1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Частный дифференциал этой фу.нкции в точке (О, 0), отвечающий приращению Ь~ второго аргумента, имеот вид Ф~(0, 0) Л~ = Г'(хв) 71~ = А ех5. Оператор А = Ф' (0,0) имеет обратный, поэтому в силу теоремы о неявной функции уравнение Ф(6, б) = 0 в некоторой окрестности точки (О., 0) равносильно уравнению вида где ф(6) . дифференцируемое отображение, удовлетворяющее условию у7(0) = О.
Мы получили, что каждая точка х е Лфе., достаточно близкая к точке хв, имеет вид х = хв + Ь + 16(6) 6 Е Тв Ф(6) Е Тс Тем самым построено отображение хо + 6 ье хо + Ь, + Ф(6) Гл. Х. Элементн дифференциального иениеленил 516 некоторой окрестности точки хо в Тхо на окрестность той же точки в ЛХо.
Это отображение взаимно однозначно и непрерывно. Остается показать, что расстояние между соответствующими друг другу точками, т. е. величина ~~дг(6) ~(, имеет высший порядок малости по сравнению с '666. Дифференцируя равенство Ф(Ьь ф(6)) = О, имеем; Фь(0,0)Ь+ Ф~(0.,0)~г'(0)6 = Ф'„(0,0)6+ Аго'(0)11 = О, откуда уг'ЯЬ = — А ''ФЦ0,0)6 = — Л ''Р'(хо)Ь = О. Поэтому в равенстве цг(6) = гд(0) + ф'(0)6 + о(~~66) первые два слагаемых справа равны нулю, т, е. гр(6) = оНЬВ, что н требовалось. Теорема доказана. '5 3. Экстремальные задачи Один из самых старых и наиболее разработанных разделов нелинейного функционального анализа нахождение экстремумов функционалов.
Изучение таких задач составляет содержание так называемого вариацион ного исчисления. Большинство методов, существующих в вариационном исчислении, связано со специапьным видом тех функционалов, экстремальные значения которых ищутся. Однако некоторые общие приемы и результаты могут быть сформулированы и для более или менее произвольных функционалов. Не ставя себе здесь задачи сколько-нибудь полного изложения вариационцых методов, мы ограничимся кратким рассмотрением элементов общей теории, лежащих в основе нариационного исчисления. 1. Необходимые условия экстремума. Пусть Е некоторый действительный функционал, определенный на банаховом пространстве Х. Говорят, что функционал Р достигает а точке хо минимума, если для всех х, достато пю близких к хо, выполнено неравенство Е(х) — Е(хо) > О.
Аналогично определяется максимум функционала. Если в данной точке хо функционал Р достигает минимума или максимума, то мы будем говорить, что в этой точке функционал Е имеет экгларгмум. 5 3. Наатремааьнма аааани 517 К отысканию экстремумов тех или иных функционалов могут быть сведены многие физические и механические задачи.
Для функций и переменных хорошо известно следующее необходимое условие экстремума: если функция 1 дифференцируема в точке хв —— (хв,..., х,",) и имеет в этой точке экстремум, то в этой точке цг = О или, что равносильно, д7 д7 дх1 дх„ Это условие легко переносится на функционалы на произвольном нормированном пространстве. Т е о р е м а 1. Для того чтобы дифференцируемый функционал Г достигал в точке хв экстремума, необходимо, чтобы его дифференциал в этой точке равнялся нулю при всех 6.: Г'(хв)6 = О. Иначе говоря, необходимо, чтобы Г'(хв) = О.
Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению дифференцируемости имеем Г(хо+ 6) — Г(хо) = Г'(хо)6+ о(6) (1) Если Г'(хв)6 ~ О для некоторого 6, то при достаточно малых действительнык Л знак всего выражения Г'(хв)(Л6) + о(Л6) совпадает со знаком его главного члена Г'(хв)(Л6). Но Г'(хв) линейный функционал, поэтому Г'(хе)(Л6) = ЛГ'(хе)6. Следовательно, если Г'(хв)6 у: О, то выражение (1) может принимать при сколь угодно малых 6 как положительные, так и отрицательные значения, т, е. экстремума в точке хв быть не может.
Рассмотрим некоторые примеры. 1. Пусть Г( ) = ~ У(1, (1)) д1, (2) где ) непрерывно дифференцируемая функция. Этот функционал, рассматриваемый в пространстве С(а, Ь] непрерынных функций на отрезке (а, Ь), диффсренцируем. Действительно, ь Г(х+ 6) — Г(х) = ( (7(1,х(Х) + 6(1)) — 1(т,.х(т)))Й1 = а = 1 (,'(1,х(г))6(1) й+ о(6), а откуда г1Г = / Д (1, х(1)) 6(1) <И. а 518 рл. Х. Элементы дифференциального иечиеленил Равенство нулю этого линейного функционала для всех 6 е С[а, Ь] означает, что Е' [1, х[1)) = О. Действительно, при всяком х[1) Е С[п, 6] производная Д[1, х[ь)) есть непрерывная функция от й Если в какой-то точке ье она отлична от нуля, скажем, Д [Ее, х[1е)) > О, то это неравенство имеет место и в некоторой окрестности [о, Щ точки ье. Тогда, положив [Ь вЂ” ц)[[1 — Ь) пРи о < 1 < Р, 6[1) = О при остальных Ь получаем ь 1 Е"' [ьч х)6[1) еЕ1 > О. а Полученное противоречие доказывает наше утверждение.
