1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Действительно, 466 12. Ънн. Ряды. Преобразование Фурье Второе слагаемое справа можно сделать сколь угодно малым (сразу при любых Л1 и Лз), взяв Х достаточно большим, а первое при фиксированном Х сзремится к нулю при Л| — Лз -э О. Однако не все свойства преобразования Фурье переносятся на преобразование Фурье-.Стилтьеса. Так, оно не стремится, вообще говоря, к нулю прп ~Л< -э со. Пусть, например, 0 при я<0, Р(т) = 1 при т>0. Тогда (Л) )г — л Анезюгично, преобразование Фурье — Стилтьеса функции, равной 0 пРи т, < Фо и 1 пРи Я > хо, есть е "в~, т.е.
пеРиоДичсскаа фУнкЦиЯ от Л. Если г' функция скачков, для которой точки а=О, т1, х2, служат точками разрыва, а числа ..., а ы ао, аы ..., а„, ..., .~~ав~ < со, о величинами скачков в этих точках, то Д~ ( ) — ее П, есть периодическая функция с периодом 2к. Если же Г имеет скачки а„в точках я„, образующих произвольную последовательность чисел (вообще говоря, несоизмеримых), то ее преобразование ФурьеСтилтьеса имеет вид е — и л Е и и Функции такого типа относятся к так называемым почти периодичееиевм функциям.
2. Применения преобразования Фурье — Стилтьеса в теории вероятностей. Для суммирусмых на ( — ж,оо) функпий мы ввели в 6 4 понятие свертки: д (е) (Л В 42)(т) / 41(е 6дз(Ч) ~К. (3) Положим Е(л) — ~ та, Р'(т)= У а(1)е11, Е(') — ~ Юй "2 7. т!реобразовоние Фурье — Стилтьеса Проинтегрировав равенство (3), перепишем его следующим образом: (изменение порядка интегрирования здесь возможно в силу теоре- мы !Рубини и абсолютной интегрируемости функции г). Полученное нами соотношение Г(х) — ! Гг(х ») дГз(») сопоставляет функциям Гг и Г2 функцию Г. Но интеграл, стоящий здесь справа, существует как интеграл Лебега Стилтьеса не только для абсолютно непрерывных функций, но и для любых двух функций с ограниченным изменением на всей прямой. Назовем выраже- ние Г(х)= 1 Г(*-<~)дГза, (4) где Гг и Г2 — — произвольные функции с ограниченным изменением на прямой, сверткой этих двух функций и обозначим его Г! * Г1.
Покажем, что выражение (4) представляет собой функцию, определенную при всех значениях х и имеющую ограниченное изменение на всей прямой '). Действительно, Гг .- — функция с ограниченным изменением, следовательно, она измерима по Борелю, а потому интеграл (4) существует при всех х. Далее, [Г(*,)-Г(.2)[=~ ~ (Г,(х,-О-Г,(х,-О) Г,Ю < < / [Г1 (х — б) — Г, (х2 — д) [Н(тат Гз Я), откуда Ък[Г) < Ъ.[Г1]ЦГ2), т.е. Г . функция с ограниченным изменением. 1) В книге В.И. !ливенке г Интеграл Стилтьеса» (Гостекиздат, 1936) дана элементарная копструкдия, позволяющая придать смысл формуле (4) без использования меры. ра.
Ьйн. Рады. Лреабразаааиил Фурье 468 д(л) = д,(л)д,(л). Доказател! ство. Пусть Г = Г! *Ге и ,ха = 1ь некотороо разбиение отрезка (о, Ь). Тогда при каждом Л и 1пп ~ ~е ' и" (Г(хь) — Г(хь !)) = ь=! п е ' Ьаа 4 (Гь(хь — с) — Гь(хь ! — 6))е ' 4 ь1Гз®, ь=! ь ~ г '~а 41Г(х) = 1пп хааа Ьа ь — ье т.
е. ь ь — 4 ~ е гх' г1Г(х) = )г ( )г е ьх* 41Г4(х))е ыь г1Гг(гг) а — оа а — 4 Переходя здесь к пределу при и — ь — оо и Ь вЂ” ~ +ос, получаем ,) -ы:~~(х)= ! -ма~~!(х) 1 -"~~за, т. е. д(л) = д,(л)д,(л). Теорема о том, что преобразование Фурье †Стилтье переводит свертку функций в умножение, широко используется в теории вероятностей (метод характеристических функций). Если ~ и й — две независимые случайные величины, а Г! и Гз -- их функции распределения, то величине ~ + й отвечает функция рас- пределения Необходимость рассматривать суммы независимых случайных слагаемых возникает в теории вероятностей очень часто.
