1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 93
Текст из файла (страница 93)
рл. Х. Элелгенти дифференциального иеииелеиил 500 Действительно, из анализа хорошо известно, что для числовой функции У(х) = У(х ,...,хи) при и ) 2 из существования производной ~~ 1(х+ 16) при любом фиксированном 6 = (6ы..., 6„) еще не следует дифференцируемость этой функции, т. е. возможность представить ее приращение 1(х+ 6) — Г(х) в виде суммы линейной (по 6) части и члена вылив первого порядка малости относительно 6. Простейшим примером здесь может служить функпия двух переменных ~гх~ если (хм хо) 1 (0,0), У(х1 хг) хг ьхг р х (и) О, если (хмх ) = (О О) Эта функция непрерывна всюду на плоскости, включая точку (О, 0). В точке (О, 0) ее слабый дифференциал существует и равен О, поскольку Г У(0+ 16) — У(0) Г 14626~ г — го Вместе с тем этот дифференциал пе является главной линейной частью приращения функции (11) в точке (О, 0).
Действительно, если положить 6т = 6м то Ябм1гг) — ЙО,О) Г М Т ~ О ~~5(™~ — ~о 065 ь,го 26г ггбг + 64 Однако если отображение Е имеет сильную производную, то оно имеет и слабую, причем сильная и слабая производные совпадают. Действительно, для сильно дифференцируемого отображения имеем Е(х + 16) — Е(х) = Е'(т) (16) + о(16) = 1Е'(х) 6 + о(1Б), Р(х +16) — Е(х),( ) а(г6) г( Выясним условия, при которых из слабой дифференцируемости отображения Е следует его сильная дифференцируемость. Теорема 1. Есгти слабая производная Е„'(х) отображения Е существует в некоторой окрестности Гг точки хо н представляет собой в этой окрестности (операторную) функцию от х, непрерывную в хо, 1 1. Дифференцирование в линеанмх ироетранетваа 501 то в точке хо сильная производная Г'(хв) суп1ествует и совпадает со слабой.
Доказательство. По > 0 найдем б > 0 так, чтобы цри ))Ц < б выполнялось неравенство; ~~Г,'( о+6) — Г,'1 о)~!< . Применив к отображению Г формулу (10), получим: 0~Г(хо+6) — Г(хо) — Г,'(хо)Ц< зпр ~~Г,'(хо+Ой) — Г,'.(хо)~~ ~~Ц < е~~Ц. О<В<1 Тем самым имеет место (1), т.е, доказано как существование сильной производной Г'(хо), так и ее совпадение со слабой производной. В дальнейшем мы будем, если не оговорено противное, рассматривать такие отображения, которые дифференцируемы в сильном, а значит, и в слабом смысле.
б. Дифференпируемые функпионалы. Мы ввели дифференциал отображения Г, действующего из одного нормированного пространства Х в другое нормироваешое пространство У. Производная Г'(х) такого отображения при каждом х это линейный оператор из Х в У, т.
е. элемент пространства Е(Х, 1'). В частности, если 1' числовая прямая, то Г -- принимающая числовые значения функция на Х, т. е. функционал. При этом производная функционала Г в точке хв есть линейный функционал (зависящий от хо), т.с. элемент пространства Х*. П р и м е р. Рассмотрим в действительном гильбертовом пространстве Н функционал Г1х) = )(х()з. Тогда йх+ Цз — ))х()~ = 2(х, Ь) + ()Цз; величина 2(х, Ь) представляет собой главную линейную (по й) часть этого выражения, следовательно, Г'(х) = Р,'.(х) = 2х.
У и р аж н е н и е. Найти производную функционала ~~х ~ ~ в гильбертовом пространстве. (Ответа: х1"зхз при х ф О; при х = 0 не существует.) 6. Абстрактные функттии. Предположим теперь, что к числовой прямой сводится пространство аргументов Х. Отображение Г(х), сопоставляющее числу х элемент некоторого банахова про- странслва У, называется абтарактной функцией. Производная Г'® Гл. Х. Элементы дифференциального исчисление 502 абстрактной функции (если она существует) представляет собой [при каждом т) элемент пространства У --. касательный вектор к кривой Г(х). Для абстрактной функции (представляющей собой функцию одного числового аргумента) слабая дифференцируемость совпадает с сильной.
