(л И < - 'У ~' "' — '- "'"~"р'(х)+ — М (а~>м где г' - произвольная функция с ограниченным изменением на прямой, мы будем называть преобразованием Фурье — Спеилтьеса функции Е. Для преобразования Фурье — Стилтьеса сохраняется ряд свойств, установленных нами ранее для обычного преобразования Фурье, например, следующее: функция д, определенная интегралом (1), непрерывна и ограничена на всей прямой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
