1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Коэффициенты с„этого ряда выражаются через а„н б„с помогцью равенств [4); однако легко написать для них и прямые формулы. Действительно, как показывает непосредственное вычисление, 0 при и~пг, е1нхе — еах дх 2гг при п = га. Иначе говоря, эту функцию на [ — к, к) [а тем более и на [О, к]) можно аппроксимировать в среднем квадратичном с любой точностью линейными коъгбинациями элементов системы (2). Отсюда следует полнота системы (2). Полнота системы (3) на [О,к) доказывается аналогично, путем нечетного продолжения функции Г, заданной на [О, к), на полуинтервал [ — к, 0) по формуле 1 3.
Ортогвнвльнме сиспгемы фрннчип в ьг хиЗ Поэтому, умножая равенство д(Х) = ~ Х„Еен* (5) на е ""* (гп = О, х1, х2,... ) и интегрируя, получаем т.е 4. Многочлены Лежандра. Линейные комбинации функций 1, и, х,... (7) . — это совокупность всех многочленов. Следовательно, система (7) полна в пространстве Ат фу.нкций на произвольном отрезке'). Ор- тогонализируя систему (7) на отрезке [ — 1, 1] по отношению к ска- лярному произведению (1,д) = )' 1(х)д(х) пгх., мы получим полную ортогональную систему бз1о(х)г Я1(х), б,12(х), где Я„многочлен и-й степени.
Покажем, что каждый из многочленов Я„(х) совпадает, с точностью до постоянного множителя, с многочленом 1сн(х) = д „(х — 1)". г1х" ) Полнота системы многочленов в пространстве Ьг(ал Ь) функций с интегрируемым квадратом на произвольном отрезке (в,б) вытекает из теоремы Вейерютрасса о равномерной аппроксимации любой непрерывной функции на отрезке многочленами.
См. п. 2 1 2 гл. НП!. ст = — / 1"(х)е пн' Йх., гп = О., х1, х2,... (6) Разложение (5) остается в силе и для комплексных функций с интегрируемым квадратом на отрезке [ — х, х]. Иначе говоря, функции егпх образуют базис в пространстве 7,2[ — и,и] комплексных функций с интегрируемым квадратом модуля на отрезке [ — х,и]. При этом выражения (6) представляют собой скалярные произведения 7 на е™пх в этом комплексном пространстве.
ЗаМЕНИВ фуНКцИИ Егнх На Ег г ", МОЖНО ПЕрЕНЕСтИ ВСЕ СКаЗаННОЕ на пространство 7,2[ — 1, 1] комплексных функций на отрезке произвольной длины 26 414 Гл. 'к'П. Пространства суммпруемых функция В самом Деле, во-пеРвых, система 1Лп) оРтогональна. ПУсть п ) тп. с' „(х — «"'~ = '1 (х г1х" я = — 1 С12.' ! ° =1 при всех й = О, 1,..., и — 1, то, интегрируя по частям, получаем 1 Л-( )Л.~*) — 1 д ( 2 1)т с1 ( 2 1)п Г Цп ~ [ "' " (Х2 1)гп~ (Х2 1)п,1Х (8) Если тп ( п, то под знаком последнего интеграла стоит тождественный нУль, откУда следУет оРтогональность системы 1Лп).
Во-вторых, ясно, что многочлен Лп имеет степень и, т. е. каждый Л„лежит в подпространстве, порожденном и + 1 первыми элементами системы (7). Таким образом, как система 1Л„), так и система Я„) обладают следующими свойствами: Ц ортогональность, 2) и-й элемент системы принадлежит подпространству, порожденному элементами 1, х, ..., х" Но этими двумя свойствами каждый элемент системы определяется однозначно с точностью до числового множителя (теорема 1 2 4 гл. П1).
Найдем теперь нормирующие множители для Л„(х). В случае и = ги равенство (8) дает ') 1 1 / Л~,(х) дх = ( — Ц" / ~ — 2„1хя — 1)п) (х2 — 1)пс1х = 2 и (п!)'2"+' = (2~)! ~ (1 — хз)"дх = — 1 Иначе говоря, норма многочлена Лп равна и!2п. 2 2 1. Таким у 2п+1' образом, система многочленов /Г21. -Р 1Л не только ортогональна,но и нормирована. )Последний интеграл можно вычислить элементарно, применяя рекуррентные формулы, или же путем сведения его к В-функции. 1 3. Орпгвгвнвпьнне еиетпемьт фуннчна в ьг 415 Обычно рассматриваются не эти нормированные многочлены, а многочлены, определяемые формулой Их называют гтиогочлеиагти Лезгсиндра, а саму эту формулу фор- мулой Родриго. Из проведенных выкладок следует, что 1 (0 при пфгп, 1„(х)Р (х) 41х = ~ 2и 1 ПРи п иь Приведем явные выражения пяти первых многочленов Лежандра; Ра(х) = Рт[х) = х, 3 з 1 — х 2' 2' 5 з 3 х х 2 2 35 4 15 г 3 — х — — х + —.
