1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 60
Текст из файла (страница 60)
И. Мера, измеримые функции, интеграл зоо условию В с гэ, с з11, всегда Цбг) = Цб). З 4. Измеримые функпин 1. Определение и основные свойства измеримых функций. Пусть Х и 1' -. два произвольных множества и пусть в них выделены две системы подмножеств Ях и Яи соответственно. Абстрактная функция й = ((я) с областью определения Л", принимаюшая значения на 1', называется (гэхг Ьг)-измеримой, если из А Е бг вытекает, что 1"'(А) Е Ях. Например, если и за Х, и за 1' взять числовую прямую (т. е. рассматривать действительные функции действительного переменного), а за Ях и Яи взять систему всех открытых (или всех замкну.— тых) подмножеств из К, то сформулированное определение измеримости сведется к определению непрерывности.
Взяв за бх и бг систему всех борелевских множеств, мы придем к так называемым В-измеримым (нли измеримьгм по Борелю) функциям. В дальнейшем мы будем интересоваться понятием измеримости главным образом с точки зрения теории интегрирования. В этом плане основное значение имеет понятие измеримости числовых функций, определенных на некотором множестве Х с заданной на нем о-аддитивной мерой д.
При этом за б х принимается совокупность Яр всех измеримых относительно д множеств из Х, а за Яг совокупность всех В-множеств на прямой. Поскольку всякая о-аддитивная мера может быть продолжена на некоторую о-алгебру, естествонно с самого начала считать, что бр есть о-алгебра. Таким образом, для числовых функций мы приходим к следуюшсму определению измеримости. Определение 1. Пусть Л вЂ” множество, в котором задана о-аддитивная мера д, определенная на о-алгебре гэр. Действительная функция 1(т) на Х называется р-измеримой, если для всякого борелевского множества А числовой прямой '(А) Е (5ю Аналогично, комплексная функция ~р(я), определенная на Х, называется д-измеримой, если це '(А) е бр для всякого борелевского подмножества комплексной плоскости.
Легко проверить, что это 4. Измеримь~е фрикции зол равносильно р-измеримости действительной и мнимой частей этой функции по отдельности. Числовая функция., заданная на прямой, называется бврелевской (или В-измеримой), если прообраз каждого борелевского множества есть борелевское множество. Теорема Е Пусть Х, У и Я произвольпыс леножества с выделенными в них системами подмножеств Ьх, (5г и бя соответственно и пусть определенная на Х функция д = 1(т) (юх, бу)-измерима, а определенная на 1 функция л = д(д) (Ьх, Би)-измерима. Тогда гнкция ф = р(х) г— в дУ(к)) (езх, Би)-измерима.
Коротко: измеримвл фднкция от измеримой функции есть измеримая функция. Доказательство. Если А й бя, то в силу (бг, би)-измеримости функции д имеем: д '(А) = В е Ьу. В свои> очередь в силу (бх, бу+измеримости функции у множество г ~(В) принадлежит бх, т.е. у '(д '(А)) = рл '(А) е (5х, т.е, функция рл Фх, е" я)-измерима. Следствие. Борелевская функция от д-излгериллой числовой функции и-измерилеа. В частности, непрерывная функция от д-измеримой р-изллерима. В дальнейшем, в случаях, когда это не может вызвать недоразумения, мы вместо «~л-измерил|ости» будем писать просто «измеримость».
Теорема 2. Для того чтобы действительная функция г"(т) была измерима, необходимо и достаточно, чтобы при любом действительном с множество (и: г'(к) < с) было измеримо. Доказательство. Необходимость условия ясна, так как полупрямая ( — оо, с) есть борелевское множество. Для доказательства достаточности заметим прежде всего, что ег-алгебра, порожденная системой Е всех полупрямых ( — со, с), совпадает с в-алгеброй всех борелевских множеств на прямой.
Но согласно и. 5 з 5 гл. 1 отсюда следует, что прообраз каждого борелевского множества принадлежит в-алгебре, порожденной прообразами полупрямых, принадлежащих Е, т.е. измерим. Доказанное условие часто принимают за определение измеримости, т.е. называют функцию ((т) измеримой, если все множества (к: ((я) < с) измеримы.
зог Гл. Ы. Мера, измеримые функции, интеграл 2. Действия нвд измеримыми функциями. Покажем, что совокупность измериыых функций, заданных на некотором лшожестве, замкнута относительно арифметических операций. Теорема 3. Сумма, разность и произведение двух измерилгых функпий измеримы. Частное двух измеримых функций, при условии, что знаменатель не обращается в нуль, тоже измеримо.
