1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Теорема 1. Пусть функция Г"(х1,...,хп) интегрирусма по всему пространству И" и удовлетворяет условияме ~У(х1 + 41, хщ..., хп) — 1 (х1,..., х„) ~ < С(41 (', (Д(х1,хл+ й,,хп) — Дх1,...,хп)! < С(х1))4 (~,. (13) Дхь,.... хп + 4п) — Д(х1,..., тп) ~ < С(х1,..., хп 1) ~ 4„~', где О < и < 1, / С(х1) 11х1 < со, / ... / С(х1,...,хп 1)11х1...14хп 1 < "о. Тогда формула обращения (12) справедлива, если интеграл в ней понимать как %1 Х вЂ” е Х ( 1)„11щ (' (... 1пп Г ( 1пп / д(Л1,...
1сее Л„Е(л ьг1е 1Л„1 ЕЛЛ Еип Ле 11 1 п1 пе- и — 1 ° 1 ° 1. 4о4 Гл. Ътп. Рлдн. Преобравоваиил Фурье ДЕИСтВИтЕЛЬНО, ПОСКОЛЬКУ д (Х1,..., Х„) СуММИруЕМа В Ка, тО В СИ- лу теоремы Фубини она суммируема по х1 при почти всех хг,... г х„. Следовательно, существует функция у1 (Л1, Хз,..., ха) = (' У(Х1,..., х„)е *" л' 11х1 . Из (13) следует, что д(хг, .. гх„) как функция от х1 удовлетворя- ет условию теоремы 1 З 3; поэтому д(хг,,х„) можно выразить через д"1 по формуле обращения № 1(х1, ° ха) = 1нп — / дг1(Л1, хг,...,Хгг)е'г* ' 1(Л1. — № Далее, если мы положим дз(Л1,Лз,хзг .,хо) = ) 11(Л1гхз,,х„)е '*' '11хз, то из условия (13) следует, что для 11 справедлива формула обра- щения иг д'1(Л1, хзг...,х~) = йш 2 / дг(Л1, Лт,...,ха)е"' ' 14Лв, Лгг -г ос — № т.
е. г(Х1'''Хгг) гиг Хг 1пп,1 / 11п1 1 / дв(Л1, Лг,..., х„)е'г'л' 11Лг) е'"'л' е1Л1. № — вес 211 1№ — вес 211 -к, -ггг ди дги дги дх' дуг' (14) описывающее процесс распространения тепла в плоскости. Пусть в момент 1 = 0 температура задана; и(0, х, д) = ио(х, у). Наложив на искомое решение уравнения (14) условия, аналогичные тем, которые указаны в п. 6, мы можем сделать в уравнении (14) Определив аналогичным образом ЯЛ1, Лу,..., х„) и т.д., мы и придем к формуле (12).
Преобразование Фурье функций нескольких переменных широко используется в теории уравнений с частными производными. Рассмотрим, например, уравнение 1 о. Преобразование Фурье в аз( — аа,аа) преобразование Фурье по переменным х и у. В результате получим обыкновенное уравнение ех [Лг + г) (1ое) где у(Х,Л,Ф) = / / и[1ах,у)е ц '" ") Йхйу. Решив уравнение [15), можно затем найти решение исходного уравнения [14) с помощью формулы обращения.
з 5. Преобразование Фурье в пространстве 1г( — со, оо) 1. Теорема Плангпереля. Вернемся сначала к тем результатам, которые мы получили для рядов Фурье. Дпя большей аналогии с преобразованием Фурье будем рассматривать ряд Фурье в комплексной форме, т. е. возьмем на отрезке [ — я, я) полную ортогональную систему функций е'и*, и = О, х1, х2,... и каждой суммируемой на отрезке [ — я, я) функции т мы поставим в соответствие последовательность ее коэффициентов Фурье сн = — / г [х)е '"* е1х, и = О, х1, х2,...
— в Если функция г' не только суммируема, но и имеет суммируемый квадрат, то ее коэффициенты Фурье удовлетворяют условию [он[ ( со. Иначе говоря, переход от суммируемой с квадратом функции к совокупности ее коэффициентов Фурье есть отображение евклидова пространства Аг на евклидово пространство 4,причем это отображение линейно и удовлетворяет равенству Парсеваля [т.е. этот переход отличается лишь числовым множителем от преобразования, сохраняющего норму). Обратимся теперь к преобразованию Фурье для функций, .заданных на всей прямой, и посмотрим, нельзя ли это преобразование трактовать как некоторый линейный оператор в комплексном пространстве Аг( — оо, оо).
