1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 78
Текст из файла (страница 78)
В частности, согласно теореме Рисса всякий линейный функционалл в гильбертовом пространстве Н записывается в виде скалярного произведения Г(Ь) = (!Ка), где. а -- фиксированный вектор из Н. Поэтому всякий линейный функционал в Аз имеет вид ЕФ =/Пх)д(х) д, где д фиксирооаннол функция с интегрируемым квадратом на Х. 4. Комплексное пространство Ег.
Мы рассматривали сейчас действительное пространство Аг. Изложенныо результаты легко переносятся на комплексный случай. Комплексная функция !, определенная на некотором пространстве Л с заданной на нем мерой р, называется функцией с интегрируемым квадратом, если интеграл 1 !!"с )~'д конечен. Определив сложение таких функций и умножение их на числа обычным образом и введя скалярное произведение по формуле (У,д) = ! У(х)дФФ, Гл.
У11. Ирвспранетава еуммнруемнх фунньаи 406 5. Сходимость в среднем квадратичном и ее связь с другими типами сходимости функциональных последовательностей. Введя в пространстве Ьа норму, мы определили тем самым для функций с интегрируемым квадратом следующее понятие сходимости: Уа -+ У: 1пп /'[ун(х) — ((х)]~бр = О. если Мы назвали такую сходимость сходимостью в среднем квадратичном. Посмотрим, как такая сходимость связана с другими типами сходимости функциональных последовательностей. Предположим сначэла, что мера пространства-ео4осителя» Х конечна.
1. Если последовательность (га) функций из Аа(Х, р) сходится в метрике Еа(Х, р), то она сходигпся и в метрике А1(Х, р). Действительно, в силу неравенства (2) имеем откуда и следует наше утверждение. 2. Если поеледовапгвльность (1„) сходится равномерно, то она сходится и в среднем квадратичном. Действительно, при каждом е ) О при всех достаточно больших и имеем [1а(х) — Г(х)[ < в и, следовательно, Р ( ) — ~( ))'д ' (Х» откуда вытекает наше утверждение. 3. Если последовательность сцммиРУемых фУнкЦий (1н) сходите.я в срсднемв то она сходится на Х и по мере. мы получим евклидово пространство, называемое комплексным пространством Ла.
(При этом, как и в действительном случае., мы считаем эквивалентные между собой функции одниъе и тем же элементом пространства.) Это пространство полно, а если мера р имеет счетный базис, то и сепарабельно. Таким образом (отбрасывая копечномерный случай), мы получаем, что комплексное пространство Ла, отвечаюьцее мере со счетным базисом, есть комплексное сепарабельное гильбертово пространство. Все такие пространства изоморфны между собой, и для них справедливы результаты, изложонные в 6 4 гл. П1.
2. 77рьсюрйисп~ВО Ьа 407 Это утверждение сразу же следует из неравенства Чебышева [п. 4, ~ 5, гл. Ъ'). Отсюда и из теоремы 8 з 4 гл. 1! вытекает: 4. Если последовательность <1„) сходится в среднем, гпо из иее можно выбрать подпоследовательиость <~„„), сходяи4уюся почти всюду. Заметим, что при доказательстве теоремы о полноте пространства Е, мы уже установили этот факт, пе опираясь на теорему 8 з 4 гл. 17.
Нетрудно убедиться в том, что из сходимости некоторой последовательности в среднем (и даже в среднем квадратичном) не вытекает, вообще говоря, ее сходимость почти всюду. Действительно, последовательность <!"„), построенная в п. б з 4 гл. У, сходится к !" = 0 в среднем (и даже в среднем квадратичном), но при этом, как мы видели, она не сходится к О ни в одной точке. Обратно,последовательность (1„) может сходиться почти всюду (и даже всюду) и не сходиться при этом в среднем.
Рассмотрим, например, на отрезке [0,1< последовательность функций п при х е (О, 17п<, ть(х)— 0 при остальных х. Очевидно, 1„(х) — > 0 при всех х Е [О, 1]. Но в то же время 1 / [7ь[х)[йх = 1 при всех и. о Связь между различными типами сходимости в случае р[Х) ( со можно изобразить следующей схемой: где направленная вверх стрелка означает возможность выбора из последовательности, сходящейся по мере, подпоследоватапьности, сходящейся почти всюду. В случае р(Х) = со (например, для функций на всей числовой прямой с мерой Дебета на ней) установленные выше связи уже 408 ра. уи. Преен1ранетеа еуммируемых функций не имеют места.