Доказательство этой теоремы проведем в несколько шагов. 1) Если 1 измерима, то, очевидно, измеримы и функции ку" и а+1 при любых постоянных й и а. 2) Далее, если у и д измеримые функции, то множество (х: У( ) > д(х)) измеримо. Действительно, (т: у(х) > д(х)) = 0 ((х: ггг(х) > гь) П (х: д(х) < гл)), ь=е где сумма берется по всем рациональным числам гь, занумерован- ным в любом порядке.
Отсюда получаем, что (х: у(х) > а — д(х)) = (х:((х) + д(т) > а) измеримо, т.е. сумма измериыых функций измерима. 3) Из 1) и 2) следует измеримость разности 1 — д. 4) Произведение измеримых функций измеримо. Действительно, воспользуемся тождеством 4 е(г Стоящее справа выражение есть измеримая функция. Это вытекает из 1) — 3) и следствия из теоремы 1, в силу которого квадрат измери- ыой функции измерим.
5) Если у(х) измерима и 1(х) ~ О, то и 1/ г(х) измерима. Дей- ствительно, если с > О, то (х: 1г',Г(х) < с) = (х: г(х) > 1/с) ез (х: г (х) < О); если с < О, то (х: 1/Д(х) < с) = (х: О > у" (х) > 1/с); а если с = О, то Ех:1Их) <с) =(':У(х) < .). Каждый раз справа мы получаем измеримое множество. Из 4) и 5) следует измеримость частного у" (х) /д(х) (прн условии д(х) ф О). Итак, мы показали, что арифметические действия нвд измери- мыми функциями снова приводят к измеримым функциям.
Покажем теперь, что совокупность измеримых функций замкнута по отношению пе только к арифметическим операциям, но и к опе- рации предельного перехода. 4. Измеримые функции зоз Теорема 4. Предел сходящейся при каждом я е Х последовательности изме1)нмзях функций измерить Доказательство. Пусть (и(я) — ~ г(т); тогда (я: У(т) < с) = 00 й (я: Хи*(я) < с-1И). (1) Ь им>и, Действительно, если 1(я) < с, то существует такое й, что 1(х) < < с — 2/й; далее, при этом й можно найти столь большое п,, что при т > в выполнено неравенство (т) < с — 1/й, а это и означает, что т войдет в правую часть (Ц.
Обратно, если я принадлежит правой части равенства (1), то существует такое к, что при всех достаточно болыпих т 1,„(х) < с — 1,1Й, но тогда )(х) < с, т. е. т входит в левую часть равенства (1). Если функции Г'„(я) измеримы, то множества (Я: уи,(т) < с — 1/й) измеримы. Так как совокупность измеримых множеств есть и-ал- гебра, то в силу (Ц множества (т: у(т) < с) тоже измеримы, что и доказывает измеримость Г(х). Вам оч ание.
Как видно из сказанного, понятие измеримости функции не связано с наличием в рассматриваемых пространствах какой-либо меры. Должны лишь быть выделены системы множеств, называемых измеримыми. Однако фактически понятие измеримости используется, как правило, для функций, определенных на некотором пространстве Х с фиксированной мерой, заданной ца какой-либо и-алгебре его подмножеств.
Именно эта ситуация и будет рассматриваться в дальнейшем. Как уже было отмечено, и-аддитивную меру, определенную на ег-алгебре Я подмножеств некоторого множества Х, можно без ограничения общности считать полной, т. е. считать, что если Л измеримое множество меры нуль, то всякое его подмножество А' измеримо (и, конечно, п(.4') = 0).
Это условие полноты меры мы всюду в дальнейшем будем предполагать выполненным. 3. Эквивалентность. При изучении измеримых функций часто можно пренебречь их значениями на множестве меры нуль. В связи с этим возникает следующее определение. Гл. П. Мера, измеримые функции, интеграл 304 Определение 2. Две функции, Т и д, заданные на одном и том же измеримом множестве Ег называются эквнваленгпнмми (обозначение: у д), если 444х: у(х) ~ д(х)) = О. Введем еще следующую терминологию. Говорят, что некоторое свойство выполнено почти всюду на Е, если оно выполнено на Е всюду, кроме, быть может, точек, образующих множество меры пуль. Таким образом, две функции называются эквивалентными, если они совпадают почти всюду. Теорема 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
