1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Мы, однако, пойдем по другому пути и дадим доказательство этих теорем, не связанное с рассмотрением вырожденных уравнений. Доказательство теорем Фредгольма. Напомним, что КегВ есть совокупность нулей линейного непрерывного оператора В 1т.е. множество всех тех т. Е Н, для которых Вх = О), а 1гп В - — область значений оператора В, т. е. совокупность векторов вида у = Вх. Ясно, что Кег В всегда есть замкнутое линейное подпространство. Множество 1щ В также представляет собой линейное многообразие, однако, вообще говоря, не замкнутое. Мы сейчас покажем, что для оператора Т = 1 — А, где А комплексный оператор, замкнутость соответствующего многообразия имеет место. Л е м м а 1. Ъ|ногообразие 1гп Т замкнуто.
Доказательство. Пусть ун е 1щТ и ун — у у. По предположению существуют такие векторы хн Е Н, что ун ье Тхн ье хн — Ахн. 121) Мы можем считать, что векторы хн ортогональны к КстТ, вычитая, если необходимо, из хн его проекцию на КегТ. Далее, можно считать, что ~~х„й ограничены в совокупности. Действительно, в противном случае, переходя к подпоследовательносги, мы бы имели йх„(! -+ оо и, разделив на йх„й, получили бы из 121), что 'ух„'з 'зх„'у †.4 х — > О. Но так как оператор А компактен., то, снова переходя к подпоследовательности, можно считать последоватольность (.4 — х1 сходящейся. Поэтому я хл бупнт сходиться, окн~ах.~!1 ~!х„~! жем, к вектору х Е Н.
Ясно, что )ф( = 1 и Тх = О, т.е. х Е КегТ. Однако мы считаем векторы х„ортогональными к Кег Т и, следовательно, вектор обязан быть ортогональным к КегТ. Полученное противоречие и позволяет считать, что йх„й ограничены в совокупности. Вместе с тем в этом случае последовательность )Ахн) можно считать сходящейся, а тогда,как это следует из 121), будет сходящейся и последовательность 1хн,). Если через х обозначить предел этой последовательности, то из 121) следует, что у = Тх.
Лемма доказана. рл. ГХ. Линейные ингаегуальные уравнение 486 Лемма 2. Пространстно Х является прямой ортогональной сулгмой замкнутых подпространств Кег Т н 1ш Т", к е. КегТ ге1гпТ* = Н, (22) и аналогично, Кег Т* Ж 1гп Т = Н. (23) Доказательство. Мы уже знаем, что оба подпространства, фигурирующие в левой части равенства (22), замкнуты. Кроме того, они ортогональны, поскольку если Ь е Кег Т, то (Ь, Т х) = = (ТЬ, х) = 0 для всех х Е Н. Остается доказать, что никакой ненулевой вектор не может бьыь одновременно ортогональным к КегТ и 1ш Т*. Но если вектор з ортогонален к 1ш Т*, то для любого х Е Н имеем (Тг,х) = (з,Т*х) = О, т.е. Е КегТ. Равенство (23) доказывается аналогично.
Лемма доказана. Из леммы 2 сразу вытекает первая теорема Фредгольма. Действительно, 1 4 КегТ* в том и только том случае, если 1 Е 1ш Т, т. е. если существует такое ~р, что Туе = 1. Далее, для каждого целого Ь положим Нг = 1ш(Т"), так что, в частности, Н" = 1шТ. Ясно, что нодпространства Нг образуют цепочку вложенных подпространств, НЗН ЗНзЗ..., (24) а в силу леммы 1 все эти подпространства замкнуты.
При этом Т(Нь) = НУ+1. Л е и м а 3. Существует такое 1, что Ньаг = Н" при всех Ь > уй Доказательство. Если такого у не существует, то, очевидно, все Н различны. В этом случае можно построить такую ортонормированную последовательность г,хь), что хг Е Н и ортогопально ь Нь ". Пусть 1 > Ь. Тогда Ахй — Ахь = — ху + (хе + Тхь — Тхе) и, следовательно, 6Ае, — А „!( > 1, так как хе + Тхь — Тхе й Хьь'. Поэеому из последовательности (Ахь) нельзя выбрать сходящейся подпоследовательностн, что., однако, противоречит компактности оператора А.
Тем самым лемма доказана. Лемма 4. Если КегТ = (0), то 1шТ = Н. Доказательство. Если КегТ = (0), то оператор Т взаимно однозначен и, следовательно, если при этом 1шТ у'. -Н, то цепочка (24) состоит из различных подпространств, а это противоречит лемме 3. Поэтому 1пгТ = Н.
Аналогично, 1шТ' = Н, если КегТ' = (0). 8 и Интегральные ураененил Фредгелыыа 487 Лемма 5. Если 1п1 Т = Н, то Кег Т = (0). Доказательство. Так как 11пТ = Н, то, по лемме 2, КегТ* = (0), но тогда, по лемме 4, 1а1Т* = Н и, следовательно, по лемме 2, КегТ = (О).
