1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Из предположения, что хР 7" (х) 6 Аз( — оо, оо) нри всех р, вытекает бесконечная диффсренцируемость функции д. Допустим теперь, .что ег"' ((х) 6 бз( — со, оо) при некотором д > О. Тогда д(Л) распространяется с действительной оси Л как аналитическая функция в полосу на плоскости ч = Л+ 4р комплексного переменного, причем ширина этой полосы тем болыпе, чем больше б.
Во всяком случае можно утверждать, что д будет аналитической функцией при [р[ < б. Действительно,интеграл У(х)е ыг дх, очевидно, будет сходиться прн [р[ < д и определять непрерывную функцию, совпадающую с преобразованием Фурье функции 7" на действительной оси. Тот факт, что эта функция дифференцируема при [р[ < д в смысле теории аналитических функций, доказывается совершенно так же, как свойство 6. 448 Рл. У!П. Рлдн. Преобразован л Фурье 3.
Полнота функций Эрмита и Лагерра. Используя соображения, изложенные в предыдушем абзаце, можно показать, что если измеримая функция 7' почепа всюду на интервале (а, Ь), где — со<а<6<со, отлична озг! О, и удовлхтворяезп условию )Дх)( < < Се 4<з, где Ь > О, пзо система функций (х"! (е)) (и = О, 1, 2,... ) полна в ! г(а, Ь). Отсюда, в частности, будет следовать, что функции Эрмита образуют полную систему в 6г( — оо, оо), а функции Лагерра - - в Ьт(О, со) (см. п. 7 ~ 3 гл.
ЛУП). Докажем сформулированноо утверждение о полноте. Предположим, что система (х" ((х)) не полна. Тогда в силу теоремы Хана Банаха найдется такая ненулевая функция 6 е !.г( — со, со), что х"д(х)6(х) дх = О, п = О, 1,2,... (Мы использовали теорему об обшем виде линейного непрерывного функционала в гнльбертовом пространстве; если рассматривается комплексное Ез(а, Ь), то вместо 6(х) надо писать 6(х).) Ясно, что !"!з Е Е!(а,Ь) и, более того., ебй'~~6 Е Е!(а,Ь) при любом б! < Ь.
В дальнейшем удобно считать, что 1(х) и 6(х) определены на всей прямой, продолжая их, если необходимо, за (оь Ь) нулем. Пусть д преобразование Фурье функции г" йь т. е. д(Л) = ! 1(х)6(х)е ' " дх. Из сказанного выше следует, что функция д продо;пкагтся как аналитическая в полосу ~1ш С < б. С другой стороны, в силу свойства б все производные этой функции при Л = 0 обращаются в О, так что д(Л) = О. По свойству единственности, доказанному в и. 1, отсюда следует, что !'(х)6(х) = 0 почти всюду и, следовательно, 6(х) = 0 почти всюду, так как г(х) почти всюду отлична от О. Но это противоречит нашему предположению о том, что 6 ненулевая функция.
Полученное противоре зие и доказывает полноту системы (ха ! (х)). 4. Преобразование Фурье быстро убывающих бесконечно зтифференцируемых функций. Пользуясь тем, что при переходе от функции 1 к ее преобразованию Фурье д свойства гладкости функции и убывания ее на бесконечности меняются ролями, легко указать естественные классы функций, которые переводятся преобразованием Фурье сами в себя. Пусть д, . совокупность бесконечно дифференцируемых функций на прямой, для каждой из которых существует набор постоянных Сро (зависяших от самой функции 7 и чисел р, д) таких, что ~хг (~о~ (х) ~ < С .
(7) 1 4. Преобразование Фурье, евонеьвво и нромененив 449 Покажем, что если 1 Е о, то и д = Е[1] Е о . Прежде всего из (7) следует абсолютная интегрируемость каждой из функций х" (® (х). Действительно, .поскольку (7) выполняется при всех р и д, то ]хр)м(х)] ( ср 2 4~ х, т.е. функция хо(®(х) убывает не медленнее, чем 1/хз. Отсюда в свою очередь следует, что функция г'[1] имеет производные всех порядков.
