1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 91
Текст из файла (страница 91)
При этом роль «сопряженного уравнения» играет интегральное уравнение г транспопнрованным ядром, а ортогонзльность понимается в смысле Ег. 6. Интегральные уравнения первого рода. Абстрактным уравнением Фредгольма ггереоэо рода называется уравнение вида 127) т.е. уравнение, содержащее неизвестную функцию 9г лишь под знаком компактного оператора.
Решение такого уравнения представляет собой задачу, вообще говоря, более сложную, чем решение уравнения второго рода, .и уравнение 127) не может иметь решения при любой правой части. Рассмотрим вначале в качестве простейшего примера уравнение т. е. уравнение с ядром 1 при 1 ( з, К(8,1) = 0 при1) з. т Оно имеет очевидное решение 9а18) = 1'18), если 1 абсолютно непрерывна и ее производная принадлежит Еа, и оно неразрешимо в противном случае. Покажем, что и в общем случае уравнение 127) не может быть разрешимо при произвольном 1 Е Н. Действительно, существование решения уравнения А9э = 7' при любом 1 Е Н означало бы, что этот оператор отображает Н снова на все Н.
Покажем, что это невозможно. Все Н можно представить как сумму счетного числа шаров Яа (например, шаров радиуса 1,..., п,... с центром в нуле). Каждый из них переводится компактным операторою А в прелкомпактное множество. Таким образом, замыкание 1шА есть сумма счетного Рл. !лб Линейные интегральные уравнение 490 числа компактов. Но в Н любой компакт нигде не плотен; в то же время Н, как и любое полное метрическое пространство, не может быть представлено как сумма счетного числа нигде не плотных множеств.
Таким образом, 1ш А ф Н; инымн словами, каков бь! ни был компактный оператор А в Н, уравнение А94 = 1 е может быть разрешимо при всех ! Е Н. Другой существенный момент состоит в том, что оператор, обратный компактному, не ограничен. Поэтому, если т! и !"т два близких между собой элемента из Н и оба уравнения Ауг! = ~ы Аугт =.69 разрешимы, то соответствующие решения 9о! = А '~~ и угз = А могут сильно отличаться друг от друга. Иначе говоря, сколь угодно малая погрешность в свободном члене уравнения может привести к сколь угодно большой ошибке в решении.
Задачи, в которых малое изменение исходных данных приводит к малому изменению решения (эта «малость» может в разных задачах пониматься по-разному), называются корректпными. Решение интегрального уравнения первого рода (в отличие от уравнения второго рода) некорректн я задача. За последнее время разного рода некорректные задачи и методы их регуляризации (ту е, сведения их к задачам. в том нлн ином смысле корректным) получили широкое развитие. Однако изложение этих вопросов выходит за рамки данной книги. '9 3.
Интегральные уравнения, содержащие параметр. Метод Фредгольма 1. Спектр компактного оператора в Н. Будем рассматривать уравнение Р=ЛА9 +У, или, иначе, (1 — ЛА) 9г = 1, где А — компактный оператор в гнльбсртовом пространстве Н, а Л вЂ”. числовой параметр.
В силу альтернативы Фредгольма возможны два и только два взаимоисключающих случая: 1. Уравнение (1) имеет при дагшом Л одно и только одно решение для каждого !' е Н. 2. Однородное уравнение уг = ЛАуо имеет ненулевое решение. 1 3. Интегральные уравнения, содержащие параметр 491 В первом случае оператор 1 — ЛА отображает, и притом взаимно однозначно, Н на все Н. Отсюда следует существование ограниченного обратного оператора 11 — ЛА) '. Это равносильно тому, что ч — ! оператор (А — — 1) определен на всем Н и ограничен; иначе говоря, в этом случае 1/Л не принадлежит спектру оператора .4. Пусть теперь имеет место вторая возможность, т.е. существует такой отличный от нуля элемент !рх 6 Н, гто 9сл = ЛАугл, или .49гл = Лугл; 1 тогда 1/Л есть собственное значение оператора А.
Мы получаем следующий результат: каждое отличное от, нуля число р = 1/Л является собстве~и м значением компактного опертпора А либо регулярно. Иными словами, у компактного оператора непрерывный спектр либо совсем отсутствует, либо состоит из одной точки д = О.
Объединив только что сказанное с теоремой 4 9 6 гл. 11', мы получаем следующее описание спектра компактного оператора в Н. Спектр любого компактного оператора А в Н состоит из конечного или счетного числа отличных от нуля собственных значений дг,..., дн,, .., каждое из которых имеет конечную кратность, и точки нуль. ) Точка нуль — — единственная возможная предельная точка для последовательности 1дн).
Сама точка !л = О может быть собственным значением конечной или бесконечной кратности, а может и не быть точкой множества собственных значений. Как было показано в и. 5 2 2 для уравнения д=ЛВд+У, где В интегральный оператор вольтеррова типа, всегда имеет место первый случай альтернативы Фредгольма (разрешив!ость при любом 1 б Ьг). Иначе говоря, спектр интегрального оператора типа Вольтерра состоит из одной точки р = О. Вместе с тем в конце и.
