1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Примером заряда, абсолютно непрерывного относительно данной меры р, может служить интеграз Лебега Ф®= 1~(к)й7! А от фиксированной суммируемой функции 7, рассматриваемый как функция множества. Оказывается, что этим и исчерпываются все абсолютно непрерывные заряды. Иначе говоря, справедлива следу кидая теорема. Теорема 2 (Радон- Никодим). Пусть р — некоторая конечная и-аддитивная мера, определенная на и-алгебре.
Й подмножеств из Х, а Ф - заряд, определенный на той же и-алгебре и абсолютно непрерывный отпоспгельно р. Тогда существует такая суммируемая по р функция !' па Х, что Ф(А) = ~ УЖ г!р для каждого измеримого А. Эта функция, называемая производной заряда Ф по мере р, определяется однозначно, с точностью до !л-эквивалшггности. (Две функции называются р-эквивалентными, если они совпадают почти всюду относительно меры р.) Доказательство. Каждый заряд можно представить как разность двух неотрицательных (см.
п. 1), при этом абсолютно непрерывный заряд представляется как разность абсолютно непрерывных. Поэтому доказательство теоремы достаточно провести для неотрицательных зарядов, т.е. для мер. Итак, пусть Ф вЂ” — мера, абсолютно непрерывная относительно данной меры р. Докажем следующук> лемму. 1 б.
Ргнигеграа Пебега как егункцик мнажемиеа 373 Лемма. Пусть мера Ф абсолютно непрерывна относительно р и не равна нулю тождественно. Тогда со ществуют такое п, и такое измеримое множество В, что р1В) > О и В положительно по отношению к заряду Ф вЂ” ир. 1 Доказательство леммы. Пусть Х = А,,ОА„— разложение Хана, отвечающее заряду Ф вЂ” — р 7и = 1, 2,... ) и пусть 1 Ао= 0А'. и=1 Тогда Ф1Ао ) < йр1Ао ) при всех и, т.е. Ф1Ао ) = О и, следовательно, Ф(Ао~) > О, а значит, и Р(А„о) > О 1в силу абсолютной непрерывности Ф по р). Поэтому найдется такое и,, что р14~) > О.
Это и и множество В = А~ удовлетворяют условиям леммы. Перейдем теперь непосредственно к доказательству теоремы. Пусть К --. множество функций 1" на Х, обладающих следующими свойствами; 1 пеотрицательиы, интегрирусмы по р и ) 11х) 11р < < Ф1А) для всякого измеримого А. Пусть Лгт = зпр( / 11х) ггр гю всем 1 е К). Возьмем последовательность функций 11и) из К такую, что 111п 1 у„(х)А11=ЛЕ я Положим д„1х) = щах(111х),..., 1„1х)).
Покажем, что ди Е К, т.е. что для всякого измеримого Е / д„(х) Нр < Ф1Е). е и Действительно, Е можно представить в виде Ц Ьг, где Ьь не иерее=.1 секаются и ди1х) = 111х) на Е1.; поэтому и и ) д„7х) г7р = ~ / Ых) 11р < ~ Ф<Е1.) = 4 7Е). и Ьи1 Ег 1=1 Положим У(х) = 3 йУ (х)). г'Н.
па Неанределеннмн интеграл дебега 374 Ясно, что пРи этом 2'(х) = 1пп дн(х) и, слеДовательно, по теоРеме и — гн. Б. Леви, 1~()1 =,,1 (' *(*)1 =11. Х х Покажем теперь,что Ф(Е) — / г'(х) др = О. По построению, функция множества Л(Е) = Ф(Е) — / г"(х) др неотрицатольна и обладает всеми свойствами меры. Кроме того, она абсолютно непрерывна относительно рн Если Л ф О, то в силу леммы найдутся такое е > О и такое В, 42(В) > О,.
что е44(Е П В) < Л(Е П В) для любого измеримого Е. Тогда, положив 6(х) = Дх) + егв(х), где;4н индикатор множества. В, мы получили бы для любого измеримого Е / 6(х) г1р = / г(х) егр+е44(ЕГ~В) < / г(х) г144+Ф(ЕГ~В) < Ф(Е). Е и Е'1 Я Это означало бы, что функция 6 принадлежит определенному выше множеству К. Но в то же время Ь(х) 1„= 1 ~(х~),1д+-. р(В) > 2И, х х а это противоречит определению АХ. Итак, существование такой функции (, что Ф(А)= 1~( )1д, доказано. Покажем ее единственность.
Если для всех А е б Ф(.4) = / Л(~) е1р = / Ь(х) е1р, Л то при любом и для множеств Ан (х .,г2(х) 24(х) > 14П) имеем МАн) < П 1 (Л(х) 22(х))егм = О. я„ Аналогично, для В = (х: (~(х) — 22(х) > 1гггп) имеем р(ВП,) = О. 1 а Интеграл Стилнгьееа зтз Так как (х . Л (т) 2 22(х)) ) [.) Ан) О ([ ] Вт) то т.е. )2(х) = 12(х) почти всюду. Доказательство закончено. Замечание. Теорема Радона-Никодима представляет собой, очевидно, естественное обобщение теоремы Лебега о том,что абсолютно непрерывная функция есть интеграл от своей производной. Однако в то время как при рассмотрении функций на прялюй у нас есть эффективный способ нахождения производной --. вычисление пРеДела отношениЯ 221 к 2лхг теоРема РаДона .НикоДима лишь Устанавливает существование производной дФ/дд абсолютно непрерывного заряда Ф по мере дг но не дает способа для ее вычисления.