7. Интеграл. Пусть Г --. абстрактная функция действительного аргумента 1 со значениями в банаховом пространстве У. Если Г задана на отрезке [о, Ь), то можно определить интеграл функции Г по отрезку [а, Ь]. Этот интеграл понимается как предел интегральных сумм а — 1 ~ГЫ1)[ге 1 — 1ь) [12) отвечающих разбиениям и = 10 ( 11 ( ( 1~ = Ь, ~1 е [11,111-1). ПРи Условии, что 1пах(1ьц.1 — 11) -+ О. ИгггсгРал (пРсдставлЯющий собой, очевидно, элемент из У) обозначается символом Г Г[)11. а [13) Рассуждения, в значительной мере аналогичные проводимылг для функций, принимающих скалярные зна гения, показывают, что интеграл от функции, непрерывной на отрезке, существует; при этом он обладает свойствами обычного риманова интеграла.
Среди этих свойств отметим следующие. ~ ьгГ[г) 12 = 1г ~ Г[1) а. а а 2. Если Г[1) имеет вид 1[1)уо, где 1[1) а уе --- фиксированный элемент из У, то числовая функция, 1 Г Я г11 = до 1 )' [1) й1. а а ь ь ( [' ГЯгИ~ < ~ [[Г[г)[[111,. а а 1.
Если à — фиксированное линейное непрерывное отображение пространства Е в некоторое пространство л, то 1 1. Дифференцирование в линебногл простронстввл 503 Пусть снова Х и 1' - - нормированные пространства, а ВС(Х, У) линейное пространство всех непрерывных ограниченных ) отображений Х в У. В пространстве ВС(Х, У) можно ввести топологию, принимал за окрестности нуля множества ьгпг = (Г: ьнр ]]Г(х)]] ( 5).
бг5<п На подпространстве Е(Хо У) с ВС(Х, У) всех линейных непрерывных отображений Х в У эта топология совпадает с обы шой топологией в ь(Х, У), задаваемой операторной нормой. Пусть,1 = = [хо,хо + Ьх] какой-нибудь прямолинейный отрезок в Х. Допустим, что задано непрерывное отображение этого отрезка в пространство ВС(Х, У), т. е, что каждой точке х е 1 сопоставлено некоторое отображение Г(х) Е ВС(Х, У), непрерывно зависящее от векторного параметра х Е л'. Тогда можно определить интеграл от Г(х) по отрезку 1, полагая 1 Г( ) 1*= ~Г(х.+1~ )(~ )11 (14) го о (здесь Г(хо+1 Ьх) (Ьх) при каждом 1 Е [О, 1] есть элемент пространства 1', являющийся образом элемента оах Е Х при отображении Г(хо + 1глх)). Ясно, что интеграл, стоящий в правой части формулы (14), существует и является элементом пространства У.
Применим эту конструкцию к восстановлению отображения по его производной. Рассмотрим отображение Г,которое действует из Х в У и имеет на отрезке [хо, хо+ Ьх] непрерывно зависящую от х сильную произга '-аг водную Г'(х). Тогда существует интеграл / Г'(х) й. Докажем, га что имеет место равенство гожгтг Г (' ) сг = Г(хо + га' ) — Г(хо) (15) та обобщающее формулу Ньютона — Лейбница. Действительно, по определению ложат и — 1 / Г'(х) с1х = 1пп ~ Г'(хо +1а~х)(~х)Ьач-1 — 11) = 5 — оо го п — 1 = 1пп ~ ~Г'(хь)(Ьхь)о 1=О 1) Отображение Г: Х а У называется ограниченным, если лля всякого ограниченного множества О С Х множество г(г,г) ограничеао в У.
