1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Действительно, если Асье — Азуг = / (Кс(з,1) — Кз(зг 1))уг(1) д1 = О а для всех ы Е Т,в[а, Ь), то при почти всех з Е [а, Ь) ь 1 [Кс(8,1) Кк(,1)[ д1 — О и, значит, / / [Кс(з,1) — Кз(з, 1)[9<1зд1 = О, а а откуда н следует наше утверждение. Таким образом, если мы, как обычно, не будем различать эквивалентные между. собой суммируемые функции, то можно сказать, что соотоетстоие между интегральными онераспорами и ядрами взаимно однозначно. Теорема 2.
Пусть А оператор Гильберта — Шмидта, определяемый ядром К(з, 1). Тогда сопряженный ему оператор А' опреде; ляется с<сопряженным» ядром К(з, 1). Доказательство. ИсцользУЯ теоРемУ сРУбиииг полУчаем ь ь ь ь (А~ д) = / ( / К(з,1Щ1) д1) д(з) дз = / / К(з, 1) /(1)д(з) д1 с1з = а а а а ь ь ь 6 = / ( / К(з,1)д(з) дз1/Х(1) д1 = / /(1) ( / К(з, 1)д(з) дз~/д1 = а а а а га УгА д), откуда и следует утверждение теоремы.
В частности, оператор А вида (3) самосопряжен в ба[а,Ь), т.е. А* = А, тогда и только тогда,, когда К(з, 1) = К(1, з). В случае, когда рассматривается действительное гильбертово пространство (и, стало был гн действительные ядра), условием самосопряженности служит равенство К(з, 1) = К(1, з). Замечание. Мы рассмотрели интегральные операторы, действующие в пространстве Аз[а, Ь). Однако как все сказанное выше, так и излагаемые ниже результаты переносятся без изменений ца тот случай, когда вместо отрезка [а, Ь[ берется любое другое пространство с мерой. Гл. 1Х. Линейные интегральные уравнения 480 2. Уравнения с симметрическим ядром.
Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма второго рода гр(з) — /' К(з, 1)грЯ М+ 7(з), (5) ядро которого удовлетворяет условиям ь ь ') У Г ~К~")~з"'"" а а 2) К(з, «) = К(1, 8). Мьг будем называть такие уравнения уравнениями с симметрическим ядром. В силу теореьг 1 и 2 предыдущего пункта соответствующий оператор Фредгольма Агр = / К(ьй 1)грЯ г11 (6) (7) По теореме Гильберта — Шмидта для А существует такая ортонор- мальная система собственных функций (у1„), отвечающих ненуле- вым собственным значениям г Лп ), что каждый элемент ( из Ьз пред- ставим ввиде а„гуп+(', где Аб' = О.
и Положим 5пгвп+ ~', А~' = О, и и будем искать решение гр уравнения (7) в виде (8) 'р = ~'' лап угп + 'р г Ад' = О. (9) Подставив разложения (8) и (9) в уравнение 17), получим тпг)гп + р = ~~' лиЛпг)гп + ~ ЬпФ~ + 7 . компактен и самосопряжсн. Следовательно, для него справедлива теорема Гильберта-Шмидта (и. 5 8 6 гл. 1У), Применим эту теорему для отыскания решений уравнения (5). Поскольку для нас имеют значение лишь компактность и самосопряженность оператора (6), а не его интегральное представление, естественно писать уранненис (5) в символической форме: 8 2. Интегральные ураененил Фредгольыа 481 Это равенство удовлетворяется в том и только том случае, когда У =угг к„(1 — Л„) = Ьн, и = 1,2,.
т.е.когда У =у» т„=1 "Л при Ли~1, Ь„ Ь„=О при Л, =1. Последнее равенство дает необходимое и достаточное условие разрешимости уравнения (7). Координаты я„, отвечающие тем и, для которых Л„= 1, при этом произвольны. Мы получаем, таким образом, следующий результат. 3. Теоремы Фрндгольма. Случай вырожденных ядер. Мы перейдем теперь к рассмотрению уравнений Фредгольыа второго рода с ядрами, подчиненными условию ь ь а а (обеспечиваюпгеыу компактность оператора), но без условия симметрии.
Предположим сначала, что рассматривается уравнение ь у Ь ) — ~ Куг,Ь)у:(Ь) «1+ Уье), (10) ядро которого —. вырожденное, т.е. имеет вид н К(5,1) = )' Рг(З)(ьгггт), 1=1 где Ро Щ . функции и:з Ез. Оператор с ядром вида (11) переводит всякую функцию уе е Ез в сумму л ь (11) Е Р'(а) У 1'Ч') <') " Теорема 3.
Если 1 не является гобственныгн значением оператора А, то уравнение (7) нри льобоы 7" имеет одно и только одно решение.. Если же 1 есть собственное значение оператора А, то уравнение (7) разрешимо в том и только том случае., когда свободпый член 7' ортогонален всем собственным функциям оператора А, отнеча,юшин собственному значению 1. Если это последнее условие выполнено, то уравнение (7) имеет бесконечное множество решений.
Гл. 1Х. Линейные интегральные уравнение 482 уг(в) = ~ Рь(в) / О (1)уг(1) 111-Ь У(в). (12) Введя обозначения ь ~ 4„41(1)д(1) 1 = 1„ а перепишем уравнение (12) в виде п Ь ( ) = ~, у Р:(з) + .Г'( ) 1=1 Подставив это выражение для ьг в уравнение (10), получим и и ь и 111Р1(в) + 1(в) = ~~1 Р,(а) (' 4)г(1) [~~ д:Р (1) + Ьг(1)~ М+ 1" (8). (13) Положив ь ь /М ) () *, /'О ()У() запишем равенство (13) так; и и и д,Р,(8) = ~ ~Ре(8) ~~ а,1111+ 6,~. г=.1 г=1 1=1 Функции Р,, по предположению, линейно независимы, поэтому отсюда следует равенство соответствующих коэффициентов: и ги = ~~1 И;,.111 + 6„1 = 1,..., П.