4 9 2 мы назвепги абстрактным оператором Вольтерра компактный оператор, спектр которого сводится к точке О. Поэтому можно сказать, что интегральный оператор Вольтерра является и абстрактным оператором Вольтсрра, и вся эта терминология оказывается оправданной. 2. Отыскание решения в виде ряда по степеням Л. Детерминанты Фредгольма. Формально решение уравнения 11 — ЛА)р=у ') р =- 0 обязательно принадлежит спектру г1, поскольку Л ! нс может быть ограничен в бесконечномерном Н (см.
следствие к теореме 2 в п. 2 1 6 гл. 1У). 492 !'и. 1Х. Линейные инпгегуапьные ураененин можно записать в виде р = 1е — л4)-'Е. (2) Эта формула действительно определяет решение, если !!ЛА/! < 1, т. е. !Л! < —, поскольку в этом случае оператор (Š— ЛА) суще- 1 — 1 ИГ ствует, определен на всем 1Е и ограничен (сы. п. 7 "9 5 гл.
1лг). При этом оператор (Š— Л.4) ~ можно представить как сумму степенного нида 1 (Е Л4) — ! 1+ЛА+Л2А2+ +Л А + сходимость которого (по норме) обеспечивается условием )Л! < < 1!гЙА9. Следовательно, решение (2) нашего уравнения (1) можно записать так: р = У+ ЛАЕ+ Л2А2У+ + ЛпАпУ+ .. (3) Этот же результат получится, если искать решение уравнения (1) в виде степенного ряда р,=р,+л+" +л"рп+.. (где рп от Л уже не зависят).
Подставив этот ряд вместо 9г в правую и левую части уравнения уг = ЛА9е+ 1 и приравняв затем коэффициенты при одинаковых степенях Л в обеих частях равенства, мы получим Ро =Уг уг! =АУ,, рп =А<рп — 4 = 4"У, т. е. ряд (3). Покажем, что если А — — интегральный оператор Гильберта Шмидта, т.е. оператор, определяемый квадратично интегрируемым ядром К(а,1), то оператор (Š— ЛА) ' при достаточно малых значениях Л может быть записан как сумма Е+ ЛГ(Л) единичного оператора Е и некоторого интегрального оператора ЛГ(Л) ГильбертаШмидта г квадратичио интегрируем!ям ядром, завигяшитг от параметра Л. Выясним сначала,, каким образом записываются ядра операторов Аз, Аз и т.
д. Рассмотрим для этого более общий вопрос: пусть даны два интегральных оператора А9 = ~ Ксз,1)<~14) Е1, В9 = 1 44(а,1):р(1) А1, и и где г 3. Интегральнеге урааненнл, еадернеатне параметр Найдем ядро оператора .4В. Имеем ь ь АВуг = ~(К(в,и) / Фи, ь)уа(ь) ей) в~и = а а ь ь = ) (/ К(в,иЯ(и, Ь) йи)р(г) М. а а Возможность изменения здесь порядка интегрирования вытекает из теоремы Фубини, поскольку подынтеьральная функция К(в, и) еег(и, ь) уг(ь) суммнруема по совокупности переменных и и ь как произведение двух функций К(в, и)р(г) и Я(и, г), квадрат каждой из которых суммируем. Положим ь Л(в,ь) = / К(в,иЯ(и,ь) ди; (4) а в силу неравенства Коши-.Буняковского имеем ь ь ~В(")~"- У ~К( и)~в"" У ~®(")~в"" а а откуда ь ь / (' !Л(в,гфсЬгзт < к~д~.
а а Итак, произведение двух интегральных операторов типа Гильберта— Шмидта есть оператор того же типа, с ядром, определяемым фор- мулой (4). В частности, положив А = В, получаем, что Ав есть интегральный оператор с ядром ь Кг(в,.г) = ( К(в,и)К(и,г) гьи, которое удовлетворяет условию ь ь ь ь УУ~ -'(',)(-'":-и1~К(в,)г в«1 = ', а а а а откуда ~~.4'"'~~ < к-', где ь ь "'= 1 У ~К(")~в"в"' а а Аналогично получаем, что каждый из операторов А" определя- ется ядрогн ь Кн(в,у) = УК„,(., )К(и.А) Ь, =2,З,..., а рл.
1Х. Линейные инигегуальные уравненил 494 удовлетворяющим условию ь ь / / ]Ки(8, 1)]'118 411 ~< й ". (5) ЯдРа Ки(8, 1) называютсЯ игпеРиРовапными ЯИРами. ПРи ]Л] < 1ггй РЯд К(8. 1) + ЛК2(8 е) + + л 1К (8 е) + сходится в силу оценки (5) в пространстве ьв([а, Ь] х ]и, Ь]) к неко- торой функции Г(8,4;Л), квадрат которой суммируем по 8 и г при каждом ]Л] < 1/Ь. Интегральный оператор Г(Л), для которого функ- ция Г(8, ь'; Л) служит ядром, есть сумма сходящегося ряда А+ ЛА1+ . + Л" 1Аи +...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
