1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 94
Текст из файла (страница 94)
При этом образ пространства В(Л, Е(Х, У)) есть все В(Хз, У). при всех х, х' б Л. Первое из этик условий означает, что отображение В линейно по каждому из двух своих аргументов; нетрудно показать, что второе условие равносильно непрерывности В по совокупности аргументов. Наименьшее из чисел И, удовлетворяющих условии> (17), называется нормой билинейного отображения В и обозначается ))В)!. Линейные операции над билинейными отображениями определяются обычным способом и обладают обычными свойствами.
Таким образом, билинейные отображения пространства Х в пространство У сами образуют линейное нормированное пространство, которое мы обозначим В(Хз, У). При полноте 1 полно и В(Х-', У). Квждому элементу А из пространства ь(Х, В(Х, У)) можно поставить в соответствие элемент из В(Хз, У), положив Гл. Х. Элементн дифференциального иениеленил 506 то х = хгег+. +х„,ееп р = уг(г+.
+р Тогда отображение р = Р(х) можно записать в виде рг = Гг(хы...,хт), 'ун = Ьгг(хг г . г хт) дрг дщ дщ дхг дхг ' ' ' дхт др„ два дно дхг дт; ''' дх, г'(х) = Вторая производная Рн(х) определяется в этом случае совокупностью п х т х щ величин ак;: = д д . Такую совокупность величин д'и, дх,дхг аь и можно рассматривать как определяемое формулой Ьк =~ аьпх; г=г линейное отображение пространства Х в пространство С(Х, У) или как определяемое формулой г уь = ~ ~пь,.тгх1 г,п=! билинейное отображение пространства Х в У. Очевидным образом можно ввести понятие третьей, четвертой и вообще п;й производной отображения Р, действующего из Х в У, определив и-ю производную как производную от производной (п — 1)-го порядка.
При этом, очевидно, п-я производная представляет собой элемент пространства б(Х, б(Х,..., б(Х, 1 )... )). Повторяя рассуждения, проведенные для второй производной, можно каждому элементу этого пространства естественным образом поставить в соответствие элемент пространства гг'(Л ", У) и;линейных Мы выяснили, что вторая производная р'о(х) есть элемент пространства ь(Х, б(Х, У)). В соответствии с только что сказанным мы можем считать Рн(х) элементом пространства гг(Хт, У). Рассмотрим элементарный пример. Пусть Х и У -" конечномерные евклидовы пространства размерностей щ и и соответственно.
Тогда каждое линейное отображение Х в У можно задать некоторой (и х гп)-матрицей. Таким образом, производная Р'(х) отображения Р, действующего из Х в У, есть (зависящая от х е Х) матрица. Если в Х и У выбраны базисы, скажем, еы,,.,е в Х и (ы...,~„вУ, 1 К Дифференцирование в линейнмх нроетранетваа 507 отобрэ кений Х в У.
При этом под п-линейнгим отобр жениеле понимается такое соответствие у = А7(х', х",..., х~о~) между упорядоченными системами (х', х",..., хбй) элементов из Х и элементами пространства У, которое линейно по каждому из х' при фиксированных остальных элементах и удовлетворяет при некотором АХ > 0 УСЛОВИК5 Таким образом, и-ю производную отображения т' можно считать элементом пространства 7е'(Х", У).
9. Дифференциалы высших порядков. Мы определили (сильный) дифференциал отображения г' как резулепат применения к элементу Ь Е Х линейного оператора Е'(х), т. е. ДР' = го(х)6. Дифференциал второго порядка определяется как сРГ=г'о (х) (Ь, 6), т.е. как квадратичное выражение, отвечающее отображению Р'7х) Е В(Хт, 1'). Аналогично дифференциалом и-го порядка называется е1"Г = Г~"~(х)(7о,а,...,6), т.е.
тот элемент пространства У, в который элемент (1е,1в,...,1е) е Х х Х х . х Х = Х" переводится отображением г ещ(х). 10. Формула Тейлора. Сильная дифференцируемость отображения г' означает, что разность г (х + 6) — г (х) может быть представлена в виде суммы линейного члена и слагаемого, имекпцего порядок вьппе первого относительно йЦ. Обобщением этого факта является формула, аналогичная формуле Тейлора для числовых функций.
Теорема 2. Пусть Е отображение, действующее нз Х в У, определенное в некоторой области О с Х и такое, что тц"~ (х) существует и представляет собой равномерно непрерыщеую функцию от х в О. Тогда имеет место равенство Е(х+ й) — Г(х) = Е (х)6+ 2,Г '1х)(Ь, 6) + .. + —,Е~"~(х)(6,..., Ь) + ~(х, .6), (21) где //оо(х,б)!/ = о(/!Ьци). Доказательство будем вести по индукции. При и = 1 равенство (21) тривиально. Возьмем теперь произвольное фиксированное п и предположим, что равенство, получающееся из (21) заменой и на и — 1., уже доказано для всех отображений, удовлетворяющих рл.