(14) т. е. в элемент конечномерного подпространстваг порожденного функциями Р, (ь = 1г... г и). Заметим, что в выражении (11) функции Р1,..., Р„можно считать линейно независимыми между собой. Действительно, если это не так, то, представив каждую из функций Рь как линейнукь комбинацию независимых, мы получим, что то же самое ядро К(8,1) можно записать в виде суммы меньшего числа слагаемых вида Р (в)1„11(1), так что функции Р линейно независимы. Аналогичную редукцию можно проделать для функций ф. Как легко видеть, после этих редукций получится ядро, в котором и Р:, и 4,11 будут между собой линейно независимы. Итак, будем решать уравнение (10) с вырожденным ядром (11), в котором функции Р„..., Ри (так же, как и ь„ь1,..., ь„ьи) линейно независимы. Подставив в уравнение (10) вместо К(8,1) соответствующую сумму, получим 1 и Интегральные уравнения Фредгвльма Мы получили для коэффициентов уд систему линейных уравнений.
Решив ее, мы найдем функцию п р( ) = ~у Р( )+г'(в) г=4 Эта функция удовлетворяет интегральному уравнению (10), поскольку все выкладки, с помощью которых мы пришли от уравнения (10) к системе (14), можно проделать в обратном порядке. Итак, решение интегрального уравнения с выроэюденным ядром свобится к решению соответспшуюшейг ему сггспгвмы (14) линейньгх а,лггбраических уравнений. Для систем линейных уравнений хорошо известны условия существования и единственности решений.
1. Система линейных агп ебраичсских уравнений Тх = у, Т = ~)агг~), х = (хы.,., х„), у = (уы,.,, у„), разрешима в том и только том случае, когда вектор у ортогонален каждому решению сопряженной однородной системы Т'г = О, Т* = ))аь,(!. П. Если детерминант матрицы Т отличен от нуля, то уравнение Тх = у имеет при любом у одно и только одно решение. Если же детерминант матрицы Т равен нулю, то однородное уравнение Тх = 0 имеет ненулевые решения. П1. Поскольку матрица Т и сопряженная матрица Т' имеют один и тот же ранг, однородные системы Тх = 0 и Т'г = 0 имеют одно и то же число линейно независимых решений. В силу той связи, которая, как мы выяснили, сурцествует между интегральными уравнениями с вырожденными ядрами и системами линейных алгебраических уравнений, зги утверждения можно рассматривать как теоремы, относящиеся к решениям вырожденных интегральных уравнений.
в1ы покажем в следующем пункте, что, по существу, эти же теоремы имеют место и для уравнений с произвольными (но обязательно вырожденными) ядрами. Однако, поскольку для невырожденных интегральных операторов такие понятия, как ранг матрицы и детерминант не имеют смысла, соответствующие теоремы нужно будет сформулировать так, чтобы зти понятия в них не участвовали. р(в) = / К(г, 4)го(1) г1г + ((в), а (15) 4.
Теоремы Фредгольма для уравнений с произвольными ядрами. Будем снова рассматривать уравнение рл. 4Х. Линейные инигегувльныв уравнения 484 но теперь на его ядро будем накладывать лишь условие Гильберта Шмидта 1 1 ~К(гч 1)1гд. й < а в (обеспечивающее компактность оператора), по не будем это ядро предполагат» ни вырожденным, ни симметрическим. Нас будут интересовать условия разрешимости уравнения (15) и свойства его решспий.
При этом сущсственным для нас будет лишь свойство компактности оператора, отвечающего уравнению (15), а не его интегральное представление. Поэтому мы будем все дальнейшие рассмотрения вести для операторного уравнения (16) считая, что А .-- произвольный компактный оператор, заданный в гильбертовом пространстве Н. Положив Т = 1 — А (где 1 единичный оператор), перепишем . авнение 16 в виде ур Тр=У (17) Будем наряду с этим уравнением рассматривать однородное уравнение Туго = 0 (18) и сопряженные уравнения Т*~=д, Т*угг„= О (19) (20) (Т" = 1 — А*).
Связь между свойствами решений этих четырех уравнений устанавливается следующими теоремам и Фредголь ма. 1. Неоднородное уравнение Тр = г' разрешимо при тех и только тех !", которые ортогональны каждому решению сопряженного однородного уравнения Т'г(го = О. П (Альтернатива Фредгольми.) Либо уравяение. Тгр = г" имеет при любом г" Е Н одно и только одно решение, либо однородное уравнение Тгро = 0 имеет ненулевое решение, П1.
Однородные уравненгьн (18) и (20) имеют одно и то же, и притом навечное, число линейно независимых решений. Прежде чем приступать к доказательству этих теорем, заметим, что они справедливы (в силу сказанного в и. 2) для уравнений с симметрическим ядром.
При этом в силу совпадения А и .А* теорема 1П становится тривиальной. С другой стороны, если А —. вырожденный интегральный оператор, то соответствующие уравнения сводятся, как мы видели выше, 1 2. Интегральные уравнение Фредгвлына к системам линейных алгебраических уравнений; при этом теоремы Фредгольма автоматически переходят в теоремы о линейных системах, приведенные в предыдущем пункте. Поскольку всякий компактный оператор есть предел сходящейся последовательности вырожденных, т. е. конечномерных, операторов, мы могли бы доказать теоремы Фредгольма с помощью соответствующего предельного перехода (от вырожденных ядер к невырождепным).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