8 4 8' отрезке [ — 1, Ц по многочленам Лежан- Рг[х) = Рз(х) = Ре(х) = Разложение функции т на дра имеет вид с„Р„[х), У[х) п=а где ( У( ) и( ) -1 рассмотрим меру 14 = 14 З 14 и обозначим через Ез отвечающее ей пространство функций с интегрируемым квадратом. Функции из Аз будем записывать как функции двух переменных. Теорем а 1. Ясли 1ттг ) н (ю„) — — полные ортоиормалытые системы соответственно в Я' и в А", то система всех произведений 1пгп[Х, у) = ~Р,п[Х)ФггЬ) есть полная ортонормапьная система в Лз. 5.
Ортогональные системы в произведениях. Кратные ряды Фурье. Пусть на множествах Х' и Х" определены меры р' и дп. Соответствующие пространства функций с интегрируемым квадратом будем обозначать Ь!т и Ьзй В произведении Х = Х' х Х" 416 Р ь И1. Прввшраявлма вуммврдвмъ~х фрияцвв Доказательство. В силу теоремы Фубини (замечание) )' Й.(х, у) йд = / р' ( )( ~ ФЫ йдв) й4й= Е х и Х- Если т ~ т1, то в силу той же теоремы / (,,яв(х, У)4 „и (х, д) йр = Х х" Х поскольку функция (~, (х, у)(,„, „, (х, у) двух переменных суммируема на Х = Х' х Х".
Еслит=т1,нопф п1,то 1 .1"-(х,у)у;...(х,у) Ь = )' ~р'.,(х)( 1 увв(уМ,(у) йуп)й1' = О. х Х Х" Докажем полноту системы (Г „). Допустим, что в Аз существует функция (, ортогональная ко всем функциям у „. Положим Е (у) = / у(х,у)р (х)йр'. х Легко видеть, что функпия Е (у) имеет интегрируемый квадрат. Поэтому г„,(уф (у) при любом и интегрируема. Снова используя теорему Фубини, получаем / Г (у)~ы(у) йр" = / ((х,у)у „(х,у) йр = О. х- Х В силу полноты системы (у1„) отсюда вытекает, что для почти всех у Е (у) = О.
Но тогда при почти каждом у имеют место равенства / у(х,у)у (х) йд = О Х для всех т. В силу полноты системы (у ) отсюда получается, что при почти каждом у множество тех х, где )(х,у) ф О, имеет меру нуль. В силу теоремы Фубини это означает, что на Х функция т'(х, у) равна О почти всюду. Применим эту теорему к некоторым конкретным ортогональным системам. В пространстве функций двух переъ1енных у(х,у), — л < х,у < л, 1 3. Орпгаганапьные системы функций в Ьг 417 с интегрируемым квадратом полную ортогональную систему обра- зуют попарные произведения элементов систем: 1, совтх, яштх, т = 1,2, п.
= 1,2,..., 1, сояиу, вш пу, т.е, функции 1, сов тх, я)п тх, соя пу, в)п пу., сов гпх яш п,у, соя тх сов ну,. яштх вш ну, гйп т,х сов ну. Соответствующий ряд Фурье выглядит несколько громоздко, поэто- му здесь удобнее пользоваться показательными функциями с~таегпя сдгпглпу~ и т — 6 х1 +2 ) ) Этому базису отвечает ряд Фурье 1(х, У) = ~~ с вейте Гп"~, где л л с „= 1е / / У(х,у)с Ц *+""7г)хйу.
4л Многочлены Лежандра дают в пространстве функций, определенных на квадрате — 1(х,у(1, полную ортонормальную систему, состоящую из многочленов л'~г» +г ~лег г ~ + ПП Все сказанное очевидным образом переносится на функции нескольких переменных. В частности, тригонометрический ряд Фурье для функции й переменных имеет вид ) 7хы...,хь) = ~~ с„,п,с'Он"'" -пь..пг пг ...пл= — сс где / гг(х, х )е — Цтл,-,-"Я-пгл,) 1,,)х (2л)~ 6. Многочлены, ортогонвльные относительно данного веса. Мы пришли к многочленам Лежандра, ортогонализируя функции (й) Гл. И1.
