1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Определение 1. Внешней мероп множества А с Е называется число д*(.4) = 1пГ~т(Ви), л где нижняя грань берется по всем покрытиям множества А конечными или счетными системами множеств В„Е б Следующее свойство внешней меры играет основную роль во всем дальнейшем построении.
Теорема 1 (счетная полуаддитивность). Если А СОА„, а где (Аи) конечная или счетная система множеств, то д" (А) < ~~г д*(А„). Доказательство этого утверждения совпадает с доказательством теоремы 3 8 1 и мы не будем его повторять. 2 3.
Лебегооо продолжение меръг 289 Определение 2. Множество А называется измеримым (по Дебету), если, каково бы ни было е > О, найдется такое В Е Я(б„„), что р*(А о В) < е. Функция р*, рассматриваемая только на измеримых множествах, называется лебеговой мерой (или просто мерой) и обозначается р. Ясно, что все множества из б, и из Я(бж) измеримы.
При этом, если А ~ б, то р(А) = рл(А), Это равенство доказывается точно твк же, как и его аналог для множеств на плоскости. Из равенства '41 гл А2 (Е ~ '41) ег (Е 1 А2) следует, что если .4 измеримо, то его дополнение тоже измеримо. Установим теперь основные свойства измеримых множеств и определенной на них лебеговой меры. Теорема 2.
Система,9Л всех измеримых множеств есть кольцо. Доказательство. Так как всегда А, П А = А1 11 (А1 11 .42), А1 гд Аг — — Е 11((Е 11 А1) й (Е ~ А2)), р*(А1 л В1) < Е/2 и р*(А1 ег В2) < Егг2. Полагая В = В1 11 Вг е Я(бгп) и пользуясь соотношением (А 11 В ) гт (В1 11 В2) с (А1 й В1) О(А2 й Вт), /х (АоВ)<е. получаем В силу произвольности е > О отсюда вытекает измеримость множе- ства А. 3 в м е ч а н и е.
Очевидно, .что Е есть единица кольца 9Л, которое, таким образом, является алгеброй множеств. то досгаточно показать следующее. Если А1 Е 9Л, Аг Е 9Л, то иА=А111А2 Е9Л. Пусть А1 и Аг измеримы; тогда существуют В1 е Я(б ) и Вг е Я(б,п) такие, что Гл. у. Мера, измеримые функции, инигеграл 290 Теорем а 3. На системе 9Л измернмьгх множеств функция д(А) аддитнвна. Доказатольство этой теоремы представляет собой дословное повторение доказательства теоремы 6 9 1. Теорема 4. На системе 9Л измеримых множеств функция д(А) п-аддитивна. Доказательство. Пусть А= () А„, А,АМА2, . е9Л, А;ПА =йг при гу'.-г1 В силу теоремы 1 1л(А) ( Е 12(Аи), п (2) а в силу теоремы 3 при любом гзг Х Х 1г(.4) ) д( () А,) = ~~ 1г(А„), и=1 откуда д(А) ) ~ ~д(А„).
п (3) Теорема 5. Систегга 9Л измеримых по Лебегу множеств является гт-алгеброй с единицей Е. Доказательство. Так как П ~.=Е~ЫЕ~А.) и и и так как дополнение измеримого множества измеримо, то достаточно показать следующее. Если Аы ...., А„, ... принадлежат 9Л, то А = () А„также принадлежит 9Л. Доказательство этого утвержден ния, проведенное в теореме 7 9 1 для плоских множеств, дословно сохраняется и в общем случае.
Так же как и в случае плоской меры Лебега, из и-аддитивности меры следует ее непрерывноангет т. е. если д и-аддитивная мера, Из (2) и (3) следует утверждение теоремы. В 91, рассматривая плоскую меру Лебега, мы показали, что не только конечные, по и счетные суммы и пересечения измеримых множеств также измеримы. Это верно и в общем случае, т.е.