Наконец, согласно п. 2, из суммируемости (~в~(х) (д = 1,2,...) следует, что д = Г[1"] убывает на бесконечности бы- стрее, чем 1/[Л[о. Рассмотрим теперь функции (зл) д®(л) = (-4)ч [( У( ))~ ~]; каждая из иих, как преобразование Фурье интегрируемой функции, огРаничена некотоРой постоЯнной 14ро. Таким обРазом, если 1 Е о „ то н д = 7г[г] е 5 . Обратно, пусть д е о, тогда, по доказанному, функция д(Л).-" 1х входит в 5 . Положим 7(х) = — 1*( — х). Ясно, что 1 Е о' . В то же 1 время по формуле обращения д(о) 2я ) 1'(х)е ' гзх = ) з(х)е ' евх, т.е. д есть преобразование Фурье функции 1 б о .
Итак, преобразование Фурье переводит класс 5 снова в весь класс 5 . Ясно, что это отображение взаимно однозначно. Упражнение. Пусть 1 Е о и ('хот(х)е1х = О прв всех р ) О. Следует ли отсзода, что 1(х) = 07 5. Преобразование Фурье и свертка функцнй. Пусть 11 и 19 интегрируемые на всей прямой функции. Функция У(*) ое ~ ЛЫ)Ы*- О К называется их сверткод. Функция 1(х) определена при почти всех х и интегрируема. Действительно, двойной интеграл 1 Г ~аЫ.-б)«~.
существует, поскольку существует интеграл 1 ~~,®)~9(О)[б О 450 Гл. Ътн. Ряды. Превбрвввваньл Фурье (см, замечание к теореме Фубини, п. 4, '0 6, гл. Л'). Следовательно, существует и интеграл г (я) д~ / ~'~ / Л(6.(2(т О свь. Функция д обозначаотся символом Л * Гг. Вычислим преобразование Фурье свертки двух функций из Ьь Применяя теорему Фубини и полагая т — С = ц, получаем у(т)в ' 'Йя = ( ( ) Л(с)Л(х — Д) Ж)е ' 'е4я = / ЛЮ( / Л(я-1)е-"дт) К= — Г Л(с)( )' Б(у)с '"с 4"'4у~ б = Лг(у)е гл" г4г4 / Л(С)е '~4 аС, т.
е. Р'(Л * Л] = Р'УМ'у"г1 Итак, преобразование Фурье переводит операцию свертки в более простую операцию — — умножение Функций. Этот факт играет важную роль во многих применениях преобразования Фурье. 6. Применение преобразования Фурье к решению уравнения теплопроводности. Применение преобразования Фурье к дифференциальным уравнениям основано на том (см. п. 3), что оно переводит операцию дифференцирования в операцию умножения на независимое переменное.
Следовательно, если у нас имеется линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффици- ен тами у~"'~+агу~о ~ + . + а„гу +а„у = уг(т), (8) то преобразование Фурье переводит его в алгебраическое уравнение вида (гЛ)вз+ аг(4Л)" ~с+ + а„гдЛг+ а„з = Ф(Л)., (9) где з = Е[у) и Уг = Е(Д. Однако для обыкновенных дыфференциальных уравнений этот прием не открывает каких-либо существенно новых перспектив, так как решение линейных уравнений с постоянными коэффициентами и без того не представляет больших трудностей. Кроме того, переход от (8) к (9) возможен, если неизвестная функция у = у(я) интегрируема на всей прямой, а для решений 1 4.
Преобразование Фурье, евоаеьава и применение 4В1 линейных уравнений с постоянными коэффициентами это, вообще говоря,не имеет места. Более существенно применение преобразования Фурье к уравнениям с частными производными, где оно позволяет., при определенных условиях, свести решение такого уравнения к решению обыкновенного дифференциального уравнения. Покажем вто на примере решения задачи Коши для уравнения теплопроводности. Будем искать решение уравнения ди1х,1) д и1х,1) (10) дт дх' при — оо < х < оо и 1 > О, обращающееся при 1 = 0 в заданную функцию ие(х).
