1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Н. Лузина). Как показывает теорема Лузина, для функций числового аргумента С-свойство можно положите в основу самого определения измеримости. Доказательство теоремы Лузина можно получить, воспользовавшись теоремой Егорова (проведите это доказательство!). Упражнение. Доказать, что если А — измервмае множество на отрезке ~а, Ь), то дая любого е>0 найдутся такое открытое множество С Э А н таков замкнутое ъшажестео Р с А, что р(о ~ А) < е в д(А ~ Г) < -. 'ч 5. Интеграл Лебега Понятие интеграла Римана, известное из элементаряого курса анализа, применимо лишь к таким функциям, которые или непрерывны или имеют «не слишком много» точек разрыва.
Для измеримых функций, которые могут быть разрывны всюду, где они определены (или же вообще могут быть заданы на абстрактном множестве, так, что для них понятие непрерывности просто не имеет смысла), римановская конструкция интеграла становится непригодной. Вместе с тем для таких функций имеется весьма совершенное и гибкое понятие интеграла, введенное Лебегом. Основная идея построения интеграла Лебега состоит в том, что здесь, в отличие от интеграла Римана, точки л группируются не по признаку их близости на оси ж, а по признаку близости значений функции в этих точках.
Это сразу же позволяет распространить понятие интеграла на весьма широкий класс функций. Кроме того, интеграл Лебега определяется совершенно одинаково для функций, заданных на любых пространствах с мерой, в то время как интеграл Римана вводится сначала для функций одного переменного, а затем уже с соответствующими изменениями переносится на случай нескольких переменных. Для функций же на абстрактных пространствах с мерой интеграл Римана вообще не имеет смысла. Всюду, где не оговорено противное., будет рассматриваться некоторая полная в-аддитивная мера д, определенная на ет-алгебре множеств с единицей Х.
Все рассматриваемые множества А С Х будут предполагаться измеримыми, а функции Дл) определенными для х б Х и и.змеримыми. Нам удобно будет определить интеграл Лебега вначале для так называемых простых функций, а затем распространить его 1 б. Инпееграа гтебега зп на существенно более широкий класс функций. Пункты 246 содержат построение интеграла Дебета для случая, когда мера всего пространства конечна.
Случай бесконечной меры рассматривается в п. 6 этого параграфа. 1. Простые функции. Определение 1. Функция у(т), определенная на некотором пространстве Х с заданной па нем мерой, называется пробный, если она измерима и принимает не более чем счетное число значений. Структура простых функций характеризуется следующей теоремой. Теорема 1. Функция Дт), принимающая не более чем счетное число различных значений УЫ. гупг. измерима в том и только том случае, если все множества Ап = (т: 11т) = у„) измеримы. Доказательство.
Необходимость условия ясна, так как каждое Ап есть пРообРаз одноточечного множества 1У„), а всЯкое одноточечное множество является борелевским. Достаточность следует из того, .что в условиях теоремы прообраз 1 '(В) любого борелевского множества есть объедипоние Ц .4„не более чем счетного у„ен числа измеримых множеств у1ео т.е.
измерим. Использование простых функций в построении интеграла Дебета будет основано на следующей теореме. Теорема 2. Для измеримости функпии Дт) необходимо и достаточно, чтобы она могла быть представлена в виде предела равномерно сходящейся последовательности простых измеримых функций. Доказательство. Достаточность ясна из теоремы 4 предыдущего параграфа. Для доказательства необходимости рассмотрим пРонзвольнУн> измеРимУю фУнкцию 1'1т) и положим Угг(а) = т,(п, если пг)п < 11т) < (т + 1)уп (здесь т --. целые, и -- целые положительные). Ясно, что функции уп(т) простые; при и, -э оо они равномерно сходятся к 1(я), так как 11(к) — у„(т) ~ < 1(гь Гл. У.
Мера, измеримые функции, инепеграл зщ 2. Интеграл Лебега для простых функпий. Мы введем понятие интеграла Лебега сначала для функций, названных выше простымн, т.е. для измеримых функций, принимающих конечное или счетное число значений. Пусть ( - некоторая простая функция, принимающая значения Уы",Уп,", У* ~ У, пРи г ФЭ, и пусть А некоторос измеримое подмножество Х. Естественно определить интеграл от функции (' по множеству А равенством / 11х)е((г = ~ ~У„(г(А„)г где 4„ = 1х:х Е А, 11х) = Уп), 11) если ряд справа сходится. Мы приходим к следующему определению (в котором по понятным причинам заранео постулируется абсолютная сходимость ряда).
Определение 2. Простая функция (" называется интегрируемой или суммируемоб (по мере д) на множестве .4, если ряд 11) абсолютно сходится. Если т" интегрируема, то сумма ряда 11) называется инрлегрилом от у по множеству А. В этом определении предполагается, что все уп различны. Можно, однако, представить значение интеграла от простой функции в виде суммы произведений вида сь(г(ВУ) и не предполагая, что все сь различны. Это позволяет сделать следующая лемма.