справедлива следующая теорема. 1 3. Лебегооо продолжение мери 221 определенная на ег-алгебре, Аг З .. З А„З ... — . убывающая пеночка измеримых множеств н А = ПАп, то р(А) = 1пп д(А„), п — гао а если А1 С .. С А„С ... возрастающая попочка измеримых множеств и А=ДА„ то д(А) = 1пп д(Ап), Доказательство, проведенное в 2 1 для плоской меры (теорема 9), дословно переносится на общий случай. Итак, мы установили, что система 9Я представляет собой о-алгебру, а определенная па ней функция д(А) обладает всеми свойствами о-апдитивной меры. Тем самым оправдано следующее определение. Определение 3.
Лебегооылг продолжеаиелг д = В(т) меры т называется функция р(А), определенная на системе измеримых множеств 911 и совпадающая на 911 с внешней мерой гз*(А). 2. Продолжение меры, заданной на полукольце без единищи. Если полукольцо Ь„, на котором определена исходная мера т, не имеет единицы, то построение лебсгова продолжения, изложенное в предыдущем пункте, претерпевает некоторые, впрочем, незначительные, изменения. Опредеггение 1 внепшей меры сохраняется, но внешняя мера д' оказывается определенной только на системе Яго таких множеств А, для каждого из которых существует покрытие ЦВп множествами из б,о, с конечной суммой 2 т(В,). и и Определение измеримости сохраняется без всяких изменений. Теоремы 2-4 и заключительное определение 3 сохраняют силу. Предположение о существовании единицы использовалось лишь в доказательстве теоремы 2.
Чтобы дать доказательство теоремы 2 в общем случае, надо установить независимо, что из А1 Е 9Я, Аг е 9г1 вытекает .11 0 Аг Е 911. Но зто следует из включения (А1 О Аг) гу (В1 0 Вз) С (А1 гу В1) 0 (Аз гу Вг). В случае, когда Я,п не имеет единицы, теорема 5 заменяется сле- ду.ющей теореъюй. Гл. у. Мера, измеримые функции, интеграл 292 Теорема 6. При любой исходной мере пт система множеств 9Я, измеримых по Лебегу, является 5-кольцом; измеримость множества .4 = ) ) А„нрн измеримых А„имеет место в том и только ег=г ьг том случае, если меры р) ) ) Ан) ограничены некоторой константой, не зависящей от Х.
Доказательство этого утверждения предоставляется читателю. 3 а м е ч а н и е. Поскольку сейчас речь идет о мерах, нриним ающих лишь к о не ч н ые значения, необходимость последнего условия очевидна. Из теоремы 6 вытекает следующий факт. Следствие. Система 9Лл всех множеств В Е 9Л, являющихся подмножествами фнкснровашюго множества А Е Щ образует а-алгебрли Например, система всех измеримых но Дебету (в смысле обычной лебеговой меры на прямой) подмножеств любого отрезка 1аг )з) есть а-алгебра множеств. В заключение отметим еще одно свойство лебеговых мер.
Определение 4. Мера р называется полной, если из р(А) = О и .4' С А вытекает, что А' измеримо. Очевидно, что цри этом р(А') = О. Без труда доказывается, что лебегоео продолжение любой мерьг полно. Это высекает из того, что цри А' с А и 1г(А) = О неизбежно р'(А') = О, а любое множество С, для которого 1г*(С) = О, измеримо, так как кз Е Я(19 ) и р*(С б О) = р*(С) = О. Всякую а-аддитивную меру на а-алгебре можно продолжить до полной, положив ее равной нулю для любого подмножества каждого множества нулевой меры.
Довалннтельные замечания. 1. Предположение о том, что исходная мера т задана на полукольце (а не на некоторой произвольной системе множеств) существенно для однозначности ее продолжения. Рассмотрим в единичном квадрате систему вертикальных и горизонтальных прямоугольников, т.е.таких прямоугольников, у которых нли длина нлн ширина равна 1 (рнс. 18), и припишем каждому такому прямоугольнику меру, равную его площади. На порожденную этими прямоугольниками алгебру (а тем более а-ачгебру) такая мера может быть продолжена неоднозначно (указкнте хотя бы два различных предолжония). 1 3. Лебегоео продолжение меръг 293 2. Укажем на связь между процессом продолжения меры по Лебегу и процессом пополнения метрического пространства. Заметим для этого, что т~1А 2г В) можно принять за расстояние между элементами А и В кольца Я1Ь,).
