1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Н. Мера, измеримые функции, интеграл 336 Тогда ' ) 1~( у)'! =)'(,.( ~('у)'!")'*= 1(1 ~(*у)~р.)'! ' А х л. г Лг (10) Доказательство. Проведем сначала доказательство для случая ! (х, у) ) О. С этой целью рассмотрим тройное произведение Гк Хху'хЕ, где третий множитель есть числовая прямая, и произведение мер А = р.зр„~д = р Зд, 1 ! где р' есть линейная лебегова мера. В Г определим подмножество И' условием: (х,у,х) е И', если (х, у) Е А, 0 < 3 < Г" (х, у). В силу теоремы 4 Л(И') = 1 У(х, у) с!!г. (11) С другой стороны,по теореме 3 Л(И ) = 1 6И.)4р., (12) х где ~ = рр х р и И~ обозначает множество пар (у, х), для которых (х, у, х) б И'.
При этом, снова по теореме 4, 6И'.) = (' 1(х,у)с!!гг. (13) Сопоставляя (1Ц, (12) и (13), получаем ) !'( у)с! = ) ( ( ~( у)г1 т~с! ' А х А. что н требовалось доказать. Общий случай сводится к разобранному при помощи равенств Д(х, у) = 1~(х, д) — ( (х, у), 3. ~Т(х, у) ~ -'с Т(х, у) (Д(х, у) ~ — Д(х, у) г) Сги сноску к теореме 3. Утверждение теоремы включает существование внутреняих интегралов в скобках при почти всех значениях переменного, по которому берутся внешние интегралы. 1 В.
Ирямыс произведения систем мнсс1сссте и мер 337 Замечание. Как показывают приводимые ниже примеры, из существования повторных интегралов Х ( Х Хд „)д, Х ( 1 Хдн,,)д „(14) Х А, У Ае не следуют, вообще говоря, ни равенства (10), ни интегрируемость функции Х(т., у) на А. Однако, если сущесгпвует хотя бы один из ин- тегралов / ( ( ~Х(х,у)~дур) дря или ~ ( / ~Х(х,у)~д711) дур, (15) Х А У Ар 1по Х(х, у) интегрируема на А и справедливы равенства (10). Действительно, пусть, например, первый из интегралов (15) су- ществует и равен 11Х.
Функция Х„(х, у) = пппо(х, у)!, и) измерима, ограничена, а значит, и суммируема на А. По теореме Фу.бини / Х-( су)дд= ~(~ Х-( су)дд,)ддх<ЛХ (16) Функции Х„образуют монотонно неубывающую последователь- ность, почти всюду сходящуюся к ~Х(х, у) ~. По теореме Б. Леви отсю- да и из неравенства (16) следует, что функция ~Х(х, у) ~ суммируема на А. Но тогда и Х(х, у) суммирусма и для пее верна теорема Фуби- ни. Отсюда вытекает наше утверждение.
Мы доказали теорему Фубини в предположении, что меры д, и др (а значит, и 71) конечны. Однако опа остается справедливой и в слу- чае в-конечных мер (см., например, (2Ц, с. 208). Приведем примеры функций, ддя которых существуют повторные ин- тегралы (14), но равенство (10) не имеет места. 1. Пусть А = ( — 1, Ц1, Х(ху)= г 11 при 1с +у )О в Х(0,0)=0; (х +х) тогда Х' Х(х, д) дх = 0 — 1 при всех у и 1 Х(х,у)ду=о при всех х. Повтому 1 1 / ( ) Х(х,у)дх)ду= / (/ Х(х,у)ду)дх=О, Пь Ъ". Мерв, измеримые фрикции, иивгегрве 338 но интеграл в смысле двойного интеграла Лебега по квадрату пе суще- ствует, так как о о 2. Пусть А = ~0, Цг, 22 1"1х,й) = 22 .е1 Можно подсчитать, что о о при — „( х ( 2" 2" при — (х ( —; 1 1 2"т1 2 в остальных случаях.
1 1 1И Ьх,„))х) )„=О, о о 1 1 / (/ 11х, у) 11у) 11х = 1. 1 082=2 / г =со. о 1 1 2 — (р( — „ 1 1 — 1 ' ГЛАВА ГЛ НЕОПРЕДКЛКННЪ|Й ИНТКГРАЛ ЛЕБКГА. ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ В этой главе мы будем рассматривать интеграл Лебега в основном для функций на прямой, считая, что мера, по которой этот интеграл берется, есть обычная линейная мера Лебега.
Если у суммнрусмая функция, определенная на измеримом пространстве Х с мерой ?ь,то интеграл / ?(х) др существует для каждого измеримого А С Х и при фиксированной ? представляет собой функцию множества, определенную для всех измеримых подмножеств А С Х. Такой интеграл называется неопределеннььм интезрилом Лебези. Пространством Х может, в частности, служить отрезок числовой прямой. Если при этом А тоже некоторый отрезок, то интеграл (*) будет функцией пары точек концов отрезка А. Будем считать, что в этом случае мерой р является обычная мера Лебега н писать дй вместо др. Зафиксировав один из концов промежутка интегрирования, скажем, левый, мы можем изучать свойства интеграла ? ? (г) дь', взятого по отрезку (а, х], как а функции одного переменного х.
Эта задача приведет нас к рассмотрению некоторых важных классов функций на прямой. Общей задаче изучения интеграла Лобега от фиксированной функции ? как функции множества посвящен ~ 5. Из элементарного курса анализа, известны следующие основные равенства, дающие связь между операциями дифференпнрования и интегрирования: если ? . непрерывная функция, а с . функция, имеюьпая непрерывную производную, то ) 4х 1 ~( ) а ь 2) / Е'(?) дь' = Е(5) — г(а).
