1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Диагональная последовательность (Ф„) будет, очевидно, (нг сходиться во всех рациональных точках отрезка [а, Ь]. Ее предел есть неубывающая функция Ф, определенная пока лишь в точках гы..., г„,... Доопределим ее в остальных точках отрезка [и, 6], по- ложив для иррациональных я Ф(х) = 11ш Ф(г) (г рациональны). — гг — О Покажем, что полученная таким образом неубывающая функция Ф во всех точках непрерывности служит пределом последовательности (Ф],, ). Пусть я* " одна из таких точек.
Тогда для заданного е > О можно найти такое Л > О, что ]Ф(х') — Ф(я)] < 876, как только ]к' — я] < д. (13) Выберем рациональные точки г' и га так, что г' < я* < га и г' > > я" — б, гн < я* + д. Пусть теперь пе настолько велико, что при и > пв выполнены неравенства ]Ф„(г') — Ф(г')] < е/6, ]Ф„(гн) — Ф(га)] < е/6. (14) ! л. рй ьтеонределенный ннпге грал и!ебеге 388 Из (13) и (14) следует, что ]4„(г) — 4 ( )[<й. Так как функция Фн неубывающая, то Ф„(г') < Ф„(х*) < Ф„(гп). Поэтому [Ф(х') — Фн(х')[ < [Ф(х*) — Ф(г')[+ [Ф(г') — 4„(т')[+ + [Фн(г ) — Фн(х )] < — + — + 4 а это и значит, что !1щ Ф„(х*) = Ф(х*).
и — гел Итак, мы построили последовательность функций из М, сходящуюся к предельной функции Ф всюду, кроме, быть может, точек разрыва функции Ф. Так как множество таких точек не более чем счетно, то, применив снова диагональный процесс, можно из последовательности (Фн) выделить подпоследоватольностгн сходящуюся и в этих точках, т.е.
всюду на [а, 6]. 6. Общий виц линейных непрерывных функционалов в пространстве непрерывных функций. Выше мы уже указывали некоторые применения интеграла Стилтьеса. Сейчас мы рассмотрим ещо одну задачу, связанную с этим понятием, а имен!|о, выясним общий вид линейного функционала в пространстве С[а, 6].
Теорема 4 (Ф. Рис с). Всякий линейный непрерывный функционал Г в пространстве С[а, 6] представим в виде ь ~а = Г ~(.) ~4(.), (15) а где Ф вЂ” — некоторая функция с ограниченныь! изменением ). При 1гь[4] Доказательство. Пространство С[а,Ь] можно рассматривать как надпространство пространства ЛТ[а, Ь] всех ограниченных функций на этом отрезке, с той жо нормой []Л = цр]У(х)[, что и в С[а,Ь].
Пусть Р непрерывный линейный функционал на С[а,Ь]. По теореме Хана — Банаха его можно продолжить, с сохранением нормы, с С[а, Ь] на все Лт [а, Ь]. В частности, такой продолженный функционал будет определен на всех функциях вида 6„(х) =— О, Ьт(х) = ' (16) О при х>т, еслиг>а. н ~ т ~ ~ ~ ~ | и Р и х ~ | < т ) Здесь имеется в виду интеграл по отрезку (о, Ь). 1 6. Интеграл Стнлтьееа 389 Положим (17) Ф(т) = Р(6,) и покажем, что функция Ф имеет ограниченное изменение па отрезке (а,61 Действительно., возьмем произвольное разбиение а=хо <х1« .
х„=6 (18) этого отрезка и положим оь = 88п(Ф(хе) — Ф(хь 1)), й = 1,...,п,. Тогда и ~Ф(хь) — Ф(хь 1)( = ~~ оь(Ф(хг) — Ф(хь 1)) = и и ОЬР(6„— 6„,) = Г(~ О1(11„— 11е,,)) < 9=1 Ь=1 и < ()Г(! (~от(6„— 6„,) Но функция ~„ог(11,1 — 6„ь,) принимает лишь значения х1 и О. 1=1 Следовательно, ее норма равна 1. Таким образом, и ~!Ф(хг) — Ф( ь- )! < Ю! 1=1 Поскольку это верно для любого разбиения отрезка (а, Ь], то 1тл(Ф) < и, и Итак, мы построили по функционалу г' функцию Ф, имеющую ограниченное изменение. Покажем, что именно с помощью этой функции функционал 7г записывается в виде интеграла Стилтьеса (15). Пусть 1 произвольная непрерывная функция на [а,Ь).
Зададим положительное 8 и выберем Б > О так, что (((хи) — 7" (х') ~ < е при ~хи — х'~ < б. Выберем теперь разбиение (18) так„чтобы длина каждой из частей была меньше б, и рассмотрим с гупенчатую функцию 7,: уе(х) = 7'(хь) при хг 1 < х < хы Й = 1,...,и, 7',(а) = 7'(а). Ее, очевидно, можно записать в виде и 7',(х) = ~ ~((хг)(6,,„(х) — 6,„, (х)1, Рл. Рб Иеанределенньап интеграл Лебега 390 где 6, .- функция, определенная равенством (1б).