Физический смысл этой задачи состоит в нахождении температуры бесконечного теплопроводящего стержня в любой момент времени 1 > О, если в начальный момент 1 = 0 его температура в каждой точке есть ие(х). Предположив, что ив(х), ио1х) и и,",(х)) принадлежат Е~ ( — оо, оо), будем искать решение поставленной задачи в классе функций и(х, 1), удовлетворяющих следующим условиям: 1) функции и(х,1), п,,(х,б), иа (х,,1) абсолютно интегрируемы по всей оси х при любом фиксировалшом 1 > 0; 2) функция пе(х, 1) имеет в каждом конечном интервале 0 < 1 < Т интегрируемую мажоранту Дх) (не зависящую от 1): (,)~ У(): Выполним в уравнении (10) преобразование Фурье по х.
При этом справа мы получим Е)и„(х,г)] = — Лзи1Л,г), где и(Л,г) = Р1п(х,1)), а слева в силу условия 2) имеем Г)ио] = / ио(х,т)е '~аезх = — / и(х,1)е 1~ пх = ие(Л,б). Таким образом, преобразование Фурье переводит уравнение (10) в обыкновенное дифференциальное уравнение и,(Л,1) = — Лзи(Л, И), для которого нам теперь нужно найти решение, обращающееся при 4 = 0 в функцию по(Л) = Е11по(х)) = /' по1х)е 11'Ы.. 4о2 Гл.
Ъ7П. Роды. Г!реобрввоваиив Фурье Таким решением будет, очевндно, о(Л,1) = е ~ ~по(Л). Теперь, для того чтобы получить решение вашей первоначальной задачи, остается найти ту функцию и(х, 1), преобразованием Фурье которой служит функция о(Лг 2). Используя пример 4 п.
1, получаем е =г'[ — е 2ъЯ Поэтому и(Л,Ю) = г'[ е * ~ '~] г(ио(х)) = г'[ е ' ' * ио(х)], т. е. ггцв ~ и(х,4) = / е ~ ' ио(х — С)сК. 2>Ух *г Мы получили так называемый интеграл Пуассона для решения уравнения теплопроводности. 7. Преобразование Фурье функций нескольких переменных. Преобразование Фурье, рассмотренное нами для функций одной переменной, легко переносится на функции нескольких переменных. Пусть Дхы..., х„) --.
функция, интегрируемая по всему и-мерному пространству К". Ке преобразованием Фурье называется функция д(Лы...,Л„) = ( ... / Дхы...,хо)е Ц" '~"'~*" "~в4х с1х Этот и-кратный интеграл, заведомо существующий, поскольку Д(хы..., х„) гинтегрируема, можно записать, по теореме Фубини, в виде следующего повторного интеграла: у(Л„...,Л„) = =.(( Т(Г ' х-) "" х) Х Е егхгг В1Х )Š— ггд Х ДХ Иначе говоря, можно перейти от функции п переменных к ее преобразованию Фурье, последовательно выполняя преобразования по 1 4. Преобразование Фурье, евокеппва и применениа 453 каждой из переменных в отдельности (в любом порядке).
Обращая последовательно каждую из п операций в правой части равенства (11), получим формулу Г(хь,...,.х„) — „ / (... ( ( / д(Л1,...,Л,)х х *е-л-1Л ~ '-"-"-- ~1Л ) '*" 1Л 1. Ес можно переписать в виде и-кратноео интеграла 1(Х1; ° ° ~Хи) ео 1 Г Г д(Л,,Л )ец* 11л" ле-л-)НЛ дЛ, (12) однако, поскольку функция д(Л1,..., Лп), вообще говоря., не обязана быть суммируемой по всему К", нужно указать, в каком сл1ысле СЛЕДУЕТ ПОНИМатЬ ЭтОт ИНтЕГРаЛ И тЕ УСЛОВИЯ На Г(Х1,..., Хп), ПРИ которых она представляется интегралом (12). Один из возл|ожных ответов на эти вопросы дает следующая теорема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