Например, последовательность У (х) = 1/.„1й при [х[ < п, О при [х[>п сходится равномерно на всей прямой к функции 1 = О, однако она не сходится ни в среднем, ни в среднем квадратичном. Далее, при р(Х) = со, как мы уже указывали, сходимость в среднем квадратичном (т. е. в Лу) не влечет за собой сходимости той же последовательности в среднем (т.е. в ь1). Заметим в заключение, что из сходимости в среднем ни при д(Х) < со, ни тем более при д(Х) = со не следует, вообще говоря, сходимость в среднем квадратичном. '8 3.
Ортогональные системы функпий в Ьу. Ряды по ортогональным системам Общие теоремы, установленные в 8 4 гл. Н1 для евклидовых пространств, говорят нам, что в Лт имеются полные ортогональные (в частности, ортогональные и нормированные) системы функций. Такие системы можно получить, например, применяя процесс ортогонализации, описанный там же, к той или иной полной системе.
Если в Л1 выбрана некоторая полная ортогональная система (уел), то, опять-таки в соответствии с общими результатами 8 4 гл. 1Н, каждый элемент 1 с А1 можно представить как сумму ряда а=1 -- ряда Фурье функции т' по ортогональной системе (уе„). При этом коэффициенты сн коэффициенты Фурье функции 1 по системе ра - определяются формулами с„= ~ ((х)Уе„(х) ЙР, [[Уел[[ = / Уе„(х) 611. [[у. [[' В этом параграфе мы рассмотрим важнейшие примеры ортогональ- ных систем в пространствах Ау и отвечающие им разложения.
1. Тригонометрическая система. Тригонометрический ряд Фурье. Рассмотрим пространство Т,з[ — х, х[ функций с интегрируемым квадратом па отрезке [ — х, х[ с обычной мерой е1ебега на этом отрезке. В этом пространстве функции 1, сових, 81пгех, и = 1,2,... 1 3. Ортогоиальиме сисп~емы функций е Ьз 409 образуют полную ортогональную систему, называемую тригонометрической.
Ортогональность легко проверяется прямым вычислением, например, при п ~ гп л )' созпхсозгпз Йх = —, / (сов"' 'пх+ соз х)дх = 0 н т. д, Полнота системы (1) следует из теоремы Вейерпгтрасса об аппроксимации любой непрерывной периодической функпии тригонометрическими многочленами '). Система (1) не нормирована. Соответствующая нормированная система состоит из функций 1 соз пх Бгп лх,гг 1 2 ь/2 п пь/и ' г/и Пусть / функция из Аз[ — и, и); ее коэффициенты Фурье, отвечающие функциям 1., совах, з|пнх, принято обозначать ао112, а„и 6„.
Таким образом, в соответствии с общими формулами для коэффициентов Фурье имеем '2'=2'. ~ ~()' " "==' 1 ~(*)"* и,„= 1 / /(х) созггхг)х, бп = 1 ~ /(х) згппхг1х. Соответствующий ряд Фурье имеет вид — ' + ~ а„совах, + б„зшох И ДЛЯ ЛЮбой функции /' й Лз Схадитея в СрЕднЕм квадРатичном именно к ней. Если Яп(х) = 2" + ~ аь соз йх + бе сйп йх Ь=г — частичная сумма ряда Фурье, то среднее квадратичное уклонение Я„от /' можно найти по формуле п ~~у(*) — о.(*П' = ~дз — ('2'+'~ 4+б',). ~) В 1 2 гл. У111 мы докажем теорему Щейера, представлнюшую собой усиление теоремы Вейерштрасса. брем самым будет дано и доказательство полноты тригонометрической системы (не опираюшеесв, конечно, на излагаемые здесь факты).
Гл. И!. Проегарапевгва еуммируеммх фуипцаа 410 Среди всех тригонометрических многочленов т„[х) = — '+~~ оьсовйх+ Язгпкх с данным и частичная сумма ряда Фурье Яа дает наилучшую (в мет- рике Ьз) аппроксимацию функции 4'. Неравенство Бесселя для три- гонометрической системы имеет вид но поскольку тригонометрическая система полна, на самом деле для любой функции из Ь имеет место равенство Парсеваля — + ~~~ п„соьпх+ !го ыппх тоже сходится [в 1з), а его сумма представляет собой функцию, имеющую ио, аа, 1г„своими коэффициентами Фурье. Все эти утверждения [непосредсгвенно вытекающие из общих результатов З 4 гл.