Ясно, что ~~(х) — ~,(х) ~ < е при всех х (о < х < 6), т. е. (! 1 (х) — уе (х) )! < е. Найдем значение функционала Е на элементе 1.. В силу линейности этого функционала и определения функции й„оно равно а и РЖ) = ~ У(хь)Т(6*л) — РЯг,,)) = У Я1хьЪ4(хь) — Ф(хь- )), Л вЂ” 1 ь=-1 т. е. представляет собой интегральную сумъьу для интеграла ь / Дх) еХФ(х). Поэтому при достаточно мелком разбиении отрезка ~а, 6] ь г'(И вЂ” ~ У( ) 11Ф(х)/ < а Но в то ьке время Следовательно, г Ю вЂ” )' )'Ьх)11Ф(х) < (1+ '0г''0), откуда в силу произвольности е получаем равенство Г(1) = / 1(х) ЫФ(х).
Мы показали, что полное изменение функции Ф, определяемой фор- мулой (17), удовлетворяет неравенству ~ %<1!П ь19) С другой стороны, из теоремы о среднем для интеграла Римана.- Стилтьеса сразу следует, что !1г'0 < 1;~[Ф). (20) Сравнивая (19) и (20), получаем равенство 1, ь~Ф) Теорема полностьк> доказана. 1 а Интеграл Стилпгьеса 391 Замечание. Ясно, что взяв произвольную функцию с ограни- ченным изменением Ф на отрезке [ы, Ь] и положив ь Р(1) = [ Д(х) еЕФ(х), мы получим линейный функционал па пространстве С[а, Ь].
При этом дво функции, Ф1 и Фьь совпадающие на [а, Ь] всюду, за исклю- чением не более чем счетного множества внутренних точек этого отрезка, определяют один и тот же линейный функционал; обрат- но, пусть Ф, и Фз определяют один и тот же функционал на С[а,. Ь], т, е. ь ь ) ((х) 1Ф1(х) = Г У(х) 1Ф9(х) для каждой непрерывной функции 1. Отсюда легко следует, что Ф1 — Фз = сопев во всех точках непрерывности функции Ф1 — Фз, т.е. всюду, кроме, быть может, конечного или счетного множества точек. Таким образом, каждому непрерывному линейному функциона- лу на С[о,Ь] отвечает класс функций с ограниченным изменением на [а, Ь], причем Ф1 и Фз принадлежат одному классу в том и только том случае, если их разность отличается от постоянной не более чем в счетном числе внутренних точек отрезка [ы, Ь]. В каждом таком классе можно выбрать одну и только одну функцию, равную ну- лю в точке и и непрерывную справа всюду на полуинтервале (и, Ь].
Функции, удовлетворяющие этим условиям, образуют в простран- стве всех функций с ограниченным изменением на [и, Ь] замкнутое линейное подпрострапство, которое мы обозначим Ив [а, Ь]. Заметим, наконец, что для любого функционала Г на С[а, Ь] соответствующая функция Ф(т), определяемая равенством (17), есть функция имен- но из Ив[а, Ь]. Так как для таких Ф(т) было установлено равенство ]]Р]] = Ъ',ь[Ф], по тоореме 4 можно придать следующий вид.
Теорема 4'. Существует изоморфное (т.е. взаимно однознач- ное, линейное и нзометрнчное) соответствие между прострыпствымн (С[а, Ь])* и В~о[а, Ь], устанавливаемое равенством ь Р® = Г ~( ) 1Ф( ). Такое представление линейного функционала с помощью функ- ции из Ие[ы, Ь] мы будем называть каноническим. Из этой теоремы легко получить следующую теорему о кано- ническом представлении линейного функционала на пространстве С'[ы, Ь] непрерывных и непрерывно дифференцируемых функций, играющую существенную роль в вариационных задачах. рл.
97. Нговргдглгннма интеграл Лгбгга 392 Е(2 ) = оз" (а) + / ~'(х) НФ(х),. (21) где о число и Ф 6 Па[а, 6]. До к азате,л ь от в о. Рассмотрим в С'[а, 6] подпространство С [а, Ь] функций, удовлетворяюц~их условию 1(а) = О, и оператор А = г1,1г1х, переводящий это надпространство во все пространство С[а,Ь]. Пусть Р линейный функционал на С [а,Ь]. Рассмотрим его сначала только на подпространстве С [а, Ь]. Теперь к оператору А: С'[а, Ь] э С[а, 6] и функционалу 1г: С19[а, 6] -у Л можно применить лемму о тройке (гл. 1г' з 5, п. 4). В силу этой леммы найдется такое линейное отображение: С[а, 6] -э Вя что для каждой функции д Е С [а, Ь] Р(д) = Ф(А9).
(22) Каждая функция 1 е С [а, Ь] может быть представлена в виде 1(х) = 1 (а) + д(х), д Е С [а, 6]. Поэтому РИ = РУ(а)) + Р(д) (23) В силу. теоремы Рисса, равенства (22) и определения оператора А имеем: ь г (9) = гг(А9) = 1 9 (х) ггФ(х), а или Р(.) = 1~'( )АФ( ), (24) поскольку ~'(х) = д'(х). Пусть а .. значение функционала Г на функции, тождественно равной единице.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