Нелинейное непрерывное отображение не обязательно ограничено. Гл. Х. еэлелгениги дифференциального иеииеленил 504 где глхь = (1ьт1 — 11)гЛх, б = щах(1141 — 11). 1 хь = хо + 1121х, Но в то же время при любом разбиении отрезка 0 ( 1 ( 1 имеем Г(хо+ 21х) — Г(хо) = ~~ ~Г(хо+1и-.гйх) — Г(хо+ 1ь2Лх)] = В=о и — 1 ~Яхьг1) — Г1хг)]. 1=0 По формуле 110) получаем ~Г1гхл -д ) — Г11хь) — Г ]хе ) Лгхь] Ь=о и — 1 ( ]]Ьх]] ~ ]1ьт1 — 11) зцр]]Г'ахи+ 01Ьхь) — Г'1хг)]]. 116) 1=0 о Так как производная Г'1х) непрерывна, а следовательно, и равно- мерно непрерывна на отрезке ~хо, хо + глх], правая часть неравен- ства 116) стремгится к нулю при неограниченном измельчении раз- биения отрезка ~хо, хо + 21х], откуда и вытекает равенство (15). В1ох1 + 13хз, х',) = а В 1х1, х1) + 14 Вгхз, х1), В1х1 1-"2'1 + г х2) оВ1х1 2'1) + г Вге1 х2) 8.
Производные высших порядков. Пусть Г -- дифференцируемое отображение, действующее из Х в У. Его производная Г'(х) при каждом х е Х есть элемент из ь(Х, 1'), т. е. Г' есть отображение пространства Л в пространство линейных операторов ь1Х, У). Если это отображение дифференцируемо, то его производная называется второй производной отображения Г и обозяа*гается символом Г". Таким образом, Г" 1х) есть элемент пространства ь1Х, с1Х,. У)) линейных операторов, действующих из Х в ь1Х, 1 ). Покажем, что элементы этого пространства допускают более удобную и наглядную интерпретацию в виде так называемых билинейных отображений. Мы говорим, что задано билинейное отображение пространства Х в пространство 1г, если каждой упорядоченной паре элементов х,хг из Х поставлен в соответствие элемент у = В1хгхг) е Е так, что выполнены следующие условия: 1) для любых х1, хз, х',, х!~ из Х и любых чисел а,41 имеют равенства: 1 К Дифференцирование в линеанмх ирветранетвах 505 2) существует такое положительное число ЛХ, что 'йВ(х,х')(! < ЛХ()хй 'йх'(! (17) В(х., х') = (Ах)х'.
(18) Очевидно, что это соответствие линейно. Покажем, что оно также и изометрично и отображает пространство В(Х, .В(Л, У)) на все про- странство В(Х'-', У). Действительно, если у = В(х, х') = (Ах)х', то ()уй < )!Ахй 'йх''й < йА() . 'йхй . 'йх''й, йВ(! < 8А(!. откуда (19) С другой стороны, если задано билинейное отображение В, то при фиксированном х б Х отображение х' — у (.4х)х' = В(х,:е') есть линейное отображение пространства Х в У.
Таким образом, каждому х е Х ставится в соогветствие элемент Ах пространства В(Х, У); очевидно, что Ах линейно зависит от х, т.е, билинейное отображение В определяет некоторый элемент А пространства е.(Х, ь(Х, У)). При этом ясно, что оеображенне В восстанавливается по А при помощи формулы (18) и (!Ахй = зцр ()(Ах)х''и = зцр йВ(х,х')(! < ()В!). ()хй, ~1.е'0<1 ~~<1 откуда И! < !!В!! (20) Сопоставляя (19) и (20), получаем !!АЦ = !!В!/. Итак, соответствие между В(Хз, 1 ) и Е(Х, Е(Х, У)), определяемое равенством (18), линейно и изометрично, а следовательно, взаимно однозначно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