Переход от функций распределения к их преобразованиям Фурье — Стилтьеса, так называемым характеристическим функциям, позволяет заменить операцию свертки более простой и удобной операцией умножения. Упражнения. 1. Доказать, что преобразование Фурье-Стилтьеса обладает свойством единственности: если функция Г непрерывна слева, а ее преобразование Фурье — Стилтьеса есть тождественный нуль, то Г(х) = сопя!. 2. Доказать, что операпия свертки функций с ограниченным изменением коммутативна и ассоциативна. Теорема 1.
Если Г есть свертка функций с ограниченным изыенением Г! и Гя, а д, д! и дт их преобразования Фурье— Стилтьсса, то 1 З. Преобразование Фурье обобизеннна францие 469 9 8. Преобразование Фурье обобщенных функпий Мы уже говорили, что применение преобразования Фурье, понимаемого в обычном смысле, в дифференциальных уравнениях и других вопросах сильно ограничивается тем, что это преобразование опредолено лишь для функций, абсолютно интегрируемых на всей прямой. Применимость преобразования Фурье можно существенно расширить, введя понятие преобразования Фурье для обобщенных функций.
Изложим основные идеи такого построения. Рассмотрим снова пространство Я функций, бесконечно дифференцируемых на всей прямой и убывающих на бесконечности вместе со своими производными быстрее, чем любая степень 1/[т[ [см. 9 4, гл. 1Ъ'). Приняв Я . за пространство о с н о в н ы х функций, рассмотрим соответствующее пространство обобщенных функций 5* .
Определим теперь в пространстве Я' преобразование Фурье.. Для этого вспомним прежде всего, что пространство 5 переводится преобразованием Фурье [понимаемым в обычном смысле) в себя: если :р Е Я, то г'Ц Е 5, причем Р есть взаимно однозначное отображение 5 снова на все Я . Исходя из этого, введем следующее определение. Преобразованием Фурье обобщевной функции 1" Е 5' называется линейный' функционал д Е Я*, опреде яемый формулой [9 ф) = 27Г[1, уо), где ф = Е[уо[. [и Эту формулу можно переписать и так: [1'~,9о) = 2х[~, уо) = 2у[~, Е 'ф), т. е.
преобразование Фурье функционала 1 б Я* есть функционал, который на каждом элементе ф Е 5 принимает значение, равное [умноженному на 2х) значению исходного функционала 1 на эле- менте уо = 1г 'ф, где Е ' — обратное преобразование Фурье. Поскольку ф = Е[уо[ пробегает все о ., когда уо пробегает Я равенство [1) действительно определяет функционал на всем Я Линейность и непрерывность этого функционала проверяются не- посредственно.
Среди эломентов Я' содержатся все абсолютно интегрируемые функции. Для них только что сформулированное определение пре- образования Фурье совпадает с обычным. Действительно, если 1" Е 5 „, уо Е Я, д = Г[1[ и ф = Е[Д, то по теореме Планшереля пол чаем У 2я[)',уо) = [д, ф), [2) причем при заданной 1 существует лишь одна, с точностью до эквивалентности, функция д, удовлетворякзщая этому равенству при 470 Га. рг!!.
Рлдн. Преобразоеанил Фурье всех 4о е Я . С помощью соответствующего предельного перехода нетрудно показать, что равенство (2) имеет место и для любой !" е Ьг ( — оо, оо). Таким образом, преобразование Фурье обобщенных функций представляет собой распределение классического преобразования на более широкий класс обьектов. Примеры. 1. Пусть !"(х) = с = сопяа Тогда 2л~~, Эо) = 2л- / сгго(х) г1х = 2жФ'(О), гб = Е[07), т.е.
преобразование Фурье константы равно этой константе, умно- женной па 2л и ца д-функциго. 2. Пусть 1(х) = ега'. Тогда 2л(д,гго) = 2я )' е ™*фх)г!х = 2лг)!4,— а), т. е. преобразование Фурье функции е"* есть сдвинутая б-функция о(х+ а), умноженная на 2л. 3.