Лемма. Пусть А = ) )Вы В, ОВ = и приз ф у и пусть на каждом множестве Вь функция у принимает только одно значение сь, тогда / К4 (д = У,е,д(,В ), 12) 2 ь ц(зи чем функция ( интегрируамв па А в том и только том случае., когда ряд 12) абсолютно сходится. Доказательство. Легко видеть, что каждое множество Ап=)х;хЕА, У(х)=уп) является объединением тех Вги для которых сь = уп. Поэтому уп(л(Ап) = ~ у„~~~ (г(Вь) = ~ су(г(Вь(. и п се=у ь Так как мера неотрицательна, то Е~у-~Р(А-) =Е~у-~ ~ д(Вь) =~~с ~Р(Вь), ел=у„ г б. Интеграл Иебега 313 остановим некоторые свойства интеграла Лебега от простых функпий. А) ~Ф )+д(х))др= 1 У(х)д + 1 д(')др, А А А причем из существования интегралов в правой части равенства следует существование интеграла в левой. Для доказательства предположим, гго 1 принимает значения 11 на множествах г; с А, а д значения д на множествах С с А, так что 1 = 1 Х(х) Д = ~.,Хпи(Р' ), А е '12 1 д(х) Лег Е д р(Сб) (3) (4) Тогда в силу леммы 1 = / (1(х) +д(х))ф, = ~~(11+ д ) р(Г; пс ); (5) А но Р(Г1) = ~ ~Р(Г,, б1 Сг), д(Су) = ~ Р(Ре и С,), у так что из абсолютной сходимости рядов (3) и (4) следует и абсолютная сходимость ряда (5); при етом ,1 =,11 + 13.
Б) Для любого постоянного й )' й1(х) др = е. / 1(х) др, причем из существования интеграла в правой часпги следует существование интеграла в левон части. (Проверяется непосредственно.) В) Ограниченн я на множестве А простоя функц я 1 интегрируема на А, причем если ~Дх)~ < ЛХ на А, то ~~ Х(*) Ь ~ МИ(А).
,1 (Проверяется непосредственно.) т.е, ряды ~„ута(Ан) и ~„сед(Вь) абсолютно сходятся или расхоп ь дятся одновременно. Лемма доказана. Гл. ц. Мера, измеримые функции, интеграл 314 3. Общее определение интеграла Лебега на множестве конечной меры. Определение 3. Назовем функцию т' интегрируемой (сумМируЕМОй) Па Лтижеенгес А, ЕСЛИ СугщЕСтнуст ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтв простых интегрируемых на А функций (ги), сходящаяся равномерно к 1. Предел (6) обозначим Г Х(т) 111 А и назовем интегралом функции у" по множеству А.
Это определение корректно, если выполнены следующие условия. 1. Предел (6) для любой равномерно сходящейся последовательности простых интегрируемых ца А функций существует. 2. Этот предел при заданной функции 4' не зависит от выбора последовательности )у ).
3. Для простых функций определение ннтегрируомостн и интеграла равносильно даяному в п. 2. Все эти условия действительно выполнены. Для доказательства первого достаточно заметить, что в силу свойств А), Б) и В) интеграла от простых функций / 1 Юе144 — ~ 1 (я)Ф~ <д(А) 1 ~У„(т) — У„,(кИ (7) А ееА Для доказательства второго условия надо рассмотреть две последовательности, 1т"„) н 1Д), сходящиеся к т'. Если бы предел 16) для этих двух последовательностей принимал различные значения, то для последовательности, полученной объединением этих двух, предел (6) не существовал бы, что противоречит первому условию. Наконец, для доказательства справедливости третьего условия достаточно рассмотреть последователыюстти в которой у„равняется т для всех п.
Замечание. Мы видим, что в построении интеграла Лебега имеются два существенных этапа. Первый непосредственное определение интеграла (как суммы ряда) для некоторого класса функций 1простых суммируемых функций), достаточно простого и в то же время достаточно обширного, второй —. распространение определения интеграла на существенно более широкий класс функций 1 5. Интеграл Иебега 315 с помощью предельного перехода.
По существу, сочетание этих приемов непосредственного конструктивного, но узкого определения и последующего предельного перехода присутствует в любом построении интеграла. Установим основные свойства интеграла Лебега. Непосредственно из определения следует, что: (8) П. Длл любого постояттого к )' 1'1 )« = 1 ~(к)др. .4 Л причем из существования интеграла в правой части вытекает существование интегра,ла в левой. Это свойство выводится при помопщ предельного перехода из свойства Б) для интеграла от простых функций. П1, Аддативность: 1 [у(х) + 9(х)) 1Р = 1 ах) дре + 1 9(х) Йр, (10) Л Л Л причем из существования интегралов в правой части вытекает существование интеграла в левой.
Доказательство получается предельным переходом из свойства А) интеграла от простых функций. 1У. Ограниченная па множестве А функция 1" интегрируема на А. Доказательство получается предельным переходом из свойства В) интеграла от простых функций, с использованием теоремы 2. У. Монотонность; если ф(о))) О, то 1Ю(1! )О (11) 1 ~~*)д - / (12) а поэтому, если т, < з 1я) < М для всех (или почти всех) я Е А, то р(А) < 1 аэ)др < МРЯ (13) Л (в предположении, что интеграл сушествуот). Для простых функций это утверждение следует прямо из определения, а в общем случае его можно вывести, заметив, что если 1 измерима и неотрицательна, то найдется равномерно сходящаяся к ней последовательность (см.
теорему 2) неотрицательных простых функций. Из последнего свойства сразу следует, что если 11х) ) 9(т), то рл. Н. Мера, измеримые функции, интеграл 316 Ч1. Если д1А) = О, то / 1 (х) дд = О. А У1'. Если 1 (х) = д(х) почти всюду, то / 1( )др = ~ дауду, .А А причем оба интеграла существуют или не существуют одновременно. Эти два утверждения непосредственно вытекают из определения интеграла Лебега.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