Основная трудность состоит здесь в том, что 4об Го. П4!!. Рлдн. Преобравованил Фурье Теорема (План шерелвь 1910 г). Для всякой функции ! Е Ьт( — со, со) интеграл дог(Л) = / /(х)е ы* г1х при любом Х представляет собой функцию от Л, принадлежащую к Ез( — оо,со). Прн 4Л! — > оо функции д!в сходятся в метрике про- странства Ез к некоторому пределу д, причем / !д(Л)/зе(Л = 2я / /~(х)!зйх (2) Эту функцию д называют преобразованием Фурье функции / Е Ьз. Если / принадлежит также и к Аг( — оо, со), то соответствующая функция д совладает с преобразованием Фурье функции / в обыч- ном смысле. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Основная идея доказательства состоит в том, что равенство (2) устанавливается сперва для всех функций, принадлежащих классу Я . бесконечно дифференцируемых быстро убывающих функций, которые всюду плотны в Ьз( — ж, со), а потом распросграняется по непрерывности на все Ез( — оо, оо). Реализуем теперь эту идею в деталях. 1) Пусть /4,,/т 6 Ян„. Обозначим через д! и дз соответственно их преобразование Фурье. Имеем еь х оо / 14(х)!ь(х) г!х = / 2 / (дв(Л)е е!Л))в(х) йт. = 1 /' ~д! (Л) /' !вт (х) е ы~ вевх~)йЛ = 1 )! д! (Л)ддт (Л) е!Л, причем изменение порядка интегрирования здесь законно, поскольк нк ия у фу ц дг(Л)! т(х)е4~~ абсолютно иптегрируема в плоскости (х, Л).
Положив в полученном равенстве /! = Уз = / и д» вЂ”вЂ” дт = д, полу 4им, .что формула (2) верна для любой функции / Е Я-.о. функция с интегрируемым квадратом на прямой не обязана принадлежать Ег(-оо,оо),т.е.преобразование Фурье в смысле, определенном в ~ 4, может для пес и пе существовать. Однако для всякой / е Ст( — оо, оо) можно определить преобразование Фурье в несколько ином смысле. При этом получается следующая теорема, которую можно рассматривать как аналог равенства Парсеваля (1). "З б. Преобрововоюее Фурье в Ьа( — аа,аа) 2) Пусть теперь ~ .
- произвольная функция из Тт( — оо, со), обращающаяся в нуль впе некоторого интервала ( — а, а). Тогда т интегрируема на интервале ( — а, а) (т. е. принадлежит Те( — а, а)), а следовательно, и на всей прямой. Поэтому для нее определено преобразование Фурье д(Л) = / т(т)е ' * дт. Пусть теперь (ув) последовательность функций из 5 , обращающихся в нуль вне ( — а, а) и сходящаяся по норме пространства Ат( — со, со) к у. Поскольку у и все ув отличны от нуля лишь на конечном интервале, последовательность (ув) сходится к Г и по норме пространства Аь( — оо, оо).
Поэтому (см. и, 2 з 4) последовательность (д„) сходится к д равномерно на всей прямой. Кроме того, последовательность (д„) фундаментальна в Ьт( — оо, оо). Действительно, д„— до, Е о~, поэтому в силу уже доказанного / !д„(Л) — д (Л)!зе)Л = 2т / !~в(Ф) — ~ (к)!те(к, откуда и следует фундаментальность последовательности (дв). Значит, эта последовательность сходится в Ьт, причем к той же самой функции д, к которой она сходится равномерно. Поэтому в равенстве 2 можно перейти к пределу при и — ~ оо. Таким образом, получаем, что равенство (2) справедливо для каждой у б Ав, обращающейся в нуль вне некоторого интервала.
3) Пусть, наконец, у произвольная функция из Ат. Положим т'(Ф) при (т~ < де, .Ь(Ф) = при (т~ ) ~т Ясно, что ~(У вЂ” Ум!(-+ О при Л' -+ Функция ~м принадлежит Ь~( — оо, со), следовательно, для пее су- ществует обычное преобразование Фурье. Оно равно (Л) г е ( ) — еле д, )г у( ) — еле д Поскольку в силу пункта 2) наших рассуждений ~~Ул' Уму = щД9м дя4: !И. р|!!. Рвдьв Преобразован в Фурье 458 функции дг! сходятся в йз к некоторому пределу, который мы обо- значим д.
Поэтому в равенстве можно перейти к пределу при 4|! — у со, откуда получаем соотношение (2) для произвольной !" е Ьз( — оо, оо). Первая часть теоремы Планшереля доказана. Если теперь функция д принадлежит как Х,т( — оо, оо), так и А|( — со, оо), то для нее существует преобразование Фурье д(Л) = / у(т)е |Лв г|т., понимаемое в обычном смысле. При этом функции ~м сходятся к у в Ь4( — оо,оо) и, значит, их преобразования Фурье д|| сходятся к д равномерно. Но, кроме того, как мы установили, функции дм сходятся в метрике Ь ( — со, оо) к некоторому пределу, который мы обозначили д. Отсюда следует, что д совпадает с д. Доказательство закон |оно.
Следствие. Из соотношения (2) сразу вытекает, что для любых !'|, !"т й Ат( — оо, оо) выполнено равенство ||(л)! |(т)гвт = 2 ( д|(Л)дт(Л)г|Л. Для доказательства достаточно написать равенство (2) для функции |! + |з и затем сравнить выражения справа и слева. Если равенство (2) означает сохранение нормы в Ьт при преобразовании Фурье, то последнее равенство означает сохранение скалярного произведения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