Ях = Тх+ ~(х, 1р, Я . 1=1 Так как оператор Я получается из оператора Т прибавлением конечномерного оператора, то все результаты, доказанные выше для оператора Т, остаются верными и для оператора Я. Покажем, что уравнение Ях = 0 имеет только тривиальное решение. Действительно, допустим, что Тх+ ~(х,уг )~ = О. (25) Так как векторы ~~1 в силу леммы 2 ортогонаньны ко всем векторам вида Тх, то из (25) следует, что Тх = О, (хгуг ) = 0 при 1 < 7' ( 14. Поэтому, с одной стороны, вектор х должен быть линейной комбинацией векторов 1р, а с другой, ортогонален им.
Следовательно, х = О. Итак, уравнение Ях = 0 имеет только тривиальное решение. Но тогда по второй теореме существует такой вектор у, что Совокупность лемм 4 и 5 и составляет содержание второй теоремы (альтернативы) Фредгольма. Тем самым эта теорема доказана. Докажем, наконец, третью теорему Фредгольма. Предположим, что подпространство КегТ бесконечномерно. Тогда в этом подпространстве найдется бесконечная ортонормированная система (хг). При этом Ах1„. = хв и, следовательно, при Й ф 1 имеем ()Ахе — Ах1)! = тгг2. Но тогда из последовательности (Ахе) нельзя выбрать сходящейся подпоследовательности, что противоречит компактности оператора А. Пусть теперь р размерность Кег Т и р размерность КегТ".
Продположим, что р < р. Пусть (р1,..., ~рр) ортонормированный базис в КегТ и (61,..., гр„) --- ортонормированный базис в КегТ*. Положим 488 Рл. 426 Линейные интегральные уравнения Умножив это равенство скалярно на ~яьы мы получим справа 1, а слева О, поскольку Ту Е 1ш Т, а 1ш Т.! КегТ'. Это противоречие возникло из предположения р < р. Поэтому.
р > и. Заменяя теперь оператор Т на Т, мгя получим р < о и, следовательно, р = о. Теорема П1 доказана полностью. Замечания. 1. В теоремах Фредгольма по существу речь идет об обратимости оператора А — 1 и эти теоремы означают, что Л = 1 или регулярная точка для А, или собственное значение конечной кратности. Разумеется, все, что утверждается в этих теоремах, остается справедливым и для операторов А — Л1, если Л ф О.
Поэтому всякая отличная от О пгочка спектра компактного оператора являетсн его собственным значением конечной краптости. Кроме того, мы знаем, что множество таких собственных значений не более чем счетно. Ввиду следствия к теореме 2 в и. 2 8 6 гл. 1У нуль всегда принадлежит спектру компактного оператора в бесконечномерном пространстве, но не обязан, вообще говоря, быть собственным значением.
Компактные операторы, для которых О служит единствошюй точкой спектра, называются (абстрактными) операторами Вольтерра. 2. Мы доказали теоремы Фредгольма для уравнения вида уг = = Аю -~- 1, где А компактный оператор в гильбертовом пространстве. Эти теоремы могут быть перенесены без существенных изменений и на случай произвольного банахова пространства Е.
При этом, разумеется, сопряженное уравнение уг = А" ц -~- о будет уравнением в пространстве Е*, условие ортогональности (1,фо) = О нужно понимать как обращеяие в нуль на элементе 1 6 Е каждого функционала из подпространства КегТ* С Е* решений уравнения Т*цго = О и т. д. Изложение теорем Фредгольма для уравнений в банаховом пространстве содержится, например, в книге Л. А. Люстсрника и В. И. Соболева «Элементы функционального анализа». 5.
Уравнения Вольтерра. Уравнением Вольтерра (второго рода) называется интегральное уравнение уг(е) = / К(з,!)<о(!) гИ, + 1(е), (26) а где К(зг!) ограниченная измеримая функция: ~К(е,!)~ < ЛХ. Поскольку это уравнение можно рассматривать как частный случай уравнения Фредгольма (с ядром, равным нулю при ! ) 8), теоремы Фредгольма справедливы и для уравнения (26). Однако для уравнений Вольтерра эти теоремы можно уточнить следующим образом. Ууавнение Вольтерра (26) при любой функции 1" 6 Ва имеет одно и ггюлько одно решение. 1 2. Интегральные урааненил Фгедгальма 489 Действительно, дословно повторяя рассуждения и.
4 8 4 гл. П, мы видим, что некоторая степень оператора Ад = ) К(8,1)941г) Ж а является сжимающим оператором и, следовательно, однородное уравнение имеет единственное (тривиальное) решение. В силу теорем Фредгольма отсюда и следует наше утверждение. Упражнение. Пусть на отрезке задано интегральное уравнение Фредгольма второго рода с непрерывным ядром. Доказать для такого уравнения теоремы Фредгольма а праетринетаве непрерывных функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
