1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 69
Текст из файла (страница 69)
и(х ) и(з,в ) < е. Так как и -. монотонно неубывающая функция, то отсюда следует, что в(х*) — и(х) < е для всех х таких, что хп 1 < х < х'. А это и означает непрерывность функции и в точке х* слева. Если Г" непрерывна в точке х* справа, то, как показывают аналогичные рассуждения, и и непрерывна в этой точке справа. Следовательно, если у непрерывна в некоторой точке (или на всем отрезке [а, Ь]), тпо непрерывна и в. Пусть 7 произвольная функция на [а, О] с ограниченным изменением и в — ее полное изменение на [а, х]. Рассмотрим разность Эта разность представляет собой монотонно неубывающую функцию.
Действительно, пусть х' < х". Тогда ф(х ) — гг(х ) = [ю(х ) — в(х )] — [у(х ) — г (х )]. (7) Но всегда йхз') — 1(х')[ < (хв) — (х') = 1'."'"И, поэтому правая, а значит, и левая части равенства (7) неотрицательны. Итак, поскольку У=и у~ мы получили следующий результат: Теорема Е Всякая функция с ограниченным изменением может быть представлена как разность двух монотонно неубывающих функций. Обратное утверждение очевидно: всякая функция, представимая в виде разности двух монотонных, имеет ограниченное изменение. 1 2.
Функции с ограниченным изменением 355 Предположим, кроме того, что если х„= а, то д„= О, а если хн = Ь, то 6„= О. Положим ф(х) = ~ д„+ ~ Ьи. [8) е„<е г <г Мы будем называть теперь функциями скачков любые функции вида [8). Полное изменение функции ф[х) равно, очевидно, ~ [[д„[+[8„[), п Точками разрыва функции [8) служат те хн, для которых хотя бы одно из чисел дн, Ьн отлично от нуля; при этом ф[хи) — ф[х„— 0) = д„, ф[х„+ 0) — ф(х„) = Ьн.
Теперь легко получается следующее утверждение, обобщающее утверждение 4 и. 1 предыдущего параграфа. Всякая функция 1 с ограниченным изменением, определенная на [а, Ь[, может быть представлена, и притом единственным образом, в виде 1=Ф+ф где уз непрерывна, а ф — — функция скачков. Упражнения. 1. Если т' имеет на [а, Ь[ ограниченную производную (т. е. ~'[х) существует всюду н [1ч[х)[ < С), то г' функция с ограниченным изменением, причем Ъ'„е[1) ( С[Ь вЂ” а). Поэтому совокупность функций, представимых в виде разности монотонных функций, рассмотренная нами еще в предыдущем параграфе, это и есть совокупность функций с ограниченным изменением.
Из теоремы 1 и установленной в предыдущем параграфе теоремы Лебега о существовании производной у монотонной функции сразу следует, что всякая функция с ограниченным изменением имеет почти ванду конечную производную. Перейдя от монотонных функций к функциям с ограниченным измененном, полезно следующим образом обобщить введенное выше понятие функции скачков.
Пусть хы..., хн,... -- конечное или счетное множество точек на [а, Ь[. Поставим в соответствие каждой нз этих точек хн два числа д„и Ьн так, что 1л. р!. ь!гааргдглгиима анпьгграл Лгбгга 356 2. Пусть т(х) = х сйп — прн х ~ 0 и !(0) = О. Показать, что изменение 1 функции !' на [О, Ц бесконечно. Постоянные, и только они, представляют собой функции, полное изменение которых равно О. Положим 1 ь[(] Величина г'„ь[г] облготает свойствами 2) и 3) нормы (см.
и. 1 З 3 гл. П), но не свойством Ц. Если рассмотреть только функции, удовлетворяющие дополнительному условию 1(о) = О, то они также образуют линейное пространство, н котором величина 1~~[Я обладает уже всеми свойствами нормы. Пространство Го[о, Ь] функций с ограниченным изменением на [а, Ь], удовлетворяющих условию 1(о) = О, с обычными определениями сложения и умножения на числа и с нормой ]]Л вЂ” 1/ьИ называется пространством функций с ограниченным изменением.