Тогда Я1б, ) становится метрическим гвообще говоря, неполным) пространством и его пополнение состоит как раз из всех измеримых множеств 1при этом, однако, с метрической точки зрения множества А и В неразличимы, если р1А б В) = 0). Рис. 18 Упражнения. 1. Пусть мера пг задана на полукольце 1с единицей) б,„множеств из Х и р* - отвечающая ей верхняя мера.
Доказать, что множество А измеримо (во Лебегу) в толе и только том случае, если оно обладает следующим свойстном, называемым измеримо- стью по Каратеодори: для любого попмножешва Я С Х имев~ место равенство 2. Пусть ег-аддитивная мера т задана на кольце Я с единицей Х и т1Х) = 1. Введем дпя каждого А С Х наряду с внешней мерой р* внутреннюю меру ры положив р.1А) =1 — р*1Х1А). Легко видеть, что всегда р,(А) ( р*1А). Доказатгн что р.1А) = р*1А) в том и только том случае, если множество А измеримо 1в смысле опре деленая 2).
В случае, когда мера задана на кольце с единицей, равенство 1*) часто принимается за определение измеримости множества. 3. Расширение понятия измеримости в случае о-конечной меры. Если исходная мера гп задана в пространстве Х на нокотором полукольце без единицы, то введенное выше определение измеримости множества оказывается слишком узким. Например, если Х вЂ” — это плоскость, то такие множества, как вся плостсость, полоса, внешность круга и т, и., имегоп1ие бесконечную площадь, при таком определении не попадаюг в число измеримых.
Естественно расширить понятие измеримости, допуская для меры и бесконечные значения, с тем, чтобы совокупность измеримых множеств была, как и в случае, когда исходная мера задана на полукольце с единицей, о-алгеброй 1а не только д-кольцове). Гл. И. Мера, измеримые функции, интеграл 294 Мы ограничимся при атом практически наиболее важным случаем так называемой и-конечной меры, хотя соответствующее построение можно провести и в общем случае. Пусть о-аддитивная мера т задана на некотором полукольце ю подмножеств множества Х. Мы скажем, что зта мера п-конечна, если все Х может быть представлено как сумма счетного числа множеств из бт (но не как сумма конечного числа множеств из б ).
Примером и-конечпой меры может служить площадь, определенная на всех прямоутольниках на плоскости. Простой пример не ег-конечной меры можно получить следующим образом. Пусть на отрезке [О, 1) задана некоторая функция 1(т). Для каждого конечного подмножества А = (х|,...,я„) отрезка положим д(А) = ~ Г"(те). Если множество точек х, в которых Г'(х) ф О, несчетно, то такая мера на (Ог 1) не будет п-конечной. Итак, пусть т есть и-аддитивная и и-конечная мера в Х, определенная на полукольце Я .
Пусть Х = () В,, В| Е б . Перейдя г=1 от полукольца Ян, к порожденному им кольцу Я(Я ) и заменяя и — 1 Вь на Вь 1| () Вп можно считать,что Х представлено как сумма г=1 счетного числа попарно н е п е р е с е к а ю щ и х с я измеримых множеств, которь|е мы по-прежнему обозначим В|, Вг,... Применив к гп описанную в предыдущех| пункте процедуру лебегова продолжения, мы получир| меру р, определенну.ю на б-кольце 9А. Пусть В Е 921 н 9з1в система всех множеств из 9зг, содержащихся в В; он = (С: С Е 9Л, В С С). Тогда 991в есть о-алгебра с единицей В (см, следствие из теоремы 6). Рассмотрим теперь совокупность 91 множеств А, имеющих измеримое пересечение с каждым Вп А|ц В, я 991в,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