Х. Элементы дифференциального иечоеленил 508 условиям теоремы, в которых и заменено на и — 1. Тогда для отображения Г' имеем 2' +,Г~ "г(х)(6,..., 6) + шь(т, 6), (22) где цгог(хг6)ц = о(568о ~). Интегрируя обе части равенства (22) по отрезку [х, х+ 6) и пользуясь формулой Ньютона — Лейбница (13), мы получим 1 Г( +6) — Г(х) ее) Г'( +16) = Г~(Г'(х)+СГ™(х) + о о + 11зГо(х)(6,6)+ 1,1ч 'Г1"~(Ьг...,й)~~~Ьг11+Л~, (23) 1 где Гьо = /ыг(х,16)ЬМ. о Из (23) получаем Г(х + 6) — Г(х) = Г'(х)Ь+ причем 'цВ„8 < ( 'цшг(х,, еЬ)ц' . '86цгге = о(~16~~"). о Тем самым наше утверждение доказано. Формулу (21) называют формулой Тейлора для отображений.
8 2. Теорема о неявной функции и некоторые ее применения 1. Теорема о неявной функции. Одна из важнейших теорем классического анализа, имеющая разнообразные применения, это теорема о неявной функции. Мы сейчас покажем, что эта теорема переносится без больших изменений с числовых функций на отображения произвольных банаховых пространств. Теорема 1. Г1усть Х,У,Я вЂ” банаховзя пространства, бг окрестность точки (хо,уо) е Х х У и Г -- отображение ГГ в У, обладающее следующими свойствами: 1. Г непрерывно в точке (хо, уо). 2. Г(хо,уо) = О.
О К 7'евремв о неявной' функции 509 3. Частная производная ~е(х,у) сугцегтвует в Г и непрерывна в точке (хо, до), а оператор Е„'(хо> уо) имеет ограниченный обратный. Тогда уравнение Г(х, у) = О разрешимо в некоторой окрестности точки (хо,уо). Точнее это означает следующее: существуют такие е > О, б > О и такое отображение у = 1 (гг), (1) определенное при [[х — то[[ < б и непрерывное в точке хо, что каждая пара (х,у), для которой [[х — хо[[ < б и д = 7"(х), удовлетворяет уравнению г'(х,у) = О, (2) и обратно, каждая пара (х,у), удовлетворягощая уравнению (2) и условиям [[т, — хо[[ < б, [[у — уй[[ < е, удовлетворяет и (1). Доказательство.
Обозначим через Г>ОО с 1' совокуш>ость тех у, для которых (х,у) Е Г при данном х. Будем считать, что [[х — хо[[ настолько мало, что уо Е Г~Ю, и рассмотрим определенное на У~я~ отображение А> р А( ~д = у — [Р'„(хо,до)) Г(х,д). (3) Ясно что авнение ур А,,у = у равносильно уравнению г'(х> у) = О. Для доказательства существования решения уравнения (3) применим принцип сжимающих отображений. С етой целью покажем, что для каждого лостаточно малого е > О найлется такое б > О, что при [[х — хо[[ < б отображение Аг,> является сжимающим и переводит шар [[у — уй[[ < е в себя.
Начнем с того, что вычислим и оценим по норме производную отображения Аг,р Имеем в силу формул (3)- (5) 9 1: А[.~(д) = 1 — Р ( о, до)) ''Г„'(х, у) = = [ги(хо,до)) [го(хо,до) — го(х У)). В силу. непрерывности производной р'Г в точке (хо, уо) можно выбрать е и б так, что [[.4'я (у) [[ < д < 1. Это неравенство вследствие формулы конечных приращений означает, что отображение я1(х) пространства 1 при любом х, удовлетворяющем неравенству [[х — хо[[ < д на шаре [[у — до[[ < е является сжимающим.
Оценим теперь [[А(к~уй — уо[[. Имеем: [[4ббдо — Уо[[ < [[[р'„'(хо, Уо)) '[[. [[Г(х, Уо)[[ = = [[[г„(хо Уо)) [[ [[г (х Уо) — г (хо Уо)[[. Гл. Х. Элементе дифференциального иениеленил 510 В силу непрерывности отображения Р в точке ]хо,уо) последнее выражение можно сделать за счет выбора б сколь угодно малым. Пусть б > О настолько малб, что ПА~х>уо — уоП < е]1 — у) при Пхо — тП < б. Проверим, что при таком выборе б отображение АОО переводит замкнутый шар Пу — уоП ( е в себя.
Действительно, если Пх — хоП < б и Пу — уоП < е, то из формулы конечных приращений получим П 4~~~У вЂ” УоП < ПА(юуо — УоП+ П 4ООУ вЂ” 4~,.>уоП < ( е]1 — Ч) + ьпр П 4<а>(уо+ У(у — Уо))П ' Пу — УоП ~~ о<о<о < 511 — у) + еу = ю Итак, при Пх — хоП < б отображение А~е~ переводит замкнутый шар 1]у — уо]1 ( е в себя и является на этом шаре сжимающиьь Значит, в этом шаре существует единственная неподвижная точка у' = 1]х), т.
е. точка, .для которой у* = у* — 1Р„'(хо,уо)] 'Р]х,у'), т. е. в силу. условия 3 теоремы г'1х,у') = О. Отображение у и есть искомое. Действительно, справедливость уравнения 12) уже проверена. Равенство ~(хо) = уо вытекает из единственности неподвижной точки для отображения А~ ар а непрерывность построенной функции 1 следует из того, что в приведенных выше рассуждениях величина з может быть взята сколь угодно малой. Замечание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