Пусть 11х) = хз. Тогда из равенства 1 "(Л) = — 1 х'р1х)е-"* 1х, положив в нем Л = О и умножив его на 2гы получаем 2л(х~, у(х)) = — 2ялго(О), т.е. преобразование Фурье функции хт есть вторая производная от б-функции, умноженная на — 27г. Сделаем несколько заключительных замечаний. Мы определили преобразование Фурье для обобщенных функций нэд 5 .
Но можно было бы взять и любое друг.ое основное пространство, например, пространство К бесконечно дифференцируемых финитных функций. Для каждой функции гр Е К преобразование Фурье (в обычном смысле) существует и, как можно проверитгь представляет собой целую аналитическую функцию экспоненциального роста. Точнее говоря, преобразование Фурье есть линейный оператор, переводящий пространство К в пространство Е, элементами которого служат целые аналитические функции уд для каждой из которых выполнены неравенства (в)е)р(в)! < Сее'~'~, г! = 1,2,..., где т = 1ш в, а Се и а постоянные, зависящие от функции ~. Поскольку в пространстве К было введено понятие сходимости, отображениеъг Е, переводящим К в х,, индуцируется некоторое понятие а Преобразование Фурье обобщенных фуннииб 471 сходимости в У: последовательность (ууо) сходится в Я к Ы, если соотношение Фо -+ Уз выполнено длЯ соответствУющих пРообРазов.
Впрочем, это понятие сходимости нетрудно сформулировать и не пользуясь пространством К ). Пусть теперь 1 ††произвол элемент из К*. Поставим ему. в соответствие линейный функционал д на Я, положив (д, Оз) = 2и(~, уз), где ы = Е~~р) Этот функционал д мы назовем преобразованием Фурье бзункциопа,ла 1'. Таким образом, .преобразование Фурье обобщенной функции 1" нвд основным пространством К есть обобщенная функция над л, т.е, над тем пространством, в которое Х переводится преобразованием Фурье, понимаемым в обычном смысле.
То же самое построение проходит и для обобщенных функций над какими-либо иными пространствами осногзных функций. При этом каждый раз будет возникать схема, включающая в себя четыре пространства:некоторое исходное пространство основных функций, совокупность преобразований Фурье этих функций (т. е. второе пространство основных функций) и два сопряженных пространства.
Эта схема сводится к двум пространствам, когда за основное пространство гй>инимается 5, поскольку оно переводится преобразованием Фурье само в себя. Понятие преобразования Фурье для обобщенных функций нашло широкое применение в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Читатель может ознакомиться с этими вопросами, например, по книге Г.Е. Шилова 152). ') Именно, йь — з О в Х, ес 1и нри фиксированных Св (у = 1, 2, ... ) и а выполняются неравенства ~зву„(з)~ ( Све' ' и у1„— з О равномерно на каждом конечном интервале действительной оси.
ГЛАВА 1Х ЛИНКЙНЬ1К ИНТКГРАЛЬНЫК УРАВНКНИЯ ~ 1. Основные определения. Некоторые задачи, приводящие к интегральным уравнениям 1. Типы интегральных уравнений. Интегральным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестную функцию под знаком интеграла. Таково, например, уравнение р(в) = / К(в,1)у(1) сМ+ 1(в), а где 1 и К -- известные функции., а р --- искомая. Переменные в и 1 пробегают здесь некоторый фиксированный отрезок (а, Ь].
Характерная особенность уравнения (1) его линейность: неизвестная функция д входит в него линейно. Ряд задач приводит и к нелинейным интегральным уравнениям, например,к уравнениям вида б (в) = 1 К(, ~.( ( ), ) 11, где К и д — — заданные функции. Х!ы, однако, во всем дальнейшем ограничимся линейными уравнениями. Отдельные интегральные уравнения рассматривались еще в начале девятнадцатого столетия. Так, еще в 1823 г. Абель рассмотрел уравнение носящее теперь его имя. Здесь 1 заданная функция, а ьэ искомая. Абещ показал, что решение этого уравнеаия имеет вид (1) ыпко г 1 (з) ( (г — в)' о Однако общая теория линейных интегральных уравнений была построена лишь на рубеже Х1Х и ХХ столетий, в основном в работах Вольтерра, Фредгольма и Гильберта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