а Спрашивается: верно ли равенство Ц для функций, суммнрусмых в смысле Лебега'? Каков класс функций (возможно, более широкий), для которого выполняется равенство 2)'? Этим вопросам посвящены следующее параграфы данной главы. Рл. Рб Неопределенный ннпгеграл Лебега 340 0 1. Монотонные функции.
Дифференпируемость интеграла по верхнему пределу 1. Основные свойства монотонных функций. Изучение свойств интеграла Лебега а как функции верхнего предела мы начнем со следукзщего очевидного, но важного замечания: если функция 1 неотрицательна, то Ф(т) . монотонно неубывающая функция. Далее, всякая суммируемая функция есть разность двух неотрицательных суммируемых: (2) д'(1) = А-(г) — д'-(г). Поэтому интеграл (1) разлагается в разность двух монотонно неубывающих функций. Следовательно, изучение интеграла Лебега как функции верхнего предела можно свести к изучению монотонных функций того же типа. Монотонные функции (независимо от их происхождения) обладают рядом простых и важных свойств, которые сейчас будут изложены.
Напомним некоторые понятия. Всюду, где не оговорено противное, будут рассматриваться функции, заданные на некотором отрезке. Функция 1 называется монагаанно неубывающей, если из хт < хз следует .((х ) < ((х ); аналогично определяются ыопотогпю невозрастающие функции. Пусть у —. произвольная функция на прямой. Предел' ) 1пп Д(хо + 6) 6 — е-~-0 (если оп существует) называется пределом спраоа функции д" в точке хо и обозначается д" (хо+ 0). Аналогично определяется ((хо — 0) пРедел слева фУнкции д" в точке хо Равенство У(хо+ О) = У(хо — О) означает, очевидно, что в точке то функция у или непрерывна, или имеет устранимый разрыв. Точка, в которой оба эти предела существуют, но не равны между собой, называется точкой' разрыва пеувого Роди, а Разность 1(хо + О) — 1(хо — О) называетса скачком функции д в этой точке. ') Символ й -з +О означает, что и стремится к нулю, принимая только положительные значения.
1 1. Монотонные функции 341 Если ((хо) = У(хо — О), то У называется непрерывноа слева в точке хо, .а если ((хо) = 1(хо+ О), то ( непРеуывна сиРава в этой точке. Установим основные свойства монотонных функций. Для определенности мы будем говорить о монотонно неубывающих функциях, хотя ясно, что все сказанное ниже автоматически переносится на функции, монотонно невозрастающие. 1. Всякая моноп1онно неубываюицол на [а, Ь] фупкцил Г измерима и огравичева, а следовательно, суммируема. Действительно, но определению монотонности, 1(а) < 1(х) < 1(Ь) на [а, Ь].
Далее, для любого постоянного с множество А, = (х: 1(Х) < с) есть либо отрезок, либо полуинтервал (либо пусто). В самом деле, пусть точки, в которых 1(х) < с, существуют, и пусть д есть точная верхняя грань таких х. Тогда А, есть или отрезок [а,д], или полуинтервал (а,д). 2. Монозпонна функция может имать разрывы люлько первого рода. Действительно, пусть хо -- произвольная точка на (а, Ь] и хк — >хо, причем х„< хо. Тогда последовательность (1(х„)) ограничена снизу и сверху (например, величинами 1(а) и ф(Ь)).
Следовательно, она имеет хотя бы одну предельную точку. Но наличие у любой такой последовательности нескольких предельных точек противоречило бы, очевидно, монотонности функции 1. Таким образом, 1(хо — О) существует. Аналогично устанавливается существование ) (хо + О). Монотонная функция не обязана быть непрерывной. Однако верно следующее утверждение. 3. Множесеаво гпочек разрыва монотонной функции не более чем счетно. Действительно, сумма любого конечного числа скачков монотонной функции ( на отрезке ',а, Ь] не превосходит 1(Ь) — 1(а).
Следовательно, для каждого и число скачков, величина которых больп1е, чем 1/и, конечно. Суммируя по всем и = 1, 2,..., получаем, что общее число скачков конечно или счетно. Среди монотонных функций простейшими являются так называемые функции скачков. Они строятся слсдюощим образом. Иуть на отрезке [а,Ь] задано конечное или счетное число точек х1,...,хг, 1л. ц!.
6!еопределеннми ннюегрол Лебего 342 и пусть каждой из них поставлено в соответствие положительное число Ьп, пРичем 2, Ьп < оо. ОпРеделим фУнкцию ( на [а,Ь],поло- У(х) = ~ Ь„. (3) х <х Ясно, что зта функция монотонно неубывающая. Кроме того, она непрерывна слева') в каждой точке, а совокупность ее точек раЗрЫВа СОВПадаст С МНОжЕСтВОМ (Хо)2), ПРИЧЕМ СКаЧОК В ТОЧКЕ Хп равен Ь„. Действительно, !" (х — 0) = 1пп б(х — е) = 1цп ~ ~Ьп, х„<х — е но так как каждое х„, удовлетворяющее условию х„< х, удовлетворяет и условию х„< х — б при достаточно малом б, то последний предел равен 2 Ьп = !" (х), Таким образом, !'(х — 0) = !'(х). х <х Если точка х сов и ад ае т с одной из точек хн, скажем, х = х„„ то ,((хпе + О) = 1пп !"(х„+ е) = 1пп ~ Ь„= ~ Ьн, х" <х"е+е *" <х" е т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