Такой способ можно указать, но мы не будем на этом останавливаться. В общих чертах он состоит в вычислении предела отношения Ф(А)/д(й) по некоторой системе множеств, «стягиваюгпихся» в определенном смысле к данной точке. Детально эти вопросы рассмотрены, например, в [53]. 2 6. Интеграл Стилтьеса 1. Меры Стилтьеса.
В 2 1 предыдущей главы, говорилось о построении меры Лебега на прямой, мы уже упоминали о следуклщей конструкции. Пусть на некотором отрезке [а, Ь] задана монотонно неубываннцая функция Е, которую мы для определенности будем считать непрерывной слева. Определив меры всех отрезков, интервалов и полуинтервалов, принадлежащих основному отрезку [п, Ь], равенствами гп(гг„0) = Г(Я вЂ” Г(ел+ О), т[гг, Я = Е(3+ О) — Е(о), т(о,,1] = г'(о' + О) — г'(о + О), [о,Р) = Г(д) — 12( ), мы можем затем распространить эту меру с помощькл лебеговой процедуры продолжения меры на некоторую а-алгебру пр, содержащую все открытые и все замкнутые (а значит, и все борелевские) подмножества отрезка [а, Ь].
Меру др, полученную с помощью такого построения, называют мерой Лебега — С~пплялггеса, отвечающей 1л. и!. 77еопределгнный интеграл Ууебега 376 функции г', а саму функцию Г называют производящей функцией этой меры'). Рассмотрим некоторые частные случаи мер Лебега Сгилтьеса. Е Пусть 77 -. функция скачков, хы хг,... - - ее точки разрыва, а Ьт, !гз..... - — величины ее скачков в этих точках. Тогда мера рк,. отвечающая этой функции, устроена следующим образом: все подмножества отрезка [а, Ь) измеримы и мера множества А равна рг(А) = ~~~ Ь!. (2) Действительно, из определения меры Лебега Стилтьеса сразу же видно, что мера каждой точки х; равна Ь„а мера дополнения множества (х;)ю ! равна нулю. Равенство (2) для любого А С [а, Ь) вытекает отсюда в силу о-адцитивности меры рр.
Мера !гу, построенная по какой-либо функции скачков, называется дискретной мерой. 2. Пусть г' — абсолютно непрерывная неубывающая функция на [а, Ь] и 7" = гч ее производная. Тогда соответствующая мера рр заведомо определена на всех измеримых по Лебегу подмножествах отрезков [а, Ь), причем для каждого такого множества А рр(А) = / ! (х) дх. я (3) [о д) рк[а, д) = Е(Я вЂ” г'(о) = / !"(х) дх. Поскольку лебегово гтродолжение всякой о-аддитивной меры однозначно определяется своими значениями на исходном полукольце, отсюда следует равенство (3) для всех измеримых по Лебегу А С [а, 61 Мера ря, отвечающая абсолютно непрерывной функции г', называется абсолютно непрерывиой мерой. 3. Если Г сингулярная непрерывная функция, то отвечающая ей мера рк целиком сосредоточена на том множестве лебеговой меры нуль, на котором гч отлична от нуля или не существует.
Сама мера рр называется при этом сингулярной мерой. Ясно, что если Г = г1 -1- Гю то 7гг = рр, -~- !ля, поэтому из разложимости монотонной функции в сумму функции скачков, абсолютно непрерывной и сингулярной компонент следует, что ееякдю с) Если монотонно неубывающая функция Г не непрерывна слева, то по ней тоже можно определить меру, .енеся и формулы (!) очевидные изменения; например, надо положить т(а, д) = е'(6 Ь О) — Е(о — О) и т.
д. Действительно, в силу теоремы Лобега для каждого полуинтервала ! 6. Интеграл Сталпгьеса зтт Г(со) — Г( — со),. Г(оо) = !пп г'(х), Г( — оо) = !пп г'(х) где (сущоствовапие пределов следует из монотонности и ограниченности г'). Понятие меры Лебега — Стилтьеса на самом деле исчерпывает все меры (т.е. все конечные о-аддитивные неотрицательные функции множеств) на прямой. Действительно, пусть д любая из таких ме . Положив р г'(х) = д( — со,х), мы получим монотонную функцию, такую, что отвечающая ей мера Лебега — Стилтьеса совпадает с исходной мерой д.
Таким образом., термин «меры Лебега-Стилтьеса» на самом деле не выделяет какого-либо специального класса мер на прямой, а указывает лишь на определенный способ построения таких мер -- по заданной производящей функции. 2. Интеграл Лебега — Стилтьеса. Пусть р,р мера на отрезке (а, Ь), порожденная монотонной функцией Г. Для этой меры обычным образом определяется класс суммирусмых функций и вводится понятие интеграла Лебега / 1(х)4 ь. а Такой интеграл, взятый по мере рр, отвечающей функции Г, яазывается интегралом Лебега. Стилтьеса и обозначается символом ь ~ У(х) дГ(х) а меру Лебега.-Стилтъеса можно представить в виде суммы дискретной, абсолютно непрерьгвной и сингулярной компонент.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