Ш) легко переносятся на функции, заданные на отрезке произвольной длины, скажем, [ — 1, 1]. Если г" — — функция с суммируемым квадратом па [ — 1,1], то замена х = у!гг1, т.е. 1 = 1х/у, переводит 1[1) в функцию 1*[х) = Г' ( ~х ) на отрезке [ — гг, гг]. В соответствии с этим 1 1 ! е [1) — ! ! )' 1 [1) згв пп! Ж, — ! и = О, 1,..., п =1,2, Ряд Фурье для функции 1, заданной на отрезке длины 21, имеет вид — + т о соз — '+6 гйп — '.
ао ч птт пт! ,2 а. г~=г Для любой функции 1"е1е квадраты ее коэффициентов Фурье образуют сходящийся ряд. Обратно, если числа ао, иа., гг, [и = 1, 2,... ) таковы, что ряд 2 а~ + !г~ сходится, то ряд а=! 1 3. Ортвгвнввьвые виввгеггм фнькчве в ьз Замечания. 1. Тригонометрические ряды были использованы французским математиком Ж. Фурье в его работах по математической физике, в первую очередь по теории распространения тепла. Впрочем, формулы для коэффигщентов а„и Ь„встречаются уже у Эйлера. В дальнейшем теория тригонометрических рядов развивалась в работах Римана, Дирихле и др.
Первоначально термины «ряд Фурье», «коэффициенты Фурье» и т.д, связывались именно с тригонометрической системой и лишь значительно позднее стали употребляться в общем смысле, описанном в з 4 гл. П1 (т.е. применительно к произвольной ортогональной системе в любом евклидовом пространстве). 2. Из полноты тригонометрической системы и общих теорем З 4 гл. П1 следует. что для любой 1' с Ав ее ряд Фурье 2 + ~ п„соз ах + Ь„згп пх »=1 сходится к данной функции 1 в среднем.
Однако с точки зрения конкретных задач анализа важно установить условия, при которых этот ряд сходится к 1 в другом смысле, скажем, в каждой точке, или равномерно. Этот круг вопросов мы рассмотрим в следующей главе. 2. Тригонометрические системы на отрезке [О, т). Функции 1, созх, сов 2х,..., (2) зшхг яп2х,... (3) образуют в совокупности полную ортогональную систему на отрезке [ — х, х). Покажем, что каждая из двух систем (2) и (3) ортогональна и полна на отрезке [О, я]. Ортогональность проверяется прямым подсчетом. Докажем полноту системы (2). Пусть 1 .
- функция с интегрируемым квадратом на [О, я[. Доопредслим ее на полуинтервале [ — я, 0) формулой 1( — т) = ) (х) и разложим ее в ряд Фурье по системе 1, сових, яппх, и = 1,2,... Поскольку функция 1, определенная теперь на [ — гггт), четная, все коэффициенты при синусах равны у нее нулю. Это сразу видно из формулы для коэффициентов: для четной функции 1" при и > 1 в о в / 1'(х) япггхг1х = / )(х) янах г1х+ / 1"(х) зшпхг)х = в — в о в л = — /,1(х) зшпхг1х -1- / 1"(х) япггхдх = О.
о о Гл. И1. Пространства суммарусмвгх функций 412 Полученная при таком продолжении функция на [ — гг,к) нечетна и разлагается на этом отрезке по одним синусам. 3. Ряд Фурье в комплексной форме. Триггпгометрический ряд можно записать компактно, если воспользоваться формулами Эйлера с'"'+ е сових = и сйпих = 2г Внося эти выражения в ряд Фурье, получим — + ~ а„СОЗПХ+ 6а З1ППХ = а=1 + Ч'а — 16агнх+С аажвй — Ых с„ег"', ао 2 и= — со где со = аогг2 и при и ) 1 а„— сба Са хс аа + 16„ с (4) Выражение Сасг"* называешься триеономстрическим рядом Фурье о комплексной форме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