(Докажите полноту этого цространства.) Упражнение. Докажите, что []!][ = [!(а)[ -Ь 'г', [!] является нормой в пространстве всех функций с ограниченным изменением на отрезке [а, Ь] и докажите полноту этого пространства. '2 3. Производная неопределенного интеграла Лебега В 2 1 мы показали, что интеграл Дебета / У(!) 1! а как функция от х имеет почти всюду конечную производную. Однако мы пока еще не выяснили, как связана эта производная с подынтегральной функцией.
Сейчас мы установим следующий результат, упомянутый н конце з 1. Те о ре м а 1. Для всякой суммируемой функции 1" почти всюду имеет место равенство — ', / У(!) ! = У( ) а Д о к а з а т е л ь с т и о. Положим Ф(х) = / ! (!) й. 1 3. Проигводнал неопределенного интеграла 357 Покажем вначале, что почти всюду ~Ф>ФФ. Если Дя) < Ф'(я), то найдутся такие рациональные числа а и 77', что 7(я) < а <,3 < Ф'(т). (1) Пусть Е з - — множество тех точек, в которых выполнено неравенство (1). Оно измеримо, поскольку 7" и Ф' измеримы. Покажем, что мера каждого из множеств Е з равна нулю.
Так как число этих множеств счетно, то отсюда будет следовать, что 1г)т: у(,) < Ф'( )) = О. Пусть е > О произвольно и пусть б > О таково, что 1 ~® е1« как только 7г(е) < 6 (такое 6 сУществУет длЯ любого е в силУ абсолютной непрерывности интеграла; см. теорему 5 з 5 гл. У).
Выберем теперь открытое множество С С [а, 6) так, что С З Е в и 7г(С) < р(Е в) +б (см. упражнение в п. 7 5 4 гл. У). Если я е Еад, то Ф(6 — Ф(т) (2) 5 — т для всех С > т, достаточно близких к т. Записав неравенство (2) в виде Ф® — Я > Ф(т) — 77т, получаем, что точка т невидимая справа для функции Ф(т) — 3т на любом из составляющих интервалов множества С. Используя лемму Ф.
Рисса, мы можем поэтому указать такое открытое множество Я = О(аь, Ьь), состоящее из непересекающихся интервалов, что Е„в с Я с С и Ф(Ьа) — ~36ь > Ф(аь) — Даь, т.е. Ф(Ьь) — Ф(аь) > Д(Ьа — ав), 1 Ы)6>ЯЬ вЂ” пь) аа Суммируя такие неравенства по всем интервалам (аы Ьь), составляющим о', получаем у у(т) ~)1 > в7г(я). Рл. Цй Нгааргдглгннмп интеграл ггебгга В то же время 1уяй= Г т)й+ 1 тй< 5 Е„а я~я г < ор(Еав) +е < од(Я) +с+ ~о~6. (4) Сравнивая (3) и (4), получаем од(Я + е+ ~о(б > йд(Я), г+ )о(6 г~ — о Таким образом, множество Е в можно заключить в открытое множество сколь угодно малой меры (мы можем считать, например, что ~о~б < е), а это и означает, что д(Е и) = О.
Итак, мы показали, что 1(х) > Ф (х) почти всюду. Заменив ((х) на — Дх), мы таким же путем получим, что почти всюду -Д(х) > -Ф'(х),. т.е. ((х) < Ф'(х) и, следовательно, почти всюду Х(х) = Ф'(*) аа †„'. У Ы а ~ 4. Восстановление функции по ее производной. Абсолютно непрерывные функции Итак, мы решили первый из поставленных в начале этой главы вопросов, установив равенство + / Дй) й = Дх) (почти всюду) а для любой суммируемой на [а, Ь) функции (. Рассмотрим теперь второй из сформулированных там вопросов, т. е, выясним, как обобщается на случай интеграла Лебега формула Ньютона — Лейбница Е(х) = Г(а)+ /'Е'Яй., (1) а хорошо известная в случае непрерывно дифференцируемых функ- ций из элементарного анализа. 1 4.