Прае ~Начесала еуммиууеммх функций 418 относительно скалярного произведения / 1 (х) д(х) дх, -1 отвечающего обычной мере Лебога на отрезке [ — 1, Ц. Если на этом отрезке задать какую-либо иную меру р такую, что функции (9) в соответствующем пространстве Ез со скалярным произведением 1 1(х)д(х) дд линейно независимы, то, .применив к (9) процесс ор— 1 тогонализации, мы придем к некоторой системе многочленов Я„), зависящей, вообще говоря, от выбора меры р, Предположим, что мера р определена для измеримых по Лебегу подмножеств сегмента ( — 1, 1) формулой р(Е) = / д(х)44х, (10) н где д фиксированная неотрицательная суммируемая функция. Условие ортонормальности в этом случае записывается в виде / Я.
(хЯ-(х)д(х) 4х = (, ' (11) 10 при т~н. Функция д, опредоляющая аюру (10), носит название веса или весовой функции. Таким образом, про многочлены, удовлетворяющие условию (11), говорят, что они ортогвнальны с весом д. Выбор того или иного веса приводит к различным системам многочленов. В частности, положив д(х) = 1/ ь/1 — х' Т (х) = сова вгссозх, и = 1,2,... и играют важную роль в различных интерполяционных задачах. Ортогопальность этих многочленов относительно веса 1/~1 — тз легко проверяется. Действительно, полагая Чее1 — хз = 81пд, х = созд, 44х = — 81пдс1д, мы полу.чим многочлены, совпадающие с точностью до постоянного множителя с так называемыми мноаочлснамн сТебышсвл, которые определяются формулой 1 3. Ортвгвнвиьнне еиетеггье фкннчнп в ьг 419 получаем ' т (х)т„(х) ( 2 прн т=п, / " ' е1х = / созтОсозпдаей = ~ Я вЂ” хг ~ 0 при иг~п.
7. Ортогональный базис в пространствах Ьх(-со,со) и Ьв(0, оо). Выше мы рассматривалн ортогональные системы на отрезке, т. о. на множестве конечной меры. Рассмотрим теперь случай бесконечной меры, а именно, пространство Ез( — оо, оо) функций с интегрируемым квадратом на всей числовой прямой. Ортогональную систему функций в нем нельзя построить ни из многочленов, ни из тригонометрических функций, ибо ни те, ни другие пе принадлежат этому пространству, «гМатериал» для построения базиса в Аг ( — оо, оо) естественно искать среди функций, достаточно быстро убывающих на бесконечности.
В частности, такой базис можно получить ортогонализацией последовательности х"е г ~~, и=0,1,2, — гг 2 Действительно, всякая функция вида Р(х)е ' ез, где Р много- член, принадлежит, очевидно, Ьг( — оо, оо), а полнота системы (12) будет доказана в и. 3 9 4 гл, ьУП1. и — гг Ш Применив к функциям х" е ' '9 процесс ортогонализации, мы получим систему функций вида 9ги(х) = Н„(х)е. ' ~~, п = 0,1,2,..., (12) где Ни -- многочлен степени п. Эти многочлены называются многенеленвми Эрмита, а сами функции уви функциями Эргиитш Нетрудно показать, что многочлены Эрмита совпадают, с точностью до постоянного множителя, с многочленами г Н„"(х) = ( — 1)нее Действительно, многочлен Н„* ихиеет, очевидно, степень пн а соотно- шение ортогональности 1 Н (х)Н„'( )е-*' '=0, Ф, легко получить интегрированием по частям.
В силу теоремы об ортогонализации существует лишь одна, с точностью до постоянных 2 множителей, система ортогональных функций вида Р (х) е " Уг, где Р„многочлен и-й степени. 420 Га. УН. Лроатуаиаи~ва ауммиууеммх функций Полученный результат допускает и такое истолкование. Рассмотрим на прямой меру д, имеющую плотность е ', т.е. такую, что Это конечная мера. В пространстве функций, интегрируемых с квадратом по этой мере, скалярное произведение имеет вид а л44югоч41ены Эрмита образуют в нем ортогональную систему. Рассмотрим, наконец, пространство Ет(О, оо) функций с интегрируемым квадратом на полупрямой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