Уравнение Д[Ь,х) = О определяет, вообще говоря, некоторую кривую, на которой фу.нкционал [2) может достигать экстремума. 2. Рассмотрим на том же пространстве С[а, 6] функционал ь ь Г[х) = 1 У К[с1, Ы к1)х[гв) Ес1Еа>, [3) а а где К[С1гСх) непрерывная функция, удовлетворяющая условию К[81 чев) = К[бег че1). Нетрудно подсчитать, что дифференциал этого фу.нкционала равен ь ь гЕр = 2 Г / КЯ, ~в)хф ) 6[~1) 146114~1. Если при всяком 6 Е С[а,Ь] это выражение равно нулю, то в силу рассуждений, проведенных в примере 1, имеем ь Е' К[С1,(з)х[~1) Щ = О для всех (г, а < (д < 6. а Одно ич решений этого уравнения .
- функция х ив э О. Ответ на вопрос о том, имеется ли в этой точке экстремум и существуют ли другие точки, в которых экстремум возможен, зависит от вида фу.нкции К[С1, Сз) и требует дополнительного исследования. 3. Рассмотрим функционал ь Р[х) =,Е Е[ь,хЯ,* [ь)) М, [4) оаредслецный на пространстве С' [и, 6] непрерывно дифференцируемых функций на отрезке [а,Ь]. Здесь х'[1) =, а Е(ьгх,х')— гьх [ь) ег'Ь дважды дифференцируемая функция своих аргументов.
Функционал (4) играет основную роль во многих вопросах вариационного Ь 3. Экстремальные задачи 519 исчисления. Найдем его дифференциал. Пользуясь формулой Тей- лора, получаем Ь'(.+6) -~(.) = М,,'+1ь, ау+6') - ~(ь,',')~~ = а ь = 1Ц,'6+ У,',6') Ф+ оаЦ), а где йбй' — норма функции 6 как элемента пространства С (о, Ь). Итак, необходимое условие экстремума для функционала (4) имеет ви д ь Г = Г Ц,'.6+ 7,'з 6') ~И = О. (5) В такой интегральной форме это у.словие мало пригодно для нахождения той функции я, на которой достигается экстремум.
Преобразуем его к более удобному виду, проинтегрировав в (5) член 7,,6 по частям ). Получим ь ь ь 1~.'„6 = 7.', — 1 Й~„',1. а а Таким образом, ь ь г)Г= У(.(а'- —,"ь~„'.)Ьг)б+Х.'.6 =О (6) ((У.' — —,',У.,',) 6а = О при всех 6, для которых 6(о) = 6(Ь) = О, откуда, в силу рассужде- ний, аналогичных проведенным в примере 1, получаем У,' — —,У,', = О. д (7) Поэтому равенство (6) сводится к ь г",6 =О. а (8) ') Эта операпия требует дополнительного обоснования, поскольку существование производной ла, входящей в выражение — 1',, не предполагается. См.
по ььь етому поводу .любой курс вариапионного исчисления. Это равенство должно выполняться при всех 6, в том числе и таких, для которых 6(о) = 6(Ь) = О. Следовательно, рл. Х. Элементы дифференциального иечиеленил 520 Если функционал (4) рассматривается на всех непрерывно дифференцируемых функциях х, определенных па [а, Ь], то мы можем взять Ь так, что 1![а) = О, 6[Ь) ф'= О, и тогда из равенства [8) получим (9) а положив 6[Ь) = О, 6(а) ~ О, получим [10) Таким образомг из условия [6) (т.е.
из равенства нулю дифференциала [4)) вытекает, что функция х, на которой функционал (4) достигает экстремума, должна удовлетворять дифференциальному. уравнению [7) и граничным условиям (9), (10) на концах отрезка [а, Ь]. Общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные и в нашем распоряжении оказывается как раз то число граничных условий, которое нужно для отыскания этих постоянных.
2. Второй дифференциал. Достаточные условия экстремума функционала. Вернемся снова к нахождению экстремума функции п переменных. Пусть для функции д(хы...,х„) в точке (хт,...,хо,) выполнено условие с!г = О. Тогда, как известно, для решения вопроса о том, действительно ли в данной точке имеется экстремум или нет, следует рассмотреть второй дифференциал. Именно, справедливы следуюгцие утверждения.
1. Естли функция д'[хт,...,хн) имеетв в твочке [хот,...,хо) минимум, то в отой точке ~Рд' > О. (Аналогично, если в точке [хм..., хн) имеется максимум, то в этой точке с1тд' < 0.) 2. Если в точке [х~т,...,х~а) выполнены услови с1Г = 0 и с!47" = ~, с1х,ах! > О агу гф=! [когда не все с1х, = 0), то в этой точке 7[х) имеет минимул! (аналогично, максимум, если гть1 ( 0). Короче говоря, неотрицательпость второго дифференциала необходима, а его положительная определенность достаточна для минимума.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