Восстпановление функции по ее проивводнон 359 Естественно ограничиться рассмотрением функций Е, заведомо дифферонцируемых почти всюду (иначе равенство (1) просто не имеет смысла). Как мы уже знаем, такими, в частности, являются функции с ограниченным изменением. С другой стороны, интеграл, стоящий в (1) справа, есть функция с ограниченным изменением. Поэтому равенство (1) не может быть верно цпя более широкого класса функций. Поскольку всякая функция с ограниченным изменением есть разность двух монотонно неубывающих, то именно монотонные функции н нужно рассмотреть в первую очередь.
Однако для произвольных монотонных функций равенство (1), вообще говоря, но имеет моста. Вместе с тем справедлива оледь ющая теорема. Теорема 1. Производная г' монотонно неубывающей функции у суммируема и ь / У'(х) с)х < 1(6) — ((а). Доказательство. По определению, производная функции 1 в точке х есть предел отношения ) 1(х+ 6) — ) (х) (2) при 6 — ь О. Из монотонности 1 вытекает ее суммируемость, а значит, и суммируемость каждой из функций уьь. Поэтому равенство (2) можно проинтегрировать. Получаем ь ь ь / уоь,(х) еьх = — / 1(х + 6) дх — — / ) (х) дх Ь-ь аьь — / у" (х) с)х — 1 (' Г'(х) аьх.
Ь а Стоящее справа выражение при 6 ь +О стремится к 1(6) — 1(а+ 0). (Докажите!) Поэтому, применив теорему Фату (теорема 8 9 б гл. Ьт), мы получаем )' У'(х) )х < 1)ш У ы,(х) )х = У(Ь) — У(н+ О) < У(Ь) — У(о) а 'а (само существование интеграла от г' также обеспечивается теоремой Фату). Теорема доказана. ') с!тобы выражение 1(х -Ь Ь) имело смысл при любом х Е (а, Ь), можно считать, что Пх) = у"(Ь) при х ) Ь и 1(х) = Ца) при х < а. Рл. Ьт. Неанределенньш интеграл Лебега 360 Рис.
21 Нетрудно привести пример монотонной функции, для которой имеет место строгое неравенство / / (х) дх < /(6) — /(а). а Достаточно положить 0 при О<х<1/2, /(х) = 1 при 1/2<х<1. Интересно, однако, что существуют непрерывные монотонные функции, для которых строгое неравенство е / / (1) е11 < /(х) — /(а) а выполнено при всех х > а. Вот один из простейших примеров. Рассмотрим на отрезке [О, 1] канторово множество и определим / сначала на его смежных интервалах, положив /(1) 29 — 1 й 1 2 3 2н — е на а-м смежном интервале н-го ранга (включая и его концы). (Интервалы нумеруются слева направо.) Следовательно, /(1) = 1/2 при 1/3 < 1 < 2/3, /(1) = 1/4 при 1/9 < 1 < 2/9, /(1) = 3/4 при 7/9 < 1 < 8/9 и т.
д. (рис, 21). Таким образом, / определена на отрезке [О, 1] всюду, кроме точек второго рода канторова множества (т. е. точек, не принадлежащих ни смежным интервалам, ни совокупности их концов). 1 4. Воееапановление функции по ее проивводнои зщ Доопределим теперь 1' в этих оставшихся точках следующим образом. Пусть г" одна из таких точек и пусть (г„) сходящаяся к ней возрастающая последовательность точек первого рода (т,е. концов смежных интервалов). Тогда существует предел 1пп 1(ь'„): (3) аналогично, существует и предел 1пп 1(ь„), (4) если (Х'„) - убывающая последовательность точек первого рода, сходящаяся к 1*, причем пределы (3) и (4) равны между собой. При- няв это общее значение за 1(1*), мы получим монотонную функ- цию, определенную и непрерывную па всем отрезке [О, Ц, называе- мую «канторовой лестницей».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
